Сохраняйте любой текст из конспекта или записывайте собственные мысли и выводы прямо здесь.
Сохранить
Информация об уроке Комментарии    
Дата съемки: 2010 г.
Урок ведет Тарасов Валентин Алексеевич
Оценить
Комментарии 11 комментариев
3strog@mail.ru Ученик был 09 сентября
Исправьте, пожалуйста, 2-ой тренажёр.
09.09.2014
Развернуть
Kenesary Ученик был 25 июня
Все понятно! Спасибо ! Вы замечательный учитель :) Отличный сайт !
01.04.2013
Nikita431
15.08.2014
Согласен)
Развернуть
Александр Ученик был 13 апреля
В каком уроке рассказывается подробно про D/4 ?
12.11.2012
Развернуть
Без имени Ученик был 20 августа
Виктория Константиновна, Там написано -(-1/2*1), а минус на минус даст плюс! Поэтому ошибки нет!
02.07.2012
Развернуть
Мне например, очень нравится, то как он объясняет, он вдалбливает в голову, напоминает постоянно, и это очень хорошо!
06.03.2012
Развернуть
Из-за этого дальше идет ошбика.
01.03.2012
Развернуть
И еще я нашла здесь ошибку. Он в первом способе делит -1 на 2,должно получиться отрицательное число,а у него получилась одна вторая положительная.
01.03.2012
Развернуть
ASSYRA ASKA был 11 февраля
где задачи которые прилагаются?
06.02.2012
Развернуть
Уважаемая Оксана совершенно с вами согласен, у нас была эта тема и там обьясняли обеими способами но не так подробно, а коротко и ясно!!!
03.04.2011
Развернуть

На этом уроке мы рассмотрим квадратные неравенства. Вначале вспомним свойства квадратичных функций и решение квадратных уравнений: дискриминант, теорему Виета, разложение на множители. Решим несколько примеров на рассмотренные темы.

Тема: Рациональные неравенства и их системы

Урок: Решение квадратных неравенств

1. Определение квадратного неравенства

Определение: Квадратное неравенство – это неравенство вида

В случае если a=0, мы получаем линейное неравенство.

Вспомним терминологию.

x - независимая переменная. Необходимо найти множество всех x, при которых неравенство выполняется.

a,b,c – конкретные числа, параметры;

 квадратный трехчлен;

квадратичная функция.

Решение квадратного неравенства целиком основано на свойствах квадратичной функции.

Вспомним и изучим эти свойства на примерах.

2. Решение квадратного неравенства, когда трехчлен не имеет корней

Решить неравенства:

a.  

Рассмотрим функцию  Построим и прочтем ее график.

Графиком квадратичной функции является парабола, шаблон - парабола  сдвинутая относительно начала координат.

Определим координаты вершины.

 

Схематически изобразим график функции. Ветви параболы направлены вверх, т.к. .

Теперь прочтем полученный график.

Функция определена при . Основное свойство данной функции заключается в том, что  при всех  Более того,

Ответ:

Мы рассмотрели случай, когда график функции не пересекает ось ox.

3. Решение квадратного неравенства, когда трехчлен имеет один корень

b.  

Рассмотрим функцию

Найдем корни квадратного трехчлена

D=8-8=0, значит

Схематически построим график функции

Корень x=1;

графиком является парабола, значит ветви направлены вверх.

Прочитаем график.

На промежутке  функция положительна. На промежутке  функция также положительна. При

Ответ:  

Мы рассмотрели случай, когда кривая касается оси ox в одной точке.

4. Решение квадратного неравенства, когда трехчлен имеет два корня

c.

Найдем корни квадратного трехчлена  Воспользуемся теоремой Виета.

 

 

Схематически изобразим график функции

Это парабола, ветви направлены вверх, т.к.

Прочитаем график. На промежутке  функция положительна.

На промежутке  функция отрицательна.

В точках пересечения с осью ox функция равна нулю.

Ответ:  

 

5. Свойство квадратичной функции с двумя корнями

Мы продемонстрировали методику решения квадратных неравенств для трех случаев:

1. Соответствующий квадратный трехчлен не имеет корней.

2. Квадратный трехчлен имеет один корень.

3. Квадратный трехчлен имеет два корня.

Сформулируем важнейшее свойство квадратичной функции для случая, когда соответствующий квадратный трехчлен имеет два корня.

Функция сохраняет свой знак вне интервала корней трехчлена. Функция сохраняет свой знак внутри интервала корней трехчлена. Функция меняет свой знак при переходе аргумента через корень.

Эти простейшие свойства, которые мы повторили, лежат в основе решения квадратных неравенств.

6. Решение задач

Продолжим решение неравенств.

1.  

Рассмотрим функцию

Найдем корни трехчлена  Один из корней легко определить методом подбора. Возьмем  Проверяем:  корень подходит.

Второй корень найдем по теореме Виета.

 

Построим эскиз графика функции. Графиком является парабола, ветви направлены вверх.

Отметим знаки на интервалах знакопостоянства и выберем интервалы, удовлетворяющие нашим условиям.

Ответ:  

 

Мы продемонстрировали на примере применение методики решения квадратных неравенств. Один из корней мы нашли методом подбора, рассмотрим еще один подобный пример.

2.

Рассмотрим уравнение  Можно ли угадать корень такого уравнения? Очевидно, что один из корней  Второй корень найдем по теореме Виета.

Графиком функции является парабола, ветви направлены вверх. Построим эскиз графика.

Вне интервала корней функция положительна, внутри интервала – отрицательна. Нашему условию удовлетворяет промежуток внутри интервала корней.

Ответ:  

Рассмотрим сопутствующую задачу: найти все целочисленные решения неравенства.

Точки пересечения графика с осью ox выколотые, не являются решениями. В рассматриваемом интервале только одно целочисленное решение,

Ответ:

Бывают неполные квадратные неравенства, вот одно из них:

3.

 

Рассмотрим функцию

Построим график, ветви параболы направлены вверх.

Нашему условию удовлетворяет интервал вне корней.

Ответ:  

7. Заключение

Мы рассмотрели квадратные неравенства, методику их решения, и проиллюстрировали ее на конкретных примерах.

 

Список рекомендованной литературы

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

 

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Портал Естественных Наук (Источник).

2. Центр образования «Технология обучения» (Источник).

3. Электронный учебно-методический комплекс для подготовки 10-11 классов к вступительным экзаменам по информатике, математике, русскому языку (Источник).

4. Виртуальный репетитор (Источник).

5. Раздел College.ru по математике (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.№№ 5; 6; 7.

Закрепите материал с помощью тренажёров

Проверьте знания с помощью теста

Задайте вопрос учителю, если не поняли объяснения темы во время просмотра
kobzeva.irina.99@mail.ru Ученик был 04 сентября
А как решать неполные?
04.09.2014
Развернуть
Жданов Алексей Ученик был 02 сентября
5.23 где то там, он говорит от минус до плюс единицы, а по смыслу от минус до плюс бесконечности
02.09.2014
Развернуть
andrejus Ученик был 18 августа
у вас в тесте, где есть (x-1)^2меньше16 там два одинаковых ответа, очень это делает при решение задач большие неудобства
22.02.2014
Спасибо за внимательность. В ближайшее время мы исправим данную неточность.


Развернуть
andrejus Ученик был 18 августа
здраствуйте! Во втором тренажёре, очень трудно разобраться, большая просьба приведите в порядок, то составляет много неудобства, пока разберёшься с самого начала.
22.02.2014
Спасибо за внимательность. В ближайшее время мы исправим данную неточность.


Развернуть
Евгений123456789 Ученик был 22 мая
подскажите, когда нужно применять формулу высоты пораболы, а когда решать через дискиминант/виету? как я понял, если корень 1, то решаеться через высоту параболы, а когда корней может быть несколько, то тогда решаеться через соответствующие формулы.
13.02.2014

Уточните, пожалуйста, что Вы подразумеваете под высотой параболы.

Развернуть
balakaeva1994@mail.ru Ученик был 16 сентября
где задачи которые прилагаются?
14.09.2013

Речь об упражнениях из задачника Мордковича.

Развернуть
Niyzov Muhammad был 05 декабря
0:03:24 откуда в знаменателе 21? а ни 2а
28.11.2012
woland2244
23.12.2012
Это не 21, он просто множительный знак поставил не четко.
Развернуть
как решить неравенство: у=2х-1
31.10.2012
Гульжан, вы написали не неравенство. Это - линейное уравнение с двумя переменными, решением которого является бесконечное множество пар чисел, обращающих выражение в верное равенство. Это множество решений образует прямую на графике.  
Развернуть
marakesh был 01 декабря
3x2-2x-5>0 как решить???
07.10.2012
Это обычное квадратное неравенство. Вначале приравняем левую часть к нулю и найдем корни квадратного уравнения. Корни можно искать с помощью дискриминанта или воспользоваться теоремой Виета. D = 64, тогда х1 = 5/3, х2 = -1. Отмечаем эти корни на числовой прямой и находим знаки в каждом промежутке. Ответом этого неравенства будет интервалы (-∞;-1) и (5/3;∞), в которых неравенство имеет положительное значение.
Развернуть
lonelysoul был 28 августа
как определить когда функция положительна и когда отрицательна???
27.08.2012
  Допустим, вы получили корни квадратного уравнения, отметили их на числовой прямой и получили несколько интервалов. Чтобы определить знак функции в этих интервалах достаточно взять из каждого интервала по любому числу, подставить его в уравнение вместо х и найти значение. Если получится отрицательное число, то функция на всем этом интервале будет отрицательной, так как в пределах интервалов знак сохраняется. Если получится положительное число, соответственно, функция – положительна на всем интервале. Обычно знаки чередуются, но не для всех функций. Так что лучше всегда проводить подстановку.
Развернуть