У нас новый плеер! Если он покажется неудобным, Вы можете вернуться к прежней версии, нажав на кнопку →

Вернуться к прежней версии  
Сохраняйте любой текст из конспекта или записывайте собственные мысли и выводы прямо здесь.
Сохранить
Информация об уроке Комментарии    
Дата съемки: 2011 г.
Урок ведет Тер-Ованесян Геворк Левонович
Оценить
Комментарии 2 комментария
Vavian был 16 сентября
Мерси
01.09.2012
Развернуть
Илья11 был 15 января
Большое спасибо очень помогло
05.12.2011
Развернуть
Поделиться
Ссылка на урок Чтобы скопировать ссылку, выделите ее и нажмите [Ctrl] + [C]
Код вставки на сайт Копируя приведенный ниже HTML-код, вы тем самым принимаете <a href="/ru/agreements" target="_blank">Условия использования</a>

Данный урок посвящен нахождению углов между прямыми и плоскостями.

Тема: Метод координат в пространстве

 

Урок: Вычисление углов между прямыми и плоскостями

Введем сначала понятие направляющего вектора прямой. Направляющим вектором прямой называется ненулевой вектор, лежащий на прямой или на прямой параллельной данной. То есть для прямой a вектор AB является направляющим.

Пусть даны две прямые  a и b, и их направляющие вектора  и , заданные координатами. Найдем угол β между прямыми.

Возможны два случая:

1)  Если угол φ между векторами острый, то угол φ равен углу β между прямыми. Тогда по формуле скалярного произведения векторов: (см. рис. 1).

 

 Рис. 1. Острый угол между прямыми

 

2)  Если угол φ между векторами тупой, то угол между прямыми равен – (180-φ). Тогда:  (см. рис. 2).

Рис. 2. Тупой угол между прямыми

 

Можно объединить два случая  в  одной  формуле: , где 𝛃 – угол между прямыми, а вектора  и  - их направляющие вектора.

 В 10 классе мы ввели понятие угла между прямой и плоскостью. Углом между прямой и  плоскостью называется угол между прямой  и ее проекцией на эту плоскость.

 Если нам известен направляющий вектор  прямой a и вектор , перпендикулярный плоскости α (см. рис. 3), то мы можем выразить угол между прямой и плоскостью через угол между данной прямой и прямой, перпендикулярной плоскости α:

 

 Рис. 3. Угол между прямой и плоскостью

 

Рассмотрим задачу на нахождение угла между прямыми и угла между прямой и плоскостью.

Дано: правильная треугольная призма ABCA1B1C1, .

Найдите:

а) угол между прямыми АС1 и A1B;

б) угол между прямой АС1 и плоскостью АВС.

 Решение: Пусть AB=a, тогда AA1=a√2. Введем прямоугольную систему координат с центром в точке С, и определим координаты точек A, B, C1 и A1: , , , .

 Зная координаты конца и начала векторов, находим координаты векторов: , .

 а)Векторы и являются направляющими векторами прямых  AC1 и BA1, следовательно угол φ можно найти по формуле : 

 б) Так как призма правильная, следовательно . Чтобы найти угол между плоскостью и прямой  необходимо знать вектор  и вектор, перпендикулярный плоскости ABC – вектор нормали-, . Находим угол между прямой и плоскостью:

 

С помощью скалярного произведения можно также найти угол между плоскостями.

 

Рассмотрим две плоскости α и β с нормальными векторами  и . Угол φ  между плоскостями α и β можно выразить через угол .

Возможны два случая:

1) Если ψ ≤ 90°, то φ = ψ;

 

2) Если ψ > 90°, то φ = 180°-ψ .

 Значит, угол φ можно найти по формуле: .

  

Список рекомендованной литературы

 1. Геометрия: учеб. для 10 - 11 кл. для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни /Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. – М.: «Просвещение», 2008 г.

 2. Задачи по геометрии. Пособие для учащихся 7 – 11 кл. общеобразовательных учреждений /Б. Г. Зив, В. М. Мейлер – М.: «Просвещение», 2003 - 2008.

 3. Геометрия. Задачи и упражнения на готовых чертежах. 10 – 11 кл. /Е. М. Рабинович – Харьков: «Гимназия», 2003, М.: «Илекса», 2003..

 4. Геометрия. 10 кл. Самостоятельные и контрольные работы. /А. И. Ершова, В. В. Голобородько – М.: «Илекса», 2008.

 5. Математика. ЕГЭ – 2011. Тематические тренировочные задания./В. В. Кочагин, М. Н. Кочагина – М.: «Эксмо», 2011г.

 6. Математика. ЕГЭ – 2009 /Ф. Ф. Лысенко – Ростов-на-Дону: «Легион» 2008.

  

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы Интернет

 1. Cleverstudents.ru (Источник).

 2. Ege-study.ru (Источник).

 3. Ege-ok.ru (Источник).

  

Рекомендованное домашнее задание

 1. П. 48, №466 (б, в), 467(б). Учебник для 10-11кл., Л.С. Атанасян и др.,18 изд., М. Просвещение, 2009. 

Проверьте знания с помощью теста

Задайте вопрос учителю, если не поняли объяснения темы во время просмотра
Smart Ученик был 05 июня
Вектор нормали- вектор, перепендикулярный плоскости?
23.10.2012
Да, вектором нормали к плоскости называется вектор, перпендикулярный к этой плоскости. Вместе с точкой он однозначно задает плоскость и тесно связан с уравнением плоскости.
Развернуть