У нас новый плеер! Если он покажется неудобным, Вы можете вернуться к прежней версии, нажав на кнопку →

Вернуться к прежней версии  
Сохраняйте любой текст из конспекта или записывайте собственные мысли и выводы прямо здесь.
Сохранить
Информация об уроке Комментарии    
Дата съемки: 2010 г.
Урок ведет Вольфсон Георгий Игоревич
Оценить
Комментарии 12 комментариев
Кутуров Дмитрий Ученик был 17 июня
чуть чуть помедленнее объясняйте, слишком быстро говорите, мозг не успевает освоить информацию, соответственно и запомнить.
16.06.2014
Развернуть
azat95 Ученик был 26 мая
Спасибо за урок. Предоставляете самую исчерпывающую информацию.
04.05.2014
Развернуть
Анастасия отличница Ученик был 27 ноября
Все понятно, спасибо! :) Тренажеры прошла с 1 ошибкой, в тесте долго думала над 5 заданием, но в итоге справилась.
27.11.2013
Развернуть
Vladislav Land Вадимович был 21 ноября
мне было очень интересно спс , а вам полюбому ни понятно!!!!
21.11.2012
Развернуть
Очень интересный урок и стиль преподавания. Возьму на заметку)
08.11.2012
Развернуть
Гомосякин Вася Олегович Ученик был 23 апреля
tris, просто ты тугодум)
08.11.2012
Развернуть
tris79 Родитель был 07 июня
тыщу извинений но позвольте посоветовать преподавателю объяснять както попонятнее а то ваще ничего непонятно такого не было с тарасовым а тут возникло желание просто учебник взять((((
08.06.2012
Развернуть
Гусиков Дмитрий Игоревич Ученик был 20 марта
Мне понравилось на 9:20 "Если у вас получилось 9, двойка вам за этот урок, друзья мои" ) При этом зачёркивает написанное якобы решение
14.04.2012
Развернуть
а вот, все, нажалось. Еще не нашел сложение и вычитание квадратных корней, буду рад ссылке на этот урок.
22.11.2011
Развернуть
ссылки не врубаются, исчезают при наведении
22.11.2011
Развернуть
Поделиться
Ссылка на урок Чтобы скопировать ссылку, выделите ее и нажмите [Ctrl] + [C]
Код вставки на сайт Копируя приведенный ниже HTML-код, вы тем самым принимаете <a href="/ru/agreements" target="_blank">Условия использования</a>

Этот урок является вводным в теме, и на нем будет введено понятие арифметического квадратного корня. Кроме того, будут рассматриваться некоторые его базовые свойства и будут приведены простейшие примеры на его использование.

Тема: Функция . Свойства квадратного корня

Урок: Арифметический квадратный корень

1. Задача для введения понятия квадратного корня

На сегодняшнем уроке нам необходимо ввести понятие арифметического квадратного корня. Чтобы это сделать, представим себе, что нам выделили участок земли квадратной формы (рис. 1) и мы хотим измерить длину его стороны. При этом известно, что сторона изображенной сетки равна 1 км.

 

 

 

 

 

Рис. 1.

Чтобы найти длину стороны участка, можно выписать теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, изображенного на рисунке красным цветом. Катеты этого треугольника имеют длины по 1 км, а длину гипотенузы обозначим за .

, но нами пока еще не найдена сторона участка, а найдено значение ее квадрата.

По-другому можно было найти  следующим образом: записать площадь квадратного участка , с другой стороны, она равна сумме площадей четырех равных прямоугольных треугольников, из которых состоит участок: . Но площадь прямоугольного треугольника, который является равнобедренным в данном случае, равна . Таким образом, площадь участка: , а с другой стороны , т. е. получаем то, что было получено ранее: .

Вопрос заключается в том, как найти значение стороны квадрата, т. е. ? Попробуем перебрать числа, которые могут претендовать на роль ответа. Начнем с нуля, но  не подходит, затем проверим :  тоже не подходит (меньше двух), проверим :  не подходит, т. к. это больше двух. Получаем следующий вывод, что это некое число между 1 и 2, но оно не может быть, очевидно, целым. Проверять отрицательные числа не будем, т. к. их возведение в квадрат дает положительные значения, которые мы уже проверили. Поскольку у уравнения нет целых решений, то необходимо проверить наличие рациональных решений. Вспомним для этого определение рационального числа.

Определение. Рациональное число – число, которое можно представить в виде дроби , в которой числитель () является целым числом, а знаменатель () натуральным.

Во вставке указано доказательство того факта, что число  не может быть рациональным числом.

Вставка 1. Доказательство того, что  не является рациональным числом

Теорема. Число , которое удовлетворяет уравнению , не является рациональным.

Доказательство. Предположим, что число , которое удовлетворяет уравнению , является рациональным, т. е. по определению рационального числа его можно представить в виде дроби  ( целое число,  натуральное), причем примем тот факт, что данная дробь несократима (а если она сократима, то, сократив ее, приступим к доказательству). Подставим такую запись  в исследуемое уравнение:

.

Поскольку правая часть уравнения является четной, т. к. имеет множитель 2, то и левая часть тоже должна быть четной. Поскольку  четное, то и  тоже четное, т. к. оно целое по предположению и не может быть нечетным, поскольку квадрат нечетного числа тоже нечетное число. Тогда число  можно представить в виде , где  – некое целое число. Подставим это в полученное уравнение:

.

Проведя аналогичные рассуждения, как и для числа , можем сделать вывод, что число  является четным, и его можно представить в виде . Тогда дробь , как видно, является сократимой, что противоречит предположению доказательства. Поскольку мы пришли к противоречию, то число  не является рациональным.

Доказано.

Доказано, что искомое число  не может быть ни целым, ни рациональным. Поскольку мы впервые столкнулись с числом, которое не является целым и не является рациональным, то необходимо ввести понятие нового вида чисел. Поможет нам в этом понятие квадратного корня.

Определение. Квадратным корнем (арифметическим квадратным корнем) из неотрицательного числа  называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен .

Стоит отметить важные характеристики чисел из определения. Во-первых, квадратный корень можно вычислять только из неотрицательного числа, т. е. квадратный корень, например, из  не имеет смысла, во-вторых, значение самого квадратного корня также является неотрицательным, т. е. квадратный корень не может равняться, например, .

Обозначение квадратного корня из числа : .

Соответственно, мы теперь имеем возможность определить значение стороны нашего земельного участка. Поскольку , то  – это такое число, квадрат которого равен двум, а по определению квадратного корня следует, что . Таким образом, искомая сторона земельного участка равна  км.

Рассмотрим примеры на работу с квадратными корнями.

2. Примеры на вычисление и применение корней

Пример 1. Существуют ли выражения: , , , ?

Решение. Для ответа на поставленный вопрос необходимо воспользоваться определением, по определению квадратный корень извлекается только из неотрицательного числа. Поскольку 3, 5 и 0 являются неотрицательными числами, то выражения ,  и  существуют.  является отрицательным числом, поэтому  не существует.

Ответ.,  и  существуют;  не существует.

Стоит отметить, что есть случаи, когда значение квадратного корня можно вычислить в виде целого числа, а есть – когда нельзя. Например, нельзя утверждать, что  является целым числом, и значение этого выражения так и приходится оставлять в форме корня, а вот некоторые квадратные корни можно являются целыми числами, убедимся в этом на примере.

Пример 2. Вычислить: а) ; б) ; в) ; г)

Решение. а) , т. к. корень из 4 – это такое число, квадрат которого равен 4, а это 2 (). Можно утверждать, что не учтено, что  и  тоже должно являться корнем из 4, но по определению квадратный корень может быть только неотрицательным числом, поэтому  не подходит.

б) , т. к.  по аналогичным рассуждениям.

в) , т. к. .

г) Поскольку число, из которого необходимо извлечь квадратный корень, является большим (трехзначным), то описанный ранее метод подбора числа, квадрат которого равен 324, не совсем удобен. Хотя кто-то может знать, что в данном случае подходит число 18, т. к. . Для упрощения поиска ответа разложим число 324 на множители: , теперь попробуем представить полученные числа в виде квадратов: .

Ответ. 2; 5; 0; 18.

В ходе разбора решения пункта «г» предыдущего примера может возникнуть вопрос, а на каком основании мы имеем право утверждать, что корень из произведения равен произведению корней, ведь никакие из свойств корней еще не введены. В следующей вставке можно ознакомиться с основными свойствами корней, которые объяснят наши действия в указанном примере.

Вставка 2. Основные свойства квадратных корней

1. , корень из произведения равен произведению корней, при этом  неотрицательные;

2. , корень из частного равен частному корней, при этом  неотрицательное,  положительное;

3. , корень из квадрата числа равен модулю этого числа (это позволяет избавляться от минуса в случае его наличия).

Замечание. Как уже оговаривалось в ходе решения примера, извлечение корня – это операция по вычислению значения корня.

Рассмотрим уравнения с корнями.

Пример 3. а); б) ; в) .

Решение. а)Из определения квадратного корня (7 – это такое неотрицательное число, квадрат которого равен ) выпишем, что .

б) В данном случае важно обратить внимание на такую часть определения квадратного корня из числа: «Квадратным корнем …называется такое неотрицательное число…», а в нашем случае значение квадратного корня отрицательное, что не имеет смысла по определению, т. е. решений у уравнения нет.

в) По определению квадратного корня,  – это такое число, квадрат которого равен 5, т. е. . В данном случае важно отметить, что полученное решение не является для уравнения единственным, т. к.  тоже удовлетворяет уравнению, поскольку , и никаких противоречий с определением квадратного корня здесь нет. Т. е. уравнение имеет два решения:  и  или .

Ответ.; решений нет; .

На сегодняшнем уроке мы познакомились с понятием квадратного корня и решили несколько простейших примеров.

 

Список литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.

2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Академик (Источник)

2. Старая школа (Источник).

3. ЕГЭ! Сдам! (Источник).

 

Домашнее задание

1. №225, 226, 232, 235, 237, 242, 246. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

2. Вычислите: а) , б) , в) .

3. Вычислите: а) , б) , в) .

4. Используя определение квадратного корня, решите уравнение: а) , б) .

Закрепите материал с помощью тренажёров

Проверьте знания с помощью теста

Задайте вопрос учителю, если не поняли объяснения темы во время просмотра
/profile/234840 Ученик был 26 октября
Видео временно недоступно, попробуйте посмотреть его через некоторое время, обновив страницу, или сообщите нам об ошибке. Внимание! В настоящее время InternetUrok.ru работает в отладочном режиме: на сайте иногда возникают ошибки и сбои, представлены не все темы школьной программы, запущена лишь часть запланированных сервисов. В рабочем режиме – стабильно, со всеми уроками и сервисами (см. «Что дальше?») сайт будет работать с 2015 г. СООБЩАЮ!!!!!
26.10.2014
Развернуть
/profile/234840 Ученик был 26 октября
Видео временно недоступно, попробуйте посмотреть его через некоторое время, обновив страницу, или сообщите нам об ошибке. Внимание! В настоящее время InternetUrok.ru работает в отладочном режиме: на сайте иногда возникают ошибки и сбои, представлены не все темы школьной программы, запущена лишь часть запланированных сервисов. В рабочем режиме – стабильно, со всеми уроками и сервисами (см. «Что дальше?») сайт будет работать с 2015 г. СООБЩАЮ!!!!!
26.10.2014
Развернуть
/profile/146215 Ученик был 09 февраля
можно вопрос, а как подбирать числа при делении?
13.01.2014
Уточните, пожалуйста, в каком именно случае Вам необходимо подобрать числа при делении?
/profile/234840
26.10.2014
Видео временно недоступно, попробуйте посмотреть его через некоторое время, обновив страницу, или сообщите нам об ошибке. Внимание! В настоящее время InternetUrok.ru работает в отладочном режиме: на сайте иногда возникают ошибки и сбои, представлены не все темы школьной программы, запущена лишь часть запланированных сервисов. В рабочем режиме – стабильно, со всеми уроками и сервисами (см. «Что дальше?») сайт будет работать с 2015 г. СООБЩАЮ!!!!!
Развернуть
пятелин андрей влодимирович Ученик был 28 января
спосибо очень помогли !!!
27.01.2013
Развернуть
Влада Ученик был 18 декабря
Внести множитель под знак корня ( буквами обозначены положительные числа) a&2 (&)- корень
18.12.2012
Развернуть
Лейла был 18 февраля
Видео временно недоступно, попробуйте посмотреть его через некоторое время, обновив страницу, или сообщите нам об ошибке. Внимание! В настоящее время InternetUrok.ru работает в отладочном режиме: на сайте иногда возникают ошибки и сбои, представлены не все темы школьной программы, запущена лишь часть запланированных сервисов. В рабочем режиме – стабильно, со всеми уроками и сервисами (см. «Что дальше?») сайт будет работать с 2013 г. СООБЩАЮ!!!!!
30.11.2012
Развернуть
кинте ссылку на сложение квадратных корней! плиииииииииииииииз!
11.11.2012
InternetUrok.ru 27.02.2012 Андрей, преобразование выражений, содержащих радикалы (арифметические корни n-ой степени) изучается в более старших классах. В нашей программе есть уроки по данной теме в 11 классе. Например: 1) http://interneturok.ru/school/algebra/11-klass/bglava_2_stepeni_i_korni_stepennye_funkciib/preobrazovanie_vyrazhenij_soderzhawih_radikaly - урок «Преобразование выражений, содержащих радикалы». 2) http://interneturok.ru/school/algebra/11-klass/bglava_2_stepeni_i_korni_stepennye_funkciib/preobrazovanie_vyrazhenij_soderzhawih_radikaly_zadachi - урок «Преобразование выражений, содержащих радикалы; задачи». 3) http://interneturok.ru/school/algebra/11-klass/bglava_2_stepeni_i_korni_stepennye_funkciib/zadachi_i_uravneniya_s_radikalami - урок «Задачи и уравнения с радикалами».
Развернуть
/profile/17243 был 28 января
не нашла урок про преобразование выражений,содержащих квадратные корни
28.01.2012
InternetUrok.ru 27.02.2012 Андрей, преобразование выражений, содержащих радикалы (арифметические корни n-ой степени) изучается в более старших классах. В нашей программе есть уроки по данной теме в 11 классе. Например: 1) http://interneturok.ru/school/algebra/11-klass/bglava_2_stepeni_i_korni_stepennye_funkciib/preobrazovanie_vyrazhenij_soderzhawih_radikaly - урок «Преобразование выражений, содержащих радикалы». 2) http://interneturok.ru/school/algebra/11-klass/bglava_2_stepeni_i_korni_stepennye_funkciib/preobrazovanie_vyrazhenij_soderzhawih_radikaly_zadachi - урок «Преобразование выражений, содержащих радикалы; задачи». 3) http://interneturok.ru/school/algebra/11-klass/bglava_2_stepeni_i_korni_stepennye_funkciib/zadachi_i_uravneniya_s_radikalami - урок «Задачи и уравнения с радикалами».
Развернуть
не нашел урок про сложение и вычитание квадратных корней. Буду рад ссылке. Заранее спасибо
22.11.2011
Андрей, преобразование выражений, содержащих радикалы (арифметические корни n-ой степени) изучается в более старших классах. В нашей программе есть уроки по данной теме в 11 классе.  Например: 1) http://interneturok.ru/school/algebra/11-klass/bglava_2_stepeni_i_korni_stepennye_funkciib/preobrazovanie_vyrazhenij_soderzhawih_radikaly - урок «Преобразование выражений, содержащих радикалы». 2) http://interneturok.ru/school/algebra/11-klass/bglava_2_stepeni_i_korni_stepennye_funkciib/preobrazovanie_vyrazhenij_soderzhawih_radikaly_zadachi - урок «Преобразование выражений, содержащих радикалы; задачи». 3) http://interneturok.ru/school/algebra/11-klass/bglava_2_stepeni_i_korni_stepennye_funkciib/zadachi_i_uravneniya_s_radikalami - урок «Задачи и уравнения с радикалами».
Развернуть
Аносова Юлия Витальевна Родитель был 20 октября
А когда была съёмка этого урока?
17.11.2011
Юлия, в 2010 году.
Развернуть