Данный текст представляет собой неотредактированную версию стенограммы, которая в дальнейшем будет отредактирована.

InternetUrok.ru

Алгебра. 10 класс
Глава 1. Тригонометрические функции
Урок 1. Введение (длина дуги окружности)
Тарасов В.А., учитель школы "Логос ЛВ", ст.преп. фак-та довузовской подготовки МИТХТ
08.06.2010 г.

Тригонометрические функции. Введение. Длина дуги окружности.
Наша ближайшая цель – это ввести тригонометрические функции. Ну, мы знаем, что это за функции: y=sin x, y=cos x, y=tg x и y=ctg x. Значит, ввести тригонометрические функции. Поэтому не мешало бы вспомнить, что такое функция, что нужно для ее введения и какие основные сведения о функциях вообще. Начнем с определения. Функцией y=f(x) называется закон соответствия, который каждому элементу х из множества Х ставит в соответствие единственный элемент y из множества Y. Итак, определение дано, названы множества и единственное требование к этому закону соответствия. Множества Х и Y могут быть произвольной природы, но мы изучаем числовые множества, числовые функции, поэтому Х, Y у нас числовые множества, а х, y – действительные числа. Множество Х, то есть множество всех значений аргумента х, называется областью определения функции, или областью допустимых значений функции. Значит, это множество всех допустимых значений аргумента. А Y – это множество значений функции. Область определения, х – независимый аргумент, y – зависимая функция. Единственное требование к закону соответствия только одно – однозначность от х к y.
Ну почему такое требование введено? Ну давайте, чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим обычную задачу. Вот мы вышли из дома, поехали в школу, пошли на стадион и т.д. Значит, по оси х мы откладываем время, по оси y откладываем расстояние от дома. Ну, вот в каждый момент времени я от дома нахожусь только на одном расстоянии. Я не могу от дома находиться на расстоянии 3 км и 5 км одновременно. Поэтому все процессы, которые есть в природе, технике, они описываются функциями. А для того чтобы ввести функцию, надо соблюсти требование однозначности от аргумента к функции. Значит, каждому значению аргумента должно соответствовать только одно значение функции. Значение аргумента мы откладываем на оси х. Ну вот, например, функция  или . Значение аргумента мы откладываем на оси х, на числовой оси. Для введения тригонометрических функций мы будем откладывать эти аргументы также на числовой окружности. Ну, вот поэтому мы сейчас познакомимся с числовой окружностью. И вспомним, какие типовые задачи, каким образом аргумент можно откладывать на числовой окружности.

Вначале давайте все же посмотрим, правильно ли мы понимаем определение функции. Ну, вот я нарисую график, оси х, y. Нарисую окружность. Множество точек х, y, которое лежит вот на этой окружности. Еще один график – верхняя полуокружность. Ну, допустим, радиус 1. Следующий график – нижняя полуокружность. Вопрос: является ли график, изображенный на первом рисунке, графиком функции? На втором рисунке? На третьем рисунке? Ответ: нет. На первом рисунке изображен не график функции. Почему? Да потому что, вот этому, например, значению аргумента х1 соответствуют два значения функции – y1 и y2. Единственное требование, которое накладывается вот на закон, однозначность от х к y не соблюдена. Значит, это не график функции. А что же это такое? Это график уравнения. Напомним уравнение окружности . Это график вот этого уравнения, одного уравнения с двумя переменными.

А это? Это график функции. Да, действительно, это график функции. Вот мы возьмем любое х1, ему соответствует только одно значение аргумента. Ну, отсюда можно найти, что . И легко найти, что функция здесь такова: . Ну а где же здесь область определения? А вот область определения – множество всех Х. А где же здесь множество значений Y? А вот здесь множество значений Y, множество всех Y.

Итак, мы стремимся ввести тригонометрические функции. Для этого вспомнили, что такое функция, основные сведения о функции, что такое область определения, что такое область множества значений функции. И вспомнили, что в обычных функциях аргумент откладывается на оси х. Что такое числовая ось х и когда на ней можно откладывать аргумент? Напомним, любая прямая становится числовой осью, осью координат, если выполнено три условия. Первое: отмечена точка начала координат. Второе: есть масштаб. И третье: есть направление. Так мы говорим, чтобы ввести тригонометрические функции, нам придется отложения все эти делать на окружности. Поэтому надо уметь длину окружности определять и соответствующие углы.

Итак, сейчас мы рассмотрим круг, окружность и его части. Итак, нарисуем окружность и вспомним первое важное определение. Ну, вообще, что такое окружность? Вот я дам неправильное определение, скажите, в чем я ошибаюсь. Окружностью называется множество точек плоскости, которые равноудалены от одной точки – центра О. Что казалось бы тут неправильного? Опытные экзаменаторы тут же укажут, ну, вот квадрат, вот вершины квадрата, вот множество точек, которые равноудалены от одной точки, от центра. Но это же не окружность. Какое ключевое слово пропущено здесь в определении? Множество всех, всех, всех точек. Вот видите, значит, в формулировке каждая запятая важна, каждое слово важно. Тем более в теореме.

Итак, вот есть окружность радиуса R. И давайте вспомним, а что такое радиан? Угол в один радиан, это такой центральный угол, длина дуги которого равна радиусу. Итак, определение дано. Второе: связь с градусом. Ну, как перейти от градуса к радиану? Мы вспомним, для этого надо узнать, а сколько же раз в окружности? В окружности 360°, полный угол 360° – вот разделили всю окружность на 360 частей и сказали, что вот соответствующий угол – это угол в 1 градус, ну, все понятно. А сколько же в окружности, в полном угле содержится радиан? Раз радиус – один радиан, второй радиус – получил второй радиан, третий радиус – еще один радиан. Ну и сколько здесь таких штук? Вспомним, что длина дуги окружности равна 2πR (формула дуги). Значит, в окружность укладывается ровно 2π штук радиусов. Значит, 360° соответствует 2π радианам. Ну, π здесь число знаменитое, примерно равно 3,14. Это еще в древности измеряли ниточкой длину окружности, измеряли радиус, отношение брали. И увидели, что какие бы окружности не взяли, их отношение равно π. Вот π – это 3,14 у нас, а на самом деле знаков там много. Итак, вот связь между градусами и радианами – . Сократив на 2, мы увидим, что 180° – это π радиан. Значит, примерно 3,14 радиана.

Ну, отсюда наши знаменитые углы. Вот что такое, как перевести 30° в радианы? Вот сколько 30° содержат радиан? Ну, не знаем, в 30° содержится α радиан. Но зато знаю, что в 180° содержится π радиан. Ну, и отсюда пропорция, и находится α, равняется , то есть . Значит, можно перейти от радиана к градусу, и, наоборот, от градуса в радиан. Ну, например, как найти, сколько градусов содержится в одном радиане. Вот один радиан содержит х градусов, не знаем. Вот знаю, что π радиан содержит 180°. Ну и отсюда х равен , вот, сколько градусов содержится в одном радиане.

Ну, вопрос на понимание радиана. Вот радиан, это такой центральный угол, длина дуги которого равна радиусу (формула дуги). Вопрос, он больше 60° или меньше? Даже неточный чертеж показывает, что-то около 60°. Вот эта длина – радиус, вот эта длина – радиус, и длина вот этой кривой – радиус. Вопрос: один радиан больше 60° либо меньше 60°? Ответ. Дается сравнениевот этой хорды и вот этой дуги. Длина хорды, допустим, а, естественно, а меньше, чем радиус, а<R. Если бы это был угол в 60°, то длина а была бы равна радиусу. Ответ: 1 радиан меньше, чем 60°, 1 рад<60°. А можно точно найти, чему равен 1 радиан? Можно, ну вот это примерно, . В учебнике дано примерное выражение. Нам важно одно, нам важно, что один радиан, мы понимаем, меньше, чем 60°. Итак, мы вспомнили, что такое радиан и каким образом перевести любой угол из градусов в радианы и наоборот.

Ну, мы сказали, что нам важно длину дуги находить. Ну в том числе и другие части круга, полезно вспомнить, как находятся. Вот, допустим, теперь у нас АОВ – это сектор. Он характеризуется углом α, α можно в радианах либо в градусах измерять, и длиной дуги. Вот нам важна длина дуги l. Площадь сектора, как же ее найти, зная определение радиана. Площадь сектора, это часть круга. Площадь круга - . В одном круге содержится 2π радиан. Разделю на 2π и получу площадь сектора в 1 радиан, . А у нас α радиан. Значит, надо умножить на α радиан. И в результате получим симпатичную формулу: (формула окружности круга). Ну сектор, хорошо, мы нашли, но нам все-таки длину окружности хорошо бы найти. Длина дуги – это часть всей окружности, длина всей окружности – это 2πR, это длина всей окружности (формула окружности круга). В окружности укладывается ровно 2π штук радиан. Поделю на 2π и получу R – длину дуги окружности в 1 радиан. А здесь α радиан, поэтому получаем такую симпатичную формулу .

Значит, наша цель, откладывать тригонометрические функции на окружности. Откладывать аргумент, то есть длины дуг нам нужно уметь находить, вот, оказывается, формула – . Длина дуги любой, это R на α в радианах. Ну, мы в тригонометрии R будем всегда считать равным единице, R=1. Тогда совсем хорошо получается: l– длина дуги окружности, численно равна углу α, который выражен через радианы,  рад. Вот самая главная для нас формула. Итак, мы, если мы можем вычислять, если мы сумеем вычислить длину дуги, мы тем самым сумеем вычислить центральный угол. И наоборот. Вот эти типовые задачи, конечно, нужно уметь решать.

Конкретная типовая задача. Радиус окружности равен 1, R=1. Найти: первое – длину окружности, второе – длину  части окружности –  и третье –  длину дуги окружности, которая соответствует центральному углу в  радиан, lα, α=. Решение. Ну, вспомним некоторую еще терминологию. ABCD – вертикальный диаметр окружности и горизонтальный диаметр окружности. Дуга АВ – это первая четверть. Четверть чего? Четверть окружности. Вторая дуга – это вторая четверть, третья дуга – третья четверть и четвертая дуга – это четвертая четверть. Так вот, что такое, как найти нам длину всей окружности? Формула нам известна – 2πR, то есть ровно 2π сантиметров. Вот сколько радиан во всей окружности? 2π радиан. И длина дуги равна 2π радиан, мы вспоминаем, что мы вывели хорошую формулу,  в радианах. Вот формула. Далее, в тригонометрии мы радиус будем всегда считать равный единице. Ну вот длина четверти, каждой четверти? Понятно, что 2π надо поделить на 4, и получается . И когда мы пишем вот здесь в этой точке , значит, мы имеем в виду, что длина всей вот этой дуги – это четверть всей окружности, . Ну и, наконец, третья задача у нас, угол . Центральный угол , значит,  равняется просто  сантиметров.

Далее, следующая задача. Окружность того же радиуса, те же вертикальные и горизонтальные диаметры, точки А, В, С, D. И каждая четверть разделена пополам. Вот точка P1 разделила пополам первую четверть, первую дугу, точка P2 – середина второй дуги. Соответственно, точка P3 и точка P4. Задача: найти длины дуг. Первая дуга АP1, вторая дуга АP2, ну и третья дуга – АВP3. Все эти задачи и другие многочисленные будут решены, если мы будем понимать, что вся окружность есть длина всей окружности – 2π.  – длина каждой четверти, значит, длина половины – это . Длина вот этой половины –  и т.д., каждая длина есть . Это результат того, что мы каждую четверть разделили пополам. А если мы разделим на 3 части, то мы будем знать соответствующие дуги. Ну так вот, нам нужно дуга АP1, ну, длина дуги АP1 просто-напросто , АP1=. Длина дуги АP2, вот длина вот этой дуги? Раз , два , три . АP2=. А какая размерность? Да такая размерность, размерность совпадает с размерностью радиуса, радиус равен единице. Ну если это один километр, значит, соответственно, в этих же единицах будет длина дуги. Далее, дуга АВP3. Раз, два, три, четыре, пять. АВP3=.

Итак, наша цель – научиться считать дуги, их величину. И раз мы умеем считать дуги, то мы умеем высчитывать и соответствующие центральные углы. Таким образом, мы рассмотрели круг, важнейшие его части, главное – длина дуги окружности. Вывели важную формулу, что если угол выражается в радианах, то длина дуги окружности численно равна углу, который выражен в радианах. Ну и научились решать соответствующие задачи. А именно: вычислять дуги и их части, дуги и соответствующие углы. Следует, конечно, самостоятельно научиться решать соответствующие задачи. Ну, например, решить те задачи, которые изложены у нас или в учебнике. Естественно, что полученные сейчас знания, нам будут важны для следующего и последующих уроков. Мы будем постепенно приближаться к введению тригонометрических функций и решению задач на них.