Тригонометрические функции. В любой функции независимый аргумент откладывается либо на числовой прямой, либо на окружности, как это делается в тригонометрических функциях. Ну, давайте охарактеризуем и числовую прямую, и числовую окружность. Прямая становится числовой прямой, координатной прямой, напомним, если отмечены начало, направления и масштаб. Числовая прямая устанавливает взаимно однозначное соответствие между всеми точками прямой и всеми действительными числами. Ну если я взял число х1 = 3, отложил и получил точку М1 с координатою 3, М1 (3). Если я взял второе число х2 = -2, то отложил -2 и получил точку М2 с координатой -2, М2 (-2). То есть числовая прямая - это взаимно однозначное соответствие между всеми точками прямой и всеми действительными числами. Если я взял любую вот такую вот точку х3, то соответствующее число ей найдется, действительное число. Ну на самом деле люди шли к такому соответствию долго и упорно.

 

Ну чтобы это понять, давайте вспомним основные числовые множества. Вот сначала люди ввели натуральные числа – , дальше, множество целых чисел, люди придумали число 0, отрицательные числа, плюс-минус один, плюс-минус два, и это множество назвали множеством целых чисел – . Потом жизнь заставила ввести дроби, надо было что-то делить, разделять, и получили множество рациональных чисел, то есть, грубо говоря, хороших дробей – . Записать это множество можно так:  – вот такая дробь. В знаменателе натуральное число , натуральное число: 1, 2, 3… – нулем быть не может. А m может быть нулем, поэтому m – целое число, . Ну и думали, что других чисел не будет, думали, что есть взаимно однозначное соответствие между всеми рациональными числами и точками плоскости. Но, оказывается, как это ни удивительно, на координатной прямой, на числовой прямой есть бесчисленное множество точек, которые никак не описываются этими числами. И пример этому дает такой прямоугольный треугольник с катетами 1 и 1. Мы знаем гипотенузу как считать, это . Ну и, казалось бы, найдется среди множества, бесчисленного множества рациональных чисел то число, которое в точности равно , но оказалось, что это не так. Доказательство этого факта весьма замечательно, потратим некоторое количество времени, чтобы его привести.

 

Итак,  и . Равны ли они? Метод доказательства, который использовали, – метод от противного. Мы предположим, что существует такая несократимая дробь, которая в точности равна корню из двух. То есть эту длину, которую можно отложить на прямой, эту длину можно измерить вот такой дробью , то есть рациональным числом. Значит, мы так предположили. Метод говорит о том, что если дальше я получу противоречие, явное противоречие, то, значит, мое предположение неверно. Итак, мы предположили, что существует несократимая дробь, в точности равная . Если так, то m равняется . Положительные числа, значит, , а далее несложный, но очень поучительный анализ. Правая часть делится на 2, множитель 2 есть, значит, отсюда следует, что и m делится на 2. Но здесь два множителя m, m и m еще, значит,  делится на 4. Левая часть делится на 4, ну а значит,  тоже делится на 4. Ну двойка-то одна есть, а вторую двойку приходится брать из множителя n, значит, n делится на 2. Итак, n делится на 2, m делится на 2 и дробь  сократимая. Ее можно сократить на 2. Противоречие с условием. Вывод:  не равно . То есть – иррациональное число. Значит, кроме рациональных чисел, есть иррациональные числа. И вот когда к рациональным числам добавили все иррациональные числа, мы получили множество действительных чисел , то есть мы пишем, когда х больше минус-плюс бесконечности или х принадлежит R, то мы включаем сюда и рациональные числа, и иррациональные числа. Таким образом, после введения иррациональных чисел все-таки установилось взаимно однозначное соответствие между каждым действительным числом и каждой точкой прямой. Что это означает? Это значит, если я возьму любую точку на прямой, то ей я найду обязательно число, например,  – либо рациональное, либо иррациональное. А если я возьму любое число, например, , так я найду единственную соответствующую точку на координатной прямой.

 

Уточним, что такое числовая окружность и каковы взаимоотношения между множеством точек окружности и множеством действительных чисел. Окружность, диаметры, вертикальный и горизонтальный, точки A, B, C, D. Начало отсчета в точке А, первой, есть начало отсчета. Направление отсчета: против часовой стрелки – положительное направление, по часовой стрелке – отрицательное направление. Масштаб, длина окружности – 2πR, то есть 2π. Значит, вот если мы ввели вот эти три положения, то мы имеем числовую окружность, если мы сейчас укажем, каким образом каждому числу t поставить в соответствие точку окружности и наоборот. Значит, задали действительное число t, получили точку М(t) на единичной окружности. Как? Вот у нас длина дуги, Мt, вот та длина дуги АМ, отложим такую длину, чтобы длина дуги в точности равнялась t, и тогда мы получим точку М, единственную точку на этой окружности. Итак, каждому действительному числу соответствует единственная точка на окружности. А наоборот? Вот точка Мt соответствует числу t. А если я возьму число t+2π, или возьму число t+4π, или возьму число t+2πn, умноженное на любое целое число n, n принадлежит Z, то есть это числа  и т.д. Так, оказывается, все эти числа своим образом на окружности имеют только одну точку Мt.

 

Давайте конкретный пример возьмем: вот если у меня t=, соответствующая точка, точка А, вот эта длина . АВ, длина дуги от этой А до В равна . Значит, точка В имеет криволинейную координату , В (). Вот давайте я возьму все числа +2πn, где n – это целочисленная переменная, целочисленный параметр, то есть n равно . Что это означает? Это означает, что если я получил вот эту точку В, взял целый оборот, опять попал в эту точку, десять оборотов взял – попал в эту точку, сто оборотов в другую сторону сделал, опять попал в эту точку. То есть чисел много, а точка одна. Значит, нет взаимно однозначного соответствия между всеми действительными числами и точками окружности.

 

Еще раз подчеркнем этот факт: если у меня есть фиксированное число – t действительное, то ему соответствует только одна точка окружности М(t). Обратно, если у меня есть точка окружности М(t), то соответствующие числа имеют вид t+2πn, где n принадлежит Z. Иногда для наглядности пишут, что n=0;±1;±2 и т.д. И вот эта запись в тригонометрии будет играть очень существенную роль. Важно нам понять, что, в отличие от прямой, координатной прямой, числовая окружность не обладает взаимно однозначным соответствием между точками и числами. Еще раз: каждому числу соответствует только одна точка, но каждой точке соответствует бесчисленное множество чисел, и мы можем эти числа записать.

 

Теперь нам важны такие точки, как середина окружности, или середина дуги, вот эта середина, эта середина, эта середина и эта середина. Или же дугу разделим на две части и получим соответствующую середину. Значит, рассмотрим несколько из этих основных точек. Две типовые задачи. Есть окружность, точки А, B, C, D. Так вот я задал число t, равное , получил единственную точку М1 с координатой . Разделил дугу пополам, вот получил точку М1. Итак, первая задача: задал число, получил точку. Вторая задача: дана точка М1 – середина дуги АВ. Найти все действительные числа, которые ей соответствуют. Ответ: числа такого вида, во-первых, длина дуги,  будет. Значит, первое число . Можно прибавить 2π, можно прибавить 2π, можно отнять десять раз по 2π. Записывается это все следующим образом, t=+2πn, где n принадлежит Z. Ну, подробно напишем, что n={0;±1;±2;…} и т.д.

 

Итак, вот прямая задача. Дано число , положительное число. В положительном направлении отложили дугу длиною в , получили точку, точка единственная. Вторая, обратная задача. Есть точка М1, которая отстоит от точки А на длину дуги . Найти все действительные числа, которые соответствуют этой точке. Нашли. Во-первых, это сама длина дуги, то есть . И плюс 2πn.

 

Второй пример. Значит, мы говорили, что важную роль играют точки, которые дуги кратные . Это, во-первых, вот эта точка , вот эта точка . Раз , два , три , точка , четыре  - это точка π. Раз, два, три, четыре, пять  - , шесть  -  и т.д.

 

Важными также являются те дуги, которые кратны . Давайте рассмотрим число t, которое равно . Если я задал число , я получу единственную точку N1 с координатой . Вот точка N1, длина соответствующей дуги, длина дуги АN1 равна . Итак, как и в предыдущем случае, задал число, получил точку. Вторая обратная задача. Вот я взял точку N1 такую, которая отстоит от точки А в положительном направлении на , то есть длина дуги АN1 равна . Значит, какие же числа соответствуют единственной вот этой точке окружности? Во-первых, это число . И, во-вторых, все другие числа, которые кратны 2π, то есть t=+2πn.

 

Итак, мы рассмотрели две стандартные задачи на двух важнейших точках. Точки, которые кратные  и кратные . Ну а теперь сделаем следующую задачу. Найти на числовой окружности точку с координатой . Итак, задано число, надо найти точку на окружности. Рисуем окружность, основные диаметры, точки А, В, С, D. И пытаемся понять, где же та точка, которая соответствует вот этому числу. Ну давайте мы напишем, что 21 это все-таки (20+1) π/4 = 5 π + . Ну, π у нас, мы знаем, легко откладывается. Значит, во-первых, нужно пять раз взять по π. Раз π, два π, три, четыре, пять π. Значит, вот эта точка С не только имеет координату π, но ей же соответствует число 5π, точке С. А еще нужно прибавить . Ну если это  длина, тут возьмем . Точка М – середина третьей четверти. Значит, ответ: точка М – середина третьей четверти.

 

Ну, еще один пример сделаем: . Задано число . Найти точку на окружности. Вот такое значение аргумента, где эта точка на окружности? Ну, 13 на 6, это 2 π+. Вот эта точка А имеет координату 0, 2π и т.д., много таких координат. Значит, нужно сделать полный оборот и плюс . Значит, надо разделить вот эту дугу АВ на три части. Вот точка N, точке N будут соответствовать какие числа? Во-первых,  и остальные 2πn. У нас только n достаточно взять 1, то есть +2π, мы получим исходное наше число . Таким образом, искомая точка – это точка N.

 

Итак, мы рассмотрели числовую прямую, числовую окружность. Вспомнили особенности той и другой. Особенностью числовой прямой является взаимно однозначное соответствие между точками этой прямой и множеством действительных чисел. Такого взаимно однозначного соответствия нет на окружности. Каждому действительному числу на окружности соответствует единственная точка, но каждой точке числовой окружности соответствует бесчисленное множество криволинейных координат, то есть действительных чисел. И все эти действительные числа мы умеем находить. Ну и решили прямые и обратные задачи. Вообще-то с числовой окружностью следует подружиться, решив достаточное количество задач, тем более на следующем уроке мы эту числовую окружность поместим в координатную плоскость.