Числовая окружность на координатной плоскости. Ранее мы изучили числовую окружность и выяснили ее свойства. Значит, точки А, В, С, D. Свойства таковы. Первое: радиус, уже об этом не говорим, радиус у нас всегда равен единице – R=1. Значит, свойство числовой окружности: каждому действительному числу t соответствует единственная точка окружности М(t). Вот я задал число t, получил точку М с координатой t, и эта точка единственная. Обратно: если я задал точку М, то ей соответствует не только число t, но и все числа вида t+2πn, где n – целое число. Значит, криволинейные координаты этой точки не только t, но еще t+2πn. Напомним, почему это. Да потому что, если я сделаю полный оборот, я попаду в ту же точку, и много оборотов, целое число оборотов, если я сделаю, я попаду в ту же точку.

 

Давайте эту окружность, числовую окружность, мы поместим в координатную плоскость следующим образом. Вот координатная плоскость xoy, наши точки на окружности – A, B, C, D. Итак, та же самая окружность, числовая окружность, радиус единица, вот ее центр. Центр пусть совпадает с началом координат, точка А совпадает с точкой (1;0), координаты центра окружности. Вот, мы поместили нашу числовую окружность в координатную плоскость. Ну, тут же выясним, какие координаты точка В имеет? Точка В имеет координаты (0;1), точка С имеет координаты (-1;0) и точка D имеет координаты (0;-1).

 

Итак, числовая окружность помещена в координатную плоскость. Какие здесь возникают основные задачи? Числу t соответствует единственная точка М на этой окружности. Но теперь этой точке на окружности, как и любой точке в координатной плоскости, соответствуют две координаты – хм, yм – М(хм;yм). Так вот, наша задача – по данному числу t не только найти точку М, но и ее координаты. И, наоборот, по координатам найти одно число либо все числа t, которые ей соответствуют.

 

Начнем с самых простых и важных точек. Начнем с точки, точка М – середина первой четверти. Точка М – середина дуги АВ. Итак, точка М, ей соответствуют числа, во-первых,  и плюс 2πn. Другими словами, если я задам число t, равное , то я получу точку М. У точки М есть координата хм и yм.  и . Или пишут, М с координатами хм, – покороче, и yм – покороче. Итак, задача: дано t, найти координаты. Решение. Два способа решения. Нам нужно найти у этой точки абсциссу хм и найти у этой точки ординату yм. Еще раз повторяю задачу. Дано число t=, получили точку М, найти координаты этой точки.

 

Первый способ. Точка М лежит на окружности, значит, ее координаты удовлетворяют этой окружности. Вот уравнение окружности, радиусом равным единице с центром в начале координат, . Точка М лежит на прямой, эта прямая имеет уравнение y=x, потому что угол . Помним, что у нас длина дуги равна углу, если угол измеряется в радианах. Таким образом, точка М лежит не только на окружности, но и на прямой y=x. Значит, первый способ – решить вот такую систему , она несложная, предлагается ее решить.

 

Второй способ – это рассмотреть треугольник ОМК. Выпишем его отдельно, треугольник ОМК. В этом треугольнике он полностью нам задан. Радиус окружности равен единице, значит, гипотенуза ОМ равна единице. Угол равен 45°, ну если мы перейдем в градусы. Но мы работаем в радианах, значит, . Два угла в сумме составляют , значит, и второй угол тоже . Ну во всяком случае стандартная задача из 9 класса решить прямоугольный треугольник по гипотенузе и известному углу. А нам-то что нужно найти? Нам нужно найти один катет и второй катет. Ну давайте сразу правило напишем: хм,, то есть ОК, чтобы найти катет, надо гипотенузу умножить на синус противолежащего угла , ну это . xм,=ОК=1*sin =. Материал 9 класса нам говорит, что это . Ну можно, если мы забыли sin , то можно решить вот такое уравнение . Во всяком случае первую задачу мы решили, точка М имеет координаты М(;).

 

Итак, задали t, t было равно . Получили точку М, нашли ее координаты. Вот два способа нахождения этих координат. Ну если мы нашли координаты этой точки, то в силу симметрии мы можем найти координаты симметричных точек. Вот давайте напишем координаты точки М1, координаты точки М2 и координаты точки М3. В силу симметрии координаты точки М1, хм, был , значит, здесь -, а ордината та же самая осталась, значит, М1(-;). Координаты точки М2, хм, -, очевидно, и yм -, тоже очевидно, М2(-;-). И, наконец, выпишем координаты точки М3, абсцисса  и ордината-, М3(;-).

 

Итак, мы решили довольно существенную задачу. Ведь у нас основные дуги – это те, которые кратны  и . Вот дуги, которые кратны . Раз, два, три, четыре, пять, шесть, семь, восемь – вот эти дуги. Значит, координаты вот этих точек – A, B, C, D – мы заранее нашли. А теперь мы показали способ, каким образом найти координаты точек М, М1, М2 и М3. Достаточно найти координаты только одной точки М. Как это сделать? Двумя способами: либо решить вот эту систему, либо воспользоваться свойствами прямоугольного треугольника, у которого есть гипотенуза и есть угол. Есть гипотенуза и угол. Гипотенуза всегда равна единице. Почему? Это радиус. Гипотенуза равна единице. А как же мы угол находим? А угол по радианному измерению равен длине дуги, то есть равен числу t.

 

Следующая наша задача таким же образом научиться находить координаты точек, кратных . Числовая окружность помещена в координатную плоскость. Способ, как мы ее поместили, известен, центр и начало координат совмещены, точка А совмещена с точкой (1;0). Задача: t равно .Найти точку на окружности и ее координаты. Точку на окружности искали в прошлом уроке. , вот это  разделили на три части и получили точку М с координатой . Теперь нам нужно найти координаты точки М(хм;yм). Ну а где это хм и yм? Опустили перпендикуляр и опустили перпендикуляр. Вот это хм – абсцисса, yм – это ордината. Давайте рассмотрим сразу треугольник ОМК. Он прямоугольный, радиус равен единице. А где угол взять, угол треугольника? А вот из нашего знаменитого соотношения, что  рад. Значит, если вот эта длина дуги равна , то вот этот уголок равен . Ну, опять стандартная для 9 класса задача. Дан прямоугольный треугольник, у которого известна гипотенуза и угол. Значит, он полностью задан, все его элементы можно найти. Находим элемент хм, то есть один катет и второй катет – yм. Помним правило: чтобы найти катет, надо гипотенузу умножить на косинус прилежащего угла, по определению косинуса, хм=1*cos , табличная величина, хм=1*cos =. Чтобы найти другой катет, надо гипотенузу умножить на синус противолежащего угла, yм=1*sin =, табличная величина. Итак, задача решена.

 

Комментарии. Ну, конечно, забывается, косинус  забывается. Но помнится, и даже с 7 класса, что катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы, поэтому yм – это половина гипотенузы, это . А раз я yм нашел, а косинус, не помню, что это такое, так я по теореме Пифагора нашел и второй катет. Просто по теореме Пифагора и получил нужную величину.

 

Итак, мы решили задачу. Следующая. Дано число t=. Найти точку на окружности. Нашли. Найти координаты этой точки на окружности. Нашли. Итак, точка М имеет координаты М (;). А как найти координаты остальных точек, которые симметричны относительно осей координат? Ну, пожалуйста, возьмем точку. Это была точка М, эта будет точкой М1. Была точка М, будет точка М2 и точка М3. Нужно считать снова прямоугольные треугольники? Нет, необходимости никакой нет. Вот если эта величина , координата, то эта координата -. Если это , то это -. Ну и, чтобы найти координаты точек М, просто прочитаем их, да и всё. Итак, координаты точки М1 (-;). Это координаты точки М1. Координаты точки М2 (-;-). Ну и наконец, координаты точки М3 (;).

Итак, мы задали число t, равное . Нашли точку на окружности, эта точка единственная, а теперь нашли координаты этой точки в координатной системе координат. Далее мы нашли координаты симметричных точек. И, наконец, у нас еще есть хорошая точка, вот , да еще . Эта точка будет N с криволинейной координатой . Ну вот, пожалуйста, самостоятельно найдите ее координаты, потому что соответствующий прямоугольный треугольник будет равен этому прямоугольному треугольнику, и таким образом все координаты будут легко найдены. Ну, заметим в скобках, что если мы сумеем овладеть вот этой техникой и находить по числу координаты и по координатам числа, то мы по существу будем знать, как общаться с синусами, косинусами и как их вычислять без всяких шпаргалок.

 

Ну и, наконец, решим следующую задачу. Вот дана точка P1 с криволинейной координатой P1 (). Задача: найти ее прямоугольные координаты. Ну для начала надо, конечно, понять, что это за точка и с какой из основных точек она совпадает. Значит, t у нас равно . 40 на 4 – это 10π и , t==10π+. Ну, пройдя путь в 10π, мы окажемся в точке А, теперь нам нужно . Раз , два , три , четыре , пять . Оказывается точка P – это середина третьей четверти. А только что, в начале урока, мы выясняли координаты этой точки. Здесь был -, и здесь -. Итак, точка P1 имеет следующие координаты P1 (-;-). Ну аналогичным образом решаются подобные многочисленные задачи.

 

Резюме. Мы поместили окружность числовую в координатную плоскость. И научились находить по числу t, во-первых, точку на окружности и координаты этой точки (и координаты центра окружности). Значит, с этой техникой надо познакомиться, решить соответствующее количество задач, потому что это лежит в основе не только определения синуса и косинуса, но и значений синуса, косинуса, тангенса, котангенса, к которым далее мы приступим.