Данный текст представляет собой неотредактированную версию стенограммы, которая в дальнейшем будет отредактирована.
InternetUrok.ru
Алгебра. 10 класс
Глава 1. Тригонометрические функции
Урок 8. Тригонометрические функции углового аргумента
Тарасов В.А., учитель школы «Логос ЛВ»,
ст. преп. фак-та довузовской подготовки МИХТ
08.07.2010 г.
Тригонометрические функции — числовой аргумент
Тригонометрические функции углового аргумента. Мы изучаем тригонометрические функции числового аргумента у= sint, y=cost, y=tgt, y=ctgt.
Теперь аргументом t будет угол.
Полезно вспомнить, откуда появилась необходимость введения новых терминов: синус, косинус, тангенс и котангенс. Ведь жили мы некоторое время без этих терминов и не ощущали никакой необходимости в них.
Когда возникла эта необходимость? Из жизни, например, из необходимости вычислить высоту дерева, не залезая на него.
Рассмотрим конкретную ситуацию.
Рассмотрим треугольник АВС. Наблюдатель из точки А может, во-первых, измерить длину катета АС, назовем его b, длину эту. Может измерить угол a, и для этого есть соответствующие инструменты. Может выставить уменьшенное дерево В1С1 известной длины а1. Далее имеем пару подобных прямоугольных треугольников АВ1С1, АВС.
? АВС~?АВ1С1. В ? АВС стороны b – неизвестный катет х и неизвестная гипотенуза у.
В ~?АВ1С1 один катет А1, а второй катет обозначим за b1. Из подобия треугольников мы вычислим неизвестную высоту х.
Из подобия треугольников имеем:
имеем пропорцию, откуда находим = через известные величины.
Величина – отношение катета к катету зависит только от величины угла.
И в большом треугольнике, и в малом треугольнике с углом a. Это одна и та же величина, ее назвали тангенсом угла, заранее вычислили, свели в таблицы. Теперь мы имеем возможность ею воспользоваться и найти неизвестную высоту дерева.
В результате, чтобы найти неизвестный катет х, надо известный катет b умножить на тангенс a, который заранее вычислен.
Другая задача.
Найти расстояние у до недоступной вершины В. У – это гипотенуза в прямоугольном треугольнике АВС. Для маленького треугольника гипотенузу обозначим за с1. Из подобия имеем:
, а именно: гипотенуза к гипотенузе так же, как катет к катету.
Отношение зависит только от угла a, это отношение назвали косинусом:
Таким образом, у выражается через bи соsa. Мы видим, что необходимо ввести новый термин косинус a.
Итак, мы нашли высоту дерева, не залезая на него. Нашли расстояние до его вершины, тоже не залезая на это дерево. Но для этого нам потребовалось ввести некоторые величины, которые зависят только от угла и определяют этот угол. Этими величинами были тангенс и косинус. Вспомним, что ранее мы в прямоугольном треугольнике вводили все величины и определенные правила.
Напомним их:
Синусом угла a мы называли отношение катета, противолежащего к гипотенузе. Следует заметить, что у треугольника два катета. Один против угла, а другой прилежащий к углу.
Так вот синус – это отношение катета, противолежащего к гипотенузе.
Это для угла a.
Для угла b противолежащим катетом является катет b, это отношение .
Косинусом угла a назвали отношение катета, прилежащего к гипотенузе. Прилежащим катетом к углу a является катет b.
Косинусом угла b назвали отношение катета, прилежащего к гипотенузе, т.е. катета а к гипотенузе с.
Тангенсом назвали отношение противолежащего катета к прилежащему, и котангенсом назвали отношение катета, прилежащего к противолежащему.
Итак, мы вспомнили, что такое синус, косинус, тангенс, котангенс угла a.
Из этих определений следует важное правило для нахождения неизвестных или недоступных элементов ? АВС.
Вот эти правила:
Чтобы найти неизвестный катет, надо гипотенузу умножить на синус противолежащего угла или на косинус прилежащего угла.
Таким образом, вычисляется катет через гипотенузу.
А через другой катет?
Чтобы найти катет а через другой катет b, надо этот другой катет b умножить на тангенс противолежащего угла или на котангенс прилежащего угла.
Итак, мы сформулировали важные определения синуса, косинуса, тангенса, котангенса углового аргумента. И основные правила, которые вытекают из этих определений.
Но ранее мы изучали функции те же самые синуса, косинуса, тангенса и котангенса числового аргумента.
Покажем, что здесь никакого противоречия нет.
Итак, повторяем определения тригонометрических функций числового аргумента t.
Задали число t. Значит, на единичной окружности получили единственную точку М. Длина дуги РМ=t. У этой точки Мt есть пара координат – абсцисса и ордината. Одну из низ абсциссу назвали соst.
Итак, .
Синусом назвали ординату точки М, значит, это либо АС2 либо С1М.
в данном случае.
Итак, определили, что такое синус, что такое косинус для числа t.
Тангенсом назвали отношение синуса к косинусу, а котангенсом – отношение косинуса к синусу.
Покажем связь между угловым аргументом a и числовым аргументом t.
Напомним, что угол a можно измерять, например, в градусах или в радианах. Мы будем измерять угол a в радианах. Если a измеряется в радианах, то известна формула. Длина дуги, которая соответствует, углу центральному a вычисляется по формуле: la=R. aрад
Но у нас R=1. Значит, длина дуги и выражение a в радианах численно одинаковы la=aрад
Значит, аргумент t равен аргументу a, если он выражен в радианах t=aрад, а если так, то и sina=sint. И это относится ко всем другим тригонометрическим функциям.
Таким образом, угол a, выраженный в радианах, можно рассматривать как геометрическую интерпретацию числового аргумента t.
Рассмотрим подобие ? АМС1~?АВС.
Они подобны как прямоугольные с одинаковым углом a.
Из подобия имеем:
Что такое sint? Это ордината точки М. Что такое sina? Отношение катета, противолежащего к гипотенузе. Мы снова получаем, что sint= sina. Напомним, a в радианах.
Аналогично: убеждаемся в том, что снова cost=cosa.
в одном треугольнике катет, прилежащий к гипотенузе, равен отношению
катет, прилежащий к гипотенузе, в другом треугольнике.
Отсюда cost=cosa.
Таким образом, мы еще раз подтвердили связь между тригонометрическими функциями и числового, и углового аргумента.
И, наконец, рассмотрим очевидное подобие, из которого найдем, что касательная, проходящая через точку Р, может называться линией тангенсов.
Итак, ? АРТ ~? АС1М подобны по той же самой причине. Из подобия имеем:
ТР – катет к катету уt равен другой катет АР к катету хt, имеем такую пропорцию.
Откуда
Таким образом, ТР – это тангенс угла a или тангенс числа t.
Таким образом, линия, которая проходит через точку Р и касается окружности, является линией тангенсов.
Рассмотрим подобие треугольников.
?QKA~? C1AM
QK=
Оба треугольника прямоугольные и имеют по острому углу a. Указанные углы равны как накрест лежащие при параллельных прямых QK и АР.
Прямая QK – это касательная к окружности. Она перпендикулярна линии АQ.
Итак, из подобия этих треугольников мы имеем , эти катеты прилежат к углам a. Другие катеты , QA в одном треугольнике и уt в другом треугольнике противолежат углу a.
Из этого подобия находим длину отрезка QK=, потому что АQ это 1, это радиус единичной окружности. Таким образом, длина отрезка QK численно равна котангенсу числа t. Поэтому касательная QK называется линией котангенсов.
Итак, мы рассмотрели тригонометрические функции углового аргумента. Вспомнили истоки появления новых на то время терминов синуса, косинуса, тангенса, котангенса. И рассмотрели связь между числовым и угловым аргументом.
