Данный текст представляет собой неотредактированную версию стенограммы, которая в дальнейшем будет отредактирована.
InternetUrok.ru
Алгебра. 7 класс
Глава 1. Математический язык. Математическая модель
Урок 8. Числовые и алгебраические выражения в математических моделях и задачах
Тарасов В.А., учитель школы «Логос ЛВ», ст.преп. фак-та довузовской подготовки МИТХТ
11.05.2010 г.
Математическая модель - числовые и алгебраические выражения в математических моделях и задачах
Мы видели, какую большую роль играют числовые, а главное – алгебраические выражения в математическом языке при составлении математических моделей. Поэтому имеет смысл ещё раз вспомнить и выяснить, каковы взаимоотношения между числовыми алгебраическими моделями. Напомним, что если в числовом выражении мы какую-то цифру, число заменим буквой, то получим буквенное, а именно алгебраическое выражение. И здесь важны две типовые задачи: ведь если мы из числового выражения получили буквенное алгебраическое выражение, заменив число буквой, то эта буква может принимать некоторые числовые значения. Если буква приняла числовое значение, то получили арифметическое числовое выражение. И здесь его надо просто вычислить и всё.
Итак, две типовые задачи.
Первая: найти значение алгебраического выражения при заданных значениях букв. Например:
А)
Здесь присутствуют две буквенные переменные – и , и они могут принимать разные значения.
Вычислить, когда
Значит, значения надо подставить вместо и вычислить.
Из алгебраического выражения получили снова арифметическое выражение.
Было дано алгебраическое выражение, и была задача – вычислить при заданных значениях букв.
Б) Второй пример:
вычислить, если
вычислить, если
Вычисляем, подставляя 7 и 1:
Вторая задача, специфическая для алгебраического выражения: найти множество допустимых или недопустимых значений переменных. Мы говорили, что в алгебраическом выражении буквы могут принимать не все значения.
Например, задача:
При каких значениях переменных имеет смысл выражение:
А)
Это дробь и знаменатель не должен быть равен нулю. Дробь теряет смысл, и выражение теряет смысл, если: , то есть если . Это недопустимое значение.
Ещё раз вопрос: при каких значениях переменных имеет смысл выражение? Что такое «имеет смысл»? Значит выражение можно вычислить.
Ответ: при всех
Б)
При каких значениях переменных имеет смысл это выражение?
Опять учитываем, что это дробь. Мы можем вычислить любую дробь, если её знаменатель не равен 0.
Данное выражение имеет смысл при всех значениях , кроме 2. При 2 знаменатель равен 0, выражение теряет смысл. Здесь у нас выражение зависело только от одной буквы.
В)
Вопрос тот же: при каких значениях переменных имеет смысл это выражение?
Опять здесь дробь. Поэтому
Все остальные значения – допустимые.
Г)
И опять, если нас спросят, при каких значениях переменных имеет смысл это выражение? Мы скажем, что при всех значениях, при которых знаменатель .
Единственное недопустимое значение , остальные – допустимые.
Укажите хотя бы одну пару недопустимых значений и для следующего алгебраического выражения:
Отличие от предыдущего в том, что данное алгебраическое выражение зависит от двух переменных. И сказано: укажите пару значений и , которые недопустимы. От себя добавим: а ещё укажите такую пару, которая допустима.
Недопустимым является , в этом случае знаменатель 0.
Пример простой: , - это недопустимые значения.
Второй пример: укажите пару значений и , которые недопустимы.
Недопустимыми являются все значения, при которых знаменатель равен 0, значит
Отсюда легко ответить, что если
– недопустимые значения.
Действительно, при них мы получаем:
Такого числа не существует. Нет такого числа, которое будучи помноженное на 0 дало бы 15.
А второй вопрос, если у нас
– эта пара значений допустима или нет?
Ответ сразу «нет», потому что знаменатель будет равен нулю. И числитель будет равен 0. Получим
Такого числа не существует.
Итак, мы видели, что две типовые задачи, связанные с тем, чтобы алгебраическое выражение вычислить при заданных значениях буквенных переменных, и второе – выяснить допустимые и недопустимые значения.
Числовые алгебраические выражения – это средства математического языка. С их помощью мы описывали разные ситуации. Вспомним, какие здесь типовые задачи. Перевод словесной модели в математическую и наоборот. Здесь нам хорошо повторить основные математические правила:
1. От перемены мест сомножителей произведение не меняется:
2. От перемены мест слагаемых сумма не меняется:
3. Основное свойство дроби: дробь не изменится, если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же число.
4. Источник многочисленных ошибок – деление дробей. Как разделить дробь на число? Многие затрудняются, как дробь разделить на число или когда число разделить на дробь.
Эти правила являются частным случаем общего правила деления дробей:
Таким образом, основные математические правила могут быть переведны в математическую модель.
И далее, если мы владеем этим переводом, то есть масса задач.
Например, фраза на русском языке: отношение разностей кубов чисел и к их утроенной сумме. Перевести эти слова на математический язык.
Таким образом, всё, что здесь написано, можно с одного языка переводить на другой. В данном случае это отношение разностей кубов чисел и к их утроенной сумме.
Умея переводить на математический язык реальную ситуацию, можно овладеть техникой составления моделей. Мы этим занимались и повторим эту технику на решении геометрическо-текстовой задачи.
Задача №111.
Периметр треугольника равен 44 см. Сторона вдвое меньше стороны и на 4 см. меньше стороны . Найти длины всех сторон треугольника.
Будем разбираться в условиях задачи и переводить её на математический язык. Нам поможет треугольник.
|
|
|
А
|
|
B
|
|
С
|
Сказано, что сторона вдвое меньше стороны .
Обозначаем через
Если , то . Такая связь дана в условиях.
Смысл какой: мы ввели одну буквенную переменную и через неё выразили длины всех сторон. Нам достаточно найти этот , и тогда мы найдём длины всех сторон. Сказано, что периметр треугольника равен 44 см. Напомним, что такое периметр треугольника – это сумма всех трёх сторон.
Второй этап: работа с математической моделью.
Значит, сторона см., тогда , а
И теперь мы в состоянии написать ответ:
см.
Итак, мы рассмотрели роль числовых алгебраических выражений, формирование математического языка, формирование моделей и типовые задачи на них.
Для самостоятельного решения рекомендуются №35, 49 (а), 62, 109, 110.
Спасибо!
Спасибо))
а теста нет?