20. Логарифмические неравенства

На этом уроке мы изучим следующую тему: «Логарифмические неравенства». Для того чтобы научиться правильно решать простейшие логарифмические неравенства, необходимо повторить основные свойства логарифмических функций. На этом занятии мы вместе с преподавателем рассмотрим несколько примеров на указанную тему и научимся их правильно решать, применяя полученные ранее знания.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Уравнения и неравенства».

Ключом к решению логарифмических неравенств являются свойства логарифмической функции, т. е. функции вида  (). Здесь – независимая переменная, – конкретное число, – зависимая переменная, функция.

Вспомним основные свойства логарифмической функции.

1. Область определения: ;

2. Область значений: ;

3. Функция монотонна на всей своей области определения. При  монотонно возрастает (когда аргумент возрастает от нуля до плюс бесконечности, функция возрастает от минус до плюс бесконечности, ). При  монотонно убывает (когда аргумент возрастает от нуля до плюс бесконечности, функция убывает от плюс до минус бесконечности, ).

Именно монотонность логарифмической функции позволяет решать простейшие логарифмические неравенства.

Рассмотрим решение логарифмического неравенства, когда основание логарифма .

Неравенство необходимо решать, применяя эквивалентные, равносильные преобразования. Рассмотрим схему. Поскольку мы рассматриваем логарифмическую функцию с основанием, большим единицы, помним, что функция монотонно возрастает. Отсюда:

При этом необходимо не забыть про ОДЗ, т. к. под логарифмом могут стоять строго положительные выражения. ОДЗ представлено системой:

Решением исходного неравенства является эквивалентное неравенство , поэтому для соблюдения ОДЗ достаточно защитить меньшее из чисел. Получаем систему неравенств, которая соответствует исходному неравенству:

Например:

Ответ: .

Рассмотрим решение логарифмического неравенства, когда основание логарифма .

Поскольку мы рассматриваем логарифмическую функцию с основанием, лежащим в пределах от нуля до единицы, помним, что функция монотонно убывает. Отсюда:

При этом необходимо не забыть про ОДЗ, т. к. под логарифмом могут стоять строго положительные выражения. ОДЗ представлено системой:

Решением исходного неравенства является эквивалентное неравенство , поэтому для соблюдения ОДЗ достаточно защитить меньшее из чисел. Получаем систему неравенств, которая соответствует исходному неравенству:

Например:

Ответ: нет решений

Выполним обобщение. Мы рассматриваем простейшие логарифмические неравенства, т. е. неравенства вида:

Все остальные более сложные логарифмические неравенства сводятся к простейшим.

Методика решения:

1. yравнять основания логарифмов;

2. cравнить подлогарифмические выражения:

• при  сохранить знак неравенства;

• при  изменить знак неравенства на противоположный;

3. yчесть ОДЗ.

Пример 1 – решить неравенство:

Уравняем основания логарифмов. Для этого число в правой части представим в виде логарифма с нужным основанием:

Итак, имеем неравенство:

Основание логарифма меньше единицы, имеем эквивалентную систему:

Ответ: .

Пример 2 – решить неравенство:

Уравняем основания:

Имеем неравенство:

Основание логарифма меньше единицы, имеем эквивалентную систему:

Имеем систему двух простейших логарифмических неравенств. Уравняем основания в каждом из них:

В обоих случаях основание логарифма больше единицы, запишем эквивалентные системы:

Ответ: .

Итак, мы изучили простейшие логарифмические неравенства. На следующем уроке мы рассмотрим, каким образом более сложные неравенства сводятся к простейшим

Список литературы

1. Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г. К., Муравина О. В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. 

3. Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Webmath.ru.

Домашнее задание

1. Алгебра и начала анализа, 10–11 класс (А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын) 1990, № 516, 517, 525;

2. Решить неравенство:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

3. Решить неравенство:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .