Тригонометрические функции числового аргумента. Речь идет о функциях y = sint, y = cost, y = tgt и y = ctgt. Ну напомню, любая функция – это закон соответствия, по которому каждому значению независимой переменной, в данном случае t, ставится единственное значение зависимой переменной y. Ну мы точно так и сделали, когда вводили эти функции. Хоть способ-то немножко был громоздкий, но тем не менее он удовлетворял требованиям единства – однозначность от х к y. Если мы задали какое-то действительное число t, то мы откладывали длину дуги, которая по длине равна t, получали точку М. Точка М имела, как любая точка окружности, две координаты – М(хм;yм). Так, первую координату хмназвали косинусом t, а вторую координату yм назвали синусом t, хм= cos t, yм= sin t.

 

Итак, имели число t, получили точку М, спроектировали на ось х, на ось y, получили хм= cos t и yм= sin t. Каждому значению аргумента t соответствует единственное значение, единственная точка М на окружности, единственная абсцисса, единственная ордината. То есть однозначность от х, y соблюдена.

 

Далее мы получали функцию тангенс t как отношение синуса к косинусу, , и если синус и косинус – это единственные числа для данного t, то и тангенс – единственное число. И котангенс t тоже единственное число, это косинус t к синусу t, . В результате мы получали отрезок (-1;1) на оси y, который называли линией косинуса. Ну на самом деле отрезок этот, ну вот косинус, откладывается здесь. Отрезок по оси х от-1 до 1, (-1;1), мы называли линией синуса. Ну на самом деле это не линия, а просто отрезок. И, стало быть, отсюда у нас некоторые свойства синуса и косинуса сразу определяются. Значит, синус и косинус не превосходят плюс-минус единицы, или модуль синуса и модуль косинуса удовлетворяют вот этим условиям, |sin t| ≤ 1, |cost| ≤ 1.

Далее тангенс. Мы выяснили, что вот линия тангенсов, вот она. И на ней удобно откладывать тангенсы. На этой линии эта точка – 0, эта точка 1, ну и так далее, эта точка -1. И если мы отложили какое-то значение тангенса, то, соединив с нулем, мы получали точки на окружности, а эти точки на окружности соответствовали определенным значениям чисел t, действительных чисел t.

 

Некоторые соотношения очевидны из определения. Ну, например, уравнение окружности это – x2 + y2 = 1. х – это косинус, y – это синус, cos2t + sin2t = 1. Это основное тригонометрическое тождество. Оно справедливо для любых чисел t. Дальше: тангенс t умножить на котангенс t есть единица, .

Далее разделим вот это вот соотношение cos2t + sin2t = 1 сначала на cos2t. Вот у нас есть основное тригонометрическое тождество, мы хотим разделить на косинус квадрат t. Ну прежде чем делить, надо записать, что возможно это деление. То есть косинус t мы рассматриваем не равным нулю. То есть не для всех теперь вот наша следующая формула будет справедлива, а только для тех t, при которых косинус не равен нулю, cost ≠0. Значит, делю на cos2t, . Получаю, . Еще одна формула, которая справедлива для всех t, кроме таких, при которых косинус равен нулю, cost ≠0. То есть надо выколоть точки t≠.

И, наконец, если это же тригонометрическое тождество мы разделим на синус квадрат, то получим . Эта формула справедлива не для всех t, а для тех t, при которых sint ≠ 0, то есть для t ≠πn. И здесь конечно n пробегает все целочисленные значения, n.

 

Итак, мы рассматриваем тригонометрические функции. Вспомнили их определение и рассмотрели основные формулы, которые связывают эти тригонометрические функции между собой.

 

О некоторых свойствах тригонометрических функций мы уже рассуждали. В частности, мы говорили, что синус любого числа t не превосходит по модулю единицы, |sin t| ≤ 1. Косинус любого числа t не превосходит по модулю единицы, |cost| ≤ 1. Это ограниченность синуса и косинуса. Далее давайте рассмотрим вот такое свойство: sin (-t) = - sint, далее оно будет называться нечетностью синуса. И cos (-t) = cos t, это свойство будет называться четностью косинуса. Ну почувствуем, проиллюстрируем это свойство на окружности. Имеем окружность, окружность числовая, помещенная в координатную плоскость xoy, и зададим t = . Длина дуги равняется . Вот эта дуга, получили точку М1, ее криволинейная координата - . Зададим число t = -. И найдем соответствующую точку на окружности. Нашли, отложили в отрицательном направлении , получили точку М2 с координатой -, это криволинейная координата точки на окружности. Первая точка имеет координаты декартовы, одну и вторую координаты. Вот это y () – это синус , и мы знаем, что эта величина равняется ½, sin =1/2. Это речь идет вот об этой координате. Здесь мы имеем синус - и эта величина равна -1/2, sin(-)=-1/2. То есть нечетность синуса проиллюстрирована. Что происходит с косинусом? Косинус  и косинус - - это одна и та же величина, мы знаем, чему она равна, мы таблицу даже составляли . Нам сейчас не так важна величина , важно, что знак минуса у косинуса пропадает, и это свойство далее будем называть свойством четности косинуса.

 

Далее. Давайте докажем аналогичные свойства для тангенса и котангенса. tg (-t) = - tgt. Почему? Ну теперь мы знаем свойства синуса и косинуса. Аналогично, они переносятся на свойства котангенса. Потому что tg(–t) это sin(–t) разделить на cos(–t).А здесь получается: у синуса минус выносится, получается –sin t, а у косинуса минус пропадает, cost. Получается минус тангенс t, . Аналогично имеем ctg (-t)= - ctgt. Рекомендую самостоятельно проверить это свойство точно так же, как мы проверили его на тангенсе.

 

Ну и отметим еще одно свойство тригонометрических функций. Это знаки их в разных четвертях. Если я имею функцию синус, то синус положителен в 1-й и во 2-й четверти, отрицателен в 3-й и 4-й. Ну если я не помню, как это проверить? Вот я имею sin , как мне проверить? Я забыл вот эту вот картинку – положительное число либо отрицательное число? Но я помню, что такое синус, определение синуса. Если у меня есть t, равное , раз , два, три, четыре, пять. Вот , важно, что число , длина дуги, находится во 2-й четверти. Синусом называется проекция на ось y, ну эта проекция положительная. Значит, синус здесь положительный. Если бы число t было в 1-й четверти, все равно синус был бы положительный. А в 3-й четверти? Ну вот если t вот такое большое, то синус будет отрицательный. Итак, синусы. Знаки синусов: плюс, плюс, минус, минус.

Знак косинуса. В первой четверти все, конечно, положительное. Давайте посмотрим, а во второй четверти косинус каков? Отрицательный. А в третьей четверти косинус каков? Отрицательный. А в четвертой – положителен. Ну и опять, если я позабыл, вот мы часто использовали точку с координатой , и косинус, и синус этой величины отрицательны. Значит, здесь минус и там минус.

 

И, наконец, последнее – тангенс и котангенс. Во-первых, можно проверить их знаки, зная определение, это отношение синуса к косинусу, косинуса к синусу. Ну расставлю положительные – здесь и здесь (1-я и 3-я четверть), а отрицательные – здесь и здесь (2 и 4 четверть). Значит, можно проверить по определению, а можно проверить по линии тангенса. Вот линия тангенса. Если у меня число расположено в 3-й четверти? Соединяю с нулем, получаю координату в положительной полуоси. Значит, тангенс здесь и здесь – положительный (1-я и 3-я четверть), здесь и здесь – отрицательный (2-я и 4-я четверть). Ну, например, для вот этой точки, для этого t1 у меня тангенс – величина отрицательная tg t1<0.

 

Итак, мы рассмотрели тригонометрические функции: синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Вспомнили, как они определяются. Вспомнили, что они удовлетворяют только одному требованию, которое накладывается на любую функцию, на любой закон соответствия – однозначность от аргумента к функции. Выяснили основные формулы, которые связывают между собой различные тригонометрические величины. И некоторые из основных свойств, которым подчиняются тригонометрические функции. И формулы, и свойства нам потребуются на следующем уроке, где мы будем решать соответствующие задачи.