Тригонометрические функции числового аргумента (типовые задачи). В прошлый раз мы вспомнили, как вводятся тригонометрические функции. Каковы связи между ними и свойства их. Теперь мы все это используем при решении типовых задач. Первая задача – вычислительная, имеет такой характер. Значит, дано, задана некая тригонометрическая функция, ну, например, sin t = . Дано значение некой функции, в данном случае синуса. t расположен в пределах от нуля до , 0 < t < . Это нам дано. Найти все остальные тригонометрические функции, их значения в искомом t. То есть найти cos t, tgt и ctgt.

 

Комментарий: вот это стандартное задание числа или угла в тригонометрии, дана некая функция и четверть, где это t расположено. Вот иллюстрация на чертеже. Линия синусов. Вот на ней -1, вот на ней 0, вот 1. Вот на ней , синус равен . Есть две точки на единичной окружности, которые проецируются в точку  на ось y. Стало быть, либо такое число и такой угол, либо такое число и такой угол. Но этот угол стеснен другими условиями, он находится в первой четверти.

 

Итак, после этих комментариев решение. Ну, во-первых, используем основное тригонометрическое тождество. Нам синус дан, а нужен косинус. Вспоминаем, что . Синус нам дан, поэтому косинус можно найти. Ищем: . Остановимся поподробнее, косинус квадрат, квадрат какого-то числа равен . Чему равен косинус, то есть само число? Не забыть, что косинус здесь равен . Итак, два значения косинуса, но припоминаем, что t у нас находится в первой четверти, в первой четверти косинус величина положительная. Значит, . Далее, ищем тангенс t. Тангенс t – это отношение синуса к косинусу, , и синус, и косинус у нас сейчас известны, то есть просто вычисление, . И в результате получаем , одну дробь поделили на другую, 5 сократилось. Тангенс t найден: . И осталось найти котангенс. Котангенс t равен: единицу разделить на тангенс t, то есть единицу разделить на , получаем , . Итак, последнее значение найдено, . Ответ: косинус равен , тангенс равен , котангенс равен .

 

Итак, мы рассмотрели первую типовую вычислительную задачу, которая заключалась в следующем: дано значение синуса, дана четверть. Найти значения остальных функций. Для этого мы использовали основное тригонометрическое тождество. Ну и, как показывает опыт, такие задачи решаются не так уж сложно. А вот следующая задача такого же содержания, но почему-то решается с трудом. Мы ее сейчас решим и расскажем, почему, на наш взгляд, там делаются типовые ошибки.

 

Дано: тангенс t равен -, t больше, чем , но меньше π. , < t < π. Вот это дано. Найти значения всех остальных тригонометрических функций, то есть котангенс t, косинус t и синус t. Решение. Вот дан тангенс. По нему, конечно, легко найти сразу котангенс. Котангенс t равен: единица разделить на тангенс t, ctg t =, то есть ctg t =. Котангенс t найден.

 

Ну, вот затруднения бывают, а как же найти, зацепиться за синус и за косинус? Природа этих затруднений в незнании формул. Если формулы забываются, а они таки забываются, надо помнить вывод этих формул. И они мгновенно всплывают. Вывод: . И это часто помнится, основное тригонометрическое тождество. Ну дальше, чтоб перейти к тангенсу, котангенсу. Мы делили, и всегда мы будем делить на косинус квадрат или на синус квадрат. И в результате получаем важную формулу – . Значит, мы вспомнили не только формулу, но и ее вывод. Что она дает? Она дает возможность найти косинус, если дан тангенс. Нам дан тангенс. Находим: . Вычисляем: 1 плюс-минус под квадратом пропадает, , равняется единица на косинус квадрат t. Приводим к общему знаменателю: . Решаем это простейшее уравнение относительно косинуса квадрата: . Как решаем это уравнение? Во-первых, по свойству пропорции мы знаем, что, чтобы найти один член, надо перемножить вот эти члены и поделить на этот член. Если я забыл свойства пропорции, я переношу все в одну сторону и честно решаю уравнение относительно косинуса квадрат. Итак, получили опять квадрат косинуса, величина известная, а нужно найти сам косинус. Косинус t есть плюс-минус корень квадратный из этой дроби. Из числителя квадрат 12, из знаменателя квадрат 13, . Итак, неизбежный отбор знака по четверти. Ну, забыли мы, какой косинус в этой четверти, ну так сам-то, что такое косинус, мы помним, поэтому мгновенно вспомним, какой знак нам нужно отобрать – либо плюс, либо минус. Вот линия тангенсов, на линии тангенсов -. Соединили с нулем, получили t, которое расположено в пределах от  до π. Пометим от  до π. Значит, четверть вторая. Нам нужен косинус. Косинусом называется абсцисса точки. Во второй четверти косинус t явно величина отрицательная, cos t < 0. Поэтому пишем, что cos t = -.

 

Нам потребуется синус t, но тут же увидим, что синус t во второй четверти – величина положительная. Синус t находим следующим образом.  Значит, . Это , косинус квадрат вон у нас был. Значит, синус квадрат t равен: 169 – знаменатель, 169 – 144, получим 25, . Квадрат синуса известен. Значит, синус сам равен плюс-минус корень квадратный из этой дроби, . Мы только что проанализировали, что синус здесь величина положительная. Значит, .

Итак, мы получили и синус, и косинус, и котангенс. Ну и в результате задача решена.

Следующий тип задач – это упрощение, доказательство тождеств. Вот одна из них. Докажите тождество: . Доказать, что эта дробь равна следующей дроби . Значит, доказать тождество. Доказательство. Давайте сразу воспользуемся свойством пропорции и перемножим крайние и средние члены. Если это справедливо, то справедлива и следующая строчка: , должно быть равно . Перемножаем, используя формулу сокращенного умножения, естественно: . Но мы помним, что . Значит,  это будет . =, что и требовалось доказать. Это верно, значит, и предыдущее верно. Итак, мы рассмотрели несложную, но важную задачу на доказательство тождеств на упрощение.

 

Ну и, наконец, еще одна задача, которая вбирает в себя различные свойства и формулы. Звучит она так: найдите наибольшее и наименьшее значение функции y=f(t) и это f(t) равно . Итак, задана некая функция от t, это комбинация тригонометрических функций. Требуется найти наибольшее и наименьшее значение этой функции. Ну, естественно, сначала необходимо все упростить. Пишем: y равен,  не трогаем. Если у нас есть косинус и тангенс, то, конечно, лучше всего привести к косинусу,  это есть . y=, ну, мы видим, кое-что можно уже сократить. Сократили, y=. Значит, y зависит и от синуса квадрат, и от косинуса квадрат, ну одно через другое выражается. У нас здесь есть косинус квадрат, ну давайте напишем тогда, что  есть , в соответствии с основным тригонометрическим тождеством. Получим, y=. Ну конечно, могли бы мы увидеть, что синус квадрат минус единица – это минус косинус квадрат, при некотором навыке, конечно, мы это будем дальше видеть. Единицы сокращаются, и получаем, что y=. В каких пределах  меняется? Ну, во-первых, меньше нуля квадрат быть не может, нулем быть может, значит, самое маленькое значение – ноль. Сам косинус, как мы видели, находится в пределах плюс-минус единица, его модуль не превышает единицу. Значит, и косинус квадрат t будет находиться в пределах от нуля до единицы, . А ? А  будет, здесь я обе части могу умножить на 4, . Значит, моя функция меняется в пределах от 0 до 4, . А мне сказано, найдите наибольшее и наименьшее значение функции. Пишу ответ: y наименьшее – 0, y наибольшее – 4. Ответ получен.

 

Итак, мы видели, что задач тригонометрических довольно много. Мы рассмотрели только некоторые, типовые, наиболее распространенные. А вот эта задача как бы не совсем распространенная, но мы видим, что могут быть разные задачи. Ключи к решению всех этих задач одни и те же, те формулы, которые выведены, проанализированы, и те свойства, которые мы упоминали. И они же будут использоваться и в последующих уроках.