Что же такое числовые выражения, что же такое алгебраические выражения? С числовыми выражениями мы много раз имели дело: это те выражения, которые составлены из чисел и знаков арифметических операций – сложения, вычитания, умножения, деления. Например,

½ + 2,

2/3 +1,

½ + 11/3.

Это числовое выражение, его надо упрощать. Еще самый простейший пример:

3 – 2,

4 + 5,

6 + 1.

Некоторые числа можно заменить буквой, и тогда мы получим алгебраическое выражение. Можно два числа заменить буквой и получить выражение a + b. Первое слагаемое – это а, второе слагаемое – это b. Мы получили алгебраическое выражение. В этом алгебраическом выражении буквы, или буквенные переменные. Почему переменные? – Потому что они могут принимать разное значение, обозначают различные числа. Числа могут быть целыми, дробными, положительными, отрицательными. Итак, алгебраические числовые выражения начинаются тогда, когда появляются буквенные переменные. Как только буквенные переменные принимают конкретное значение, мы получаем снова числовое выражение. Таким образом, алгебра базируется на знании арифметики. Алгеб. выражения, работа с ними, целиком базируется на работе с числовыми выражениями.

 

Ну, а в чем преимущество? – Предположим, нужно вычислить вот эти три примера и сделать какие-то суждения. Например, одно из суждений заключается в том, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется. Что 4 + 5, что 5 + 4. Это справедливо для чисел 4 и 5, это справедливо для чисел 6 и 1. А если мы хотим сказать это для всех чисел? Первое слагаемое мы обозначили а, второе – b. Запишем, что:

a + b = b + a.

 

Простое и ясное правило.

Итак, для алгебраических выражений числовые выражения являются частным случаем. Поэтому следует повторить различные действия с числовыми выражениями. Вот первый пример: надо вычислить сумму:

½ + 22/3 +1½ + 11/3.

Можно конечно действовать прямо: к первому слагаемому прибавлять второе и так далее. Но можно облегчить себе жизнь, если заметить, что ½ (первое число) легко сложить с третьим числом. И второе число тоже легко сложить с четвертым. То есть написать:

(½ + 1½) + (22/3 + 11/3).

Получим: в первой скобке 1 и две половинки дадут 2, во второй скобке 2 + 1, и к 2/3 прибавим 1/3 – будет 1, значит, прибавим 4. Итого:

2 + 4 = 6.

Таким образом, при работе с числовыми выражениями действуют определенные правила, определенные рекомендации, которые конечно следует выполнять и повторить видимо обязательно.

Следующий пример:

3а + b.

Это какое выражение? Числовое? Ведь здесь все-таки числа есть: вот число 3, неявно стоит 1. Но это алгебраическое выражение! А какие типовые действия с алгебраическими выражениями? – Мы говорили, что любая буква – это буквенная переменная. Почему переменная?  – Потому что она может принимать любые допустимые значения. В данном случае число а может быть любым и число b – буквенная переменная – может принимать любые значения. Значит, главная самая распространенная задача – это вычислить данное алгебраическое выражение при некоторых, конкретных заданных значениях буквенных переменных.

Вот первый пример: дано алгебраическое выражение:

3а + b.

 

Нужно вычислить его при следующих условиях: пусть а = 1, b = 3. Мы подставим, получим числовое выражение и вычислим его. Теперь второй пример: а = 1, b = –3. И, наконец, третье: а = 2, b = –10.

Естественно, можно составить много таких примеров. Достаточно вспомнить и понять, что эти числовые выражения, будучи подставлены в исходное, дадут конкретное числовое выражение и его можно вычислить. Так в первом случае мы имеем 3 * 1 и + b, а b = 3. Ответ 6:

3 * 1 + 3 = 6.

Значит, ответ на первый пример: данное буквенное или алгебраическое выражение при заданных значениях а и b равно 6.

Во втором примере а = 1, значит, 3*1, а b = –3, значит, прибавить –3:

3*1 – 3 = 0

это выражение принимает значение, равное 0.

И, наконец, в третьем случае: а = 2, значит, 3 * 2 и + b, а b = –10:

3 * 2 –10 = –4.

Таким образом, простейший пример показывает, что из алгебраического выражения мы можем получить много числовых выражений, если буквенным переменным придавать различное значение. Этот пример убеждает нас в том, что следует вспомнить: а каким образом мы работаем с числовым выражением? – Если буквы приняли конкретное значение, то получается числовое выражение.

Учебник нам предлагает для этой цели следующий пример:

.

Обозначим все, что стоит в первой скобке за А – буквенная переменная состоит из конкретных числовых данных. Второе выражение обозначим за В, все что стоит в знаменателе обозначим за С. Если мы все искомое выражение обозначим за D, то чтобы вычислить D, нужно сначала вычислить А, разделить его на В и разделить на С:

.

Итак, порядок действий понятен. Выполняем. Чтобы вычислить А, как и в предыдущем примере, следует все-таки посмотреть, как попроще организовать это вычисление. Ясно, что от 4,81 легко отнять 2,81. Тогда мы сгруппируем

(4,81 – 2,81)

и к этому выражению прибавим оставшуюся скобку, которая образована суммой чисел 2,73 и 3,27:

(2,73+3,27).

Это вычисляется несложно:

А = (4,81 – 2,81) + (2,73+3,27) = 2 + 6 = 8.

Первая скобка равна конкретному числу 8. Вторая скобка:

В = 2/5 – 14/5.

Вспоминаем правило: надо вычесть две дроби. Знаменатель одинаков, значит знаменатель остается, от 2 нужно отнять 14:

 

(2 – 14)

 5.

И в результате получена вторая скобка:

В = –12/5.

Итак, мы вычислили А, мы вычислили В, и остается вычислить С.

Сначала нужно разделить А на В, а потом уже заниматься С. Мы знаем, что такое А, мы знаем, что такое В, теперь нам нужно вычислить А : В, дробь:

А : В = 8 : (–12/5).

Смотрите, сколько правил мы повторяем, теперь надо положительное число разделить на отрицательное. Во-первых, надо вспомнить, что будет отрицательное число. Во-вторых, надо вспомнить, что такое число разделить на дробь. Стало быть 8 надо умножить на обратное выражение:

А : В = 8: (–12/5) = –8 * 5/12.

Конечно, если есть возможность сократить, обязательно нужно это сделать. И 8, и 12 делятся на 4. Значит:

–2 * 5/3.

Итак, получаем:

–10/3.

Запомним, числитель у нас готов.

Итак, нам нужно вычислить исходное выражение D. Оно равно: в числителе, мы выяснили, –10/3, а в знаменателе – перепишем 25 * 37 * 0,4. Осталось вычислить такое выражение. Каким образом можно проще вычислить весь знаменатель? – Конечно 25 легко умножить на 0,4, это будет 100:

D = –,

10 и 10 сокращаем, и окончательно:

– 1/3 * 37.

Производим перемножение и вычисляем:

D = –1/111.

Вот окончательный результат.

Итак, мы выполнили довольно большой объем вычислительной работы, и он приведен в учебнике. Мы его повторили только для того, чтобы еще раз подчеркнуть, какие же здесь основные правила были использованы. Ну, во-первых, порядок арифметических действий, во-вторых, переместительный закон сложения

a + b = b + a.

Мы много раз им пользовались для того, чтобы упростить вычисления, то есть от перемены мест слагаемых сумма не меняется. Далее, от перемены мест сомножителей произведение не меняется:

a * b = b * a.

Нам было удобно таким образом сделать вычисления.

 

Выяснили, что алгебраические выражения являются обобщением числового выражения. И если в алгебраическом выражении буквы принимают конкретное значение, мы получаем числовое выражение.

Особенностью алгебраического выражения является то, что не всегда буквы могут принимать произвольное значение. Есть такое понятие – допустимые значения букв и недопустимые значения букв. Поясним это на конкретном примере. Вот здесь первое алгебраическое выражение:

х2 + 5.

Почему алгебраическое? – Потому что есть буква х. А какое здесь х допустимо? – Да любое, никакого противоречия нет: любое х можно возвести в квадрат и прибавить 5. Следующее:

3/а.

Какие значения а могут быть допустимы? а = 1, можно? – Можно. а = –1? – Можно. Но нельзя а = 0, то есть допустимыми значениями а являются любые числа, кроме 0: а ≠ 0. Следующий пример:

.

Алгебраическое выражение, есть буквенная переменная х. Какие значения может принимать х? Любые, лишь бы знаменатель не был равен 0. То есть:

x + 3 ≠ 0.

А, значит, х не должен быть равен –3:

х ≠ –3.

Вот ограничения на х.

Следующий пример, четвертый:

.

Знаменатель не должен быть равен нулю. Значит, а – 2 не может равняться 0 или а не может быть равно 2:

а ≠ 2.

Итак, вот новое понятие в алгебраическом выражении. Буквы могут принимать многие значения, но не все. Есть допустимые значения букв, есть недопустимые значения. Сделаем еще один пример на эту тему. Вот выражение:

 .

Задача та же, найти допустимые и недопустимые значения n. Числитель нам хлопот не прибавляет никаких, но знаменатель не должен быть равен 0. Вынесем 6 за скобку, получится:

.

Или просто напишем, что 36 – 6n не должно быть равно 0:

36 – 6n ≠ 0.

Если это так, то 36 ≠ 6n, а значит n ≠, то есть n ≠ 6.

Итак, где же причина, что буквы могут принимать не все значения? – Одна важнейшая причина заключается в том, что буквенное выражение может стоять в знаменателе. Если оно стоит в знаменателе, то оно не должно быть равно нулю. Это накладывает определенные ограничения на значения буквенной переменной.

И последнее на эту тему:

.

Знаменатель не должен быть равен нулю:

9m – 3 ≠ 0.

Значит, 9m ≠ 3 или m ≠ 1/3.

 

Итак, мы рассматривали выражения числовые, выражения буквенные. Мы выяснили, что если в буквенном выражении буква принимает конкретное значение, то мы возвращаемся снова к числовому выражению. Это числовое выражение мы умеем вычислять, и для этого арифметика нам предоставила определенные правила сложения, умножения, деления различных чисел – и дробных, и целых. Значит, вывод такой: чтобы нам уверенно работать с буквенными выражениями, надо вспоминать, каким образом мы быстро и рационально умеем работать с арифметическими числовыми выражениями.