03. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными

На данном уроке мы вспомним понятие системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными, её общий вид, варианты и способы решения. Мы вспомним некоторую терминологию и решим несколько примеров.

Понятие системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными, основные факты

Напомним, что из себя представляет система двух линейных уравнений с двумя переменными. Это система вида:

Из первого уравнения  можно получить линейную функцию, в случае если :. График данного уравнения – прямая линия.

Bторое линейное уравнение: , из него также можно получить линейную функцию, при условии, что :. График данного уравнения – также прямая линия.

Запишем систему в другом виде:

Мы знаем, что множеством решений первого уравнения является множество точек, лежащих на соответствующей ему прямой, аналогично и для второго уравнения множество решений – это множество точек на другой прямой. Две прямые могут пересекаться – и тогда у системы будет единственное решение, единственная пара чисел и будет удовлетворять одновременно обоим уравнениям. Это происходит, если . Две прямые также при некоторых значениях численных параметров могут быть параллельны, в таком случае они никогда не пересекутся и не будут иметь ни одной общей точки, значит в этом случае система не будет иметь решений. Для этого должны выполняться условия:  и . Кроме того, две прямые могут совпадать, и тогда каждая точка будет решением обоих уравнений, а значит система будет иметь бесчисленное множество решений. Для этого должны выполняться условия:  и .

Способ подстановки

Пример 1:

На данном уравнении можно продемонстрировать сразу несколько способов решения систем уравнений.

1 способ – способ подстановки: выразим во втором уравнении и подставим полученное выражение в первое уравнение:

Подставим найденное значение во второе уравнение и найдём значение :

Способ алгебраического сложения

2 способ – способ алгебраического сложения: выполним сложение уравнений:

Из полученного уравнения найдём :

Теперь вычтем из первого уравнения системы второе:

Таким образом, мы получили решение системы двумя способами, и это решение – точка с координатами .

Системы уравнений с одним решением

Пример 2:

В данном случае удобнее применить способ алгебраического сложения, вычтем из второго уравнения первое. Получаем:

Найдём значение :

Подставим значение во второе уравнение и найдём :

Ответ: .

Пример 3:

В данной системе нет переменных с одинаковыми коэффициентами, но мы можем их уравнять самостоятельно, для этого выполним преобразования:

Выполним сложение уравнений:

,

Подставим полученное значение в первое уравнение и определим значение :

Ответ: .

Системы, имеющее бесконечное множество или не имеющие решений

Пример 4:

Разделим второе уравнение на два:

Вычтем из первого уравнения второе:

Очевидно, что полученное выражение не зависит от значений переменных системы и не является верным числовым равенством, значит, система не имеет решений. В данном случае рекомендуется графически доказать, что система не имеет решений, для этого из уравнений записать линейные функции, построить их и показать, что прямые параллельны.

Пример 5:

Очевидно, что, если разделить второе уравнение на два, получим первое уравнение:

Мы получили два одинаковых уравнения, значит, чтобы довести решение системы до конца, можем оставить одно: ; это линейное уравнение с двумя переменными, график его – прямая линия, и оно имеет бесчисленное множество решений, а значит и система имеет бесчисленное множество решений. Чтобы записать решения, выразим :, таким образом, дадим ответ: – любое число, .

Графическая иллюстрация (рис. 1):

Подведение итогов урока

Вывод: мы рассмотрели системы двух линейных уравнений с двумя переменными, варианты и способы их решения. Мы вспомнили некоторые термины, понятия и свойства и решили примеры для закрепления техники.

Рекомендованная литература

1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. – 6 изд. – М.: Просвещение, 2010.

2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ.

3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7. – М.: Просвещение, 2006.

Полезные ссылки

1. Uztest.ru.

Проверь себя

1. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И. и др. Алгебра 7, № 1072, с. 200.

2. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И. и др. Алгебра 7, № 1084, с. 204.

3. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И. и др. Алгебра 7, № 1086, с. 204.