Сохраняйте любой текст из конспекта или записывайте собственные мысли и выводы прямо здесь.
Сохранить
  • Примеры вычисления производных. Функция f(x)=x2. Типовые задачи

    Другие уроки
Информация об уроке Комментарии    
Дата съемки: 2010 г.
Урок ведет Тарасов Валентин Алексеевич
Оценить
Комментарии 4 комментария
Константин был 29 апреля
Я ужасно зол, но претензии предъявлять не имею, к сожалению... Могу лишь попросить - в следующий раз, перед тем как выкладывать урок, неужели настолько сложно в видео-редакторе подавить до минимума все посторонние звуки? В данном случае сильно давящие на ухо хрипы, которые в принципе не дают нормально смотреть урок.
06.04.2012
Константин, спасибо за Ваше замечание. Обязательно учтём все пожелания в дальнейшем. Предыдущие 4320 просмотров свидетельствуют о том, что смотреть урок вполне возможно. Это Ваш выбор - смотреть или не смотреть наши уроки, пользоваться сайтом или нет.. Мы его в любом случае уважаем.
Развернуть
Константин был 29 апреля
Смотреть урок просто невозможно. Все ужасно хрепит.
06.04.2012
Развернуть
Шик Евгений Ученик был 09 мая
А где эти задачи в каком учебнике?
16.03.2012
Развернуть
преподователь просит самостоятельно решить задачи где их преобрести???
23.05.2010
- - -
06.01.2013
Наверное по учебнику Мардковича!!!
Развернуть

На уроке рассматривается тема: «Примеры вычисления производных. Функция f(x)=x2. Типовые задачи». На этом занятии  приобретаются навыки вычисления производных для простейших функций и применения алгоритма по нахождению производной для функции f(x)=x2.

Тема: Производная

Урок: Примеры вычисления производных. Функция f(x)=x^2. Типовые задачи.

1. Вычисление производных простейших функций

Дано: .

Найти: .

На предыдущем уроке рассматривали для конкретной функции нахождение производной и изучили весь алгоритм ее нахождения. На данном примере повторим  этот алгоритм.

Решение.

Будем сопровождать решение иллюстрацией (см. рис. 1).

График функции y=x^2

Рис. 1. График функции .

Если зафиксировать точку , то можно получить значение функции в этой точке. Если задать приращение аргументу , то получим новое значение аргумента, а именно , и новое значение функции – .

Итак, выяснили, что . Дали приращение аргументу, и получили значение функции при новом значении аргумента .

Дальше надо найти приращение функции. Приращение функции – это значение функции в новой точке минус значение функции в старой точке

.

Имеем приращение аргумента и приращение функции. На рисунке (см. рис.1) – это катеты треугольника. Также имеем секущую, которая наклонена под углом . При  эта секущая будет стремиться занять положение касательной. Дальше нужно найти разностное отношение и упростить его так, чтобы сократить .

 .

Как и в предыдущем примере  мы получили слагаемое, которое не зависит от  и слагаемое, которое от него зависит. Проанализируем, что будет если устремить  к нулю. В данном случае получим, что

Ответ:

. Так как  - произвольное, то ответ можно записать для произвольной точки , то есть

.

Проанализируем ситуацию на графике. В точке  секущая заняла положение касательной  и угол наклона касательной – .  , где  - тангенс угла наклона касательной, которая проведена к кривой  в точке с абсциссой .

2. Решение стандартной задачи

Решим стандартную задачу.

Дано: .

Найти

Решение.

1)  Найдем значение производной в любой точке .

.

2) Нужно найти значение производной в конкретной точке

.

3. Сопутствующие задачи

Для функции , в точке , найти угол наклона касательной. Для простоты возьмем тангенс угла наклона касательной.

Решение.

1) Найдем производную функции:  .

2) Найдем .

3) Учтем геометрический смысл производной, то есть .

Ответ. . Если нужно найти сам угол , то его тоже можно найти так:

 .

Таким образом рассмотрели конкретную функцию , закрепили применение алгоритма по нахождению производной и решили сопутствующие задачи, проиллюстрировав все это на чертеже.

 

4. Производная степенной функции. Анализ производной

Итак, решив две задачи, выяснили, что  и . Это

наводит на мысль о том, что можно написать производную для любого показателя

Проанализируем возможности использования производной. Для этого нарисуем графики функций (см. рис.2-3).

  Кубическая парабола        Парабола

Рис. 2. Кубическая парабола.                                               Рис. 3. Парабола.

Разница между ними видна. Первая функция возрастает при всех . Вторая функция убывает на промежутке (] и возрастает на промежутке [0;+). В точке  - вершине параболы - функция имеет точку минимума.

Нарисуем график производной для первой функции  (см. рис.4).

График производной функции f(x)=x^3 

Рис. 4 График производной функции .

 , то есть . Так как , то  – возрастает на всей числовой прямой. Будет сформулирована соответствующая теорема, которая базируется на свойствах производной. Пока выясняем смысл производной и зачем она нужна, причем видим, что с ростом  скорость растет, и крутизна кривой тоже увеличивается.

Нарисуем график производной для второй функции (см. рис.5).

График производной функции f(x)=x^2

Рис. 5 График производной функции .

Это линейная функция . Это означает, что при () производная отрицательная, а при  - производная положительная. Вспомним физический смысл производной. Производная – это мгновенная скорость. Если в момент времени мгновенная скорость положительна, то мы от дома уезжаем, и расстояние от дома увеличивается. Это и видно на графике, так как функция увеличивается. Значит, если , то . Если производная меньше нуля, то это означает, что мы приближаемся к дому, расстояние уменьшается. Если , то функция убывает, что мы и видим на графике.

Выясним, что происходит в точке .

. Производная равна нулю. Тангенс угла наклона равен нулю. В этой точке может быть либо точка максимума, либо точка минимума.

5. Некоторые задачи на физический и геометрический смысл производной

Рассмотрим некоторые задачи на физический и геометрический смысл производной.

Допустим задан график производной функции  (см. рис.6).

График производной произвольной функции 

Рис. 6. График производной произвольной функции.

Заданы точки  и . Найти производную в этих точках. Касательная в точке  параллельна оси X.

Напомним, что  – геометрический смысл производной. Это означает, что .

 

Задача 2.

Заданы точки  и . Сравнить, что больше:  или  (см. рис.6).

График производной функции y=(f)x 

Рис.6. График производной функции.

По графику видно, что если в точке с абсциссой  провести касательную, то ее угол наклона β – тупой. Это означает, что . Если провести касательную в точке  и посмотреть на угол , то можно увидеть, что он острый. Это означает, что . Итак,  - отрицательна,  –положительна, отсюда .

6. Итог урока

На уроке рассмотрели применение алгоритма по нахождению производной для функции f(x)=x2.

Рекомендации для самостоятельного решения: 27.1-28.9

 

Список рекомендованной литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. ЗвавичЛ.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.

8. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

9. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

10. Глейзер Г.И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983

 

Дополнительные веб-ресурсы

1. Интернет-портал Mathematics.ru (Источник). 

2. Портал Естественных Наук (Источник). 

3. Интернет-портал Exponenta.ru (Источник). 

 

Сделай дома

№ 41.5; 41.37 (а, г) (Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.)

Закрепите материал с помощью тренажёров

Проверьте знания с помощью теста

Задайте вопрос учителю, если не поняли объяснения темы во время просмотра
Ванилович Ваниль Ученик был 27 марта
задачи 27.1, 28.9?
27.03.2014

Уточните, пожалуйста, что имеется в виду?

Развернуть
Balrogo Ученик был 22 августа
8:47 - У угла секущей и угла касательной одинаковые обозначения.
27.02.2013
Развернуть
Станислав Ученик был 18 марта
Ответ: Задачник часть 2 "Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс" авторы: А.Г.Мордкович, Л.О. Денищева, Т.А. Корешкова и др. Издательство 2011: страницы 78 - 83.
18.03.2012
Развернуть
Шик Евгений Ученик был 09 мая
из какого учебника задачи брать?
16.03.2012
Развернуть
reimegumi Ученик был 13 февраля
Где эти задачи 27.1, 28.9?
13.02.2012
Развернуть