Числовые и алгебраические выражения. Дробные числа, действия с дробными числами: деление дробей, умножение дробей.

 

И в старших классах приходится встречаться с многочисленными ошибками, когда нужно разделить дроби друг на друга, умножить дроби друг на друга, даже арифметические, числовые дроби. Эти правила нужно повторить, тем более что нам предстоят далее умножение дробей, деление дробей, действия с алгебраическими выражениями, где каждым сомножителем может быть буквенное выражение. Повторение начнем еще раз с основного свойства дроби. Записывать будем теперь только в виде буквенных выражений. Итак, вот есть у нас дробь . Основное свойство дроби говорит о том, что и числитель, и знаменатель можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю. Вот это число обозначим как k. Значит, то, что я сказал словами, записывается так: дробь  не изменится, если числитель a*k и знаменатель b*k,  = . Или числитель разделю на какое-нибудь число n, и знаменатель b разделю на это натуральное число n,  = = . Надо только потребовать, чтобы k было не равно нулю и n было не равно нулю, k≠0, n≠0. Ну а где же брать эти сомножители? Эти сомножители мы берем из основной теоремы арифметики. Вот поясним сказанное конкретными известными нам примерами.

 

Ну вот число, дробь 2/5. Ее никак сократить нельзя. Но если жизнь потребует, то мы можем 2 умножить на 3, и 5 умножить на эту 3, 2/5 = 2*3/5*3. Дробь от этого не изменится. Но большую часть приходится сокращать. Ну, например, 9/15 – простейшая дробь. 9 разлагается на простые множители 3*3, 15 разлагается на простые множители 3*5. Стало быть, можно разделить и числитель, и знаменатель на 3 и получится несократимая дробь: 9/15 = 3*3/3*5 = 3/5.

 

Другой пример: 18/60. Упростить. Ну что значит упростить? Значит представить в виде несократимой дроби. Число 18 по основной теореме арифметики раскладывается на простые множители, значит, 18 = 2*3*3. 60 – составное число, то есть по основной теореме арифметики 60 = 2*2*3*5. , ну, и вот таким образом ясно, на что можно сокращать. На первую 2. Можем и числитель, и знаменатель разделить на 2? Можем. На вторую 2 нельзя. На одну 3 можем? Можем. Получим в результате 3/10 = 0,3. Ну ясно, что здесь дробные числа довольно простые, мы можем и так догадаться, что все-таки 18 на 6 можно разделить, получится 3, и на эти же 6 можно разделить знаменатель, будет 3/10.

 

Ну и последний пример на эту тему: 45 давайте разделим на 75, 45/75. Итак, основное свойство дроби говорит, что 45 надо каким-то образом разложить на простые множители. Ну, давайте сделаем это таким образом: вот 45 делится на 3, потому что сумма цифр делится на 3, 15 тоже делится на 3, получится 5, и делится на 5. Можно было сразу догадаться, что 45 разделится на 9, и из таблицы умножения мы знаем, и по признаку деления: 4+5=9, на 9 делится, значит, само число делится на 9.

 

А 75? На 3 оно делится? Делится, потому что 7+5 = 12, на 3 делится. Получится 25, ну признак делимости на 5 понятен нам. Таким образом, 75 = 3*5*5 стоит в знаменателе. По основному свойству дроби и числитель, и знаменатель можно разделить на одну 3, можно разделить на одну 5. Получится .

Далее давайте из этих же чисел составим такое выражение: 1/45 – 1/75. Равняется? Ну, если мы знаем, 45 и 75, каким образом они раскладываются на множители, то мы запишем число 3*5*5, это число 75. Число 75 разделится на 75, а на 45 разделится? Нет, не хватает 3. Значит, здесь добавим 3, то есть здесь число 75 умножается на 3. Наименьший общий знаменатель, будучи разделенным на 45, даст дополнительный множитель и, будучи разделенным на 75, даст дополнительный множитель. 45 – это у нас 3*3*5, а 75 это у нас 3*5*5. Значит, эти множители 3*5*5*3 делятся на эти множители 3*3*5, остается 5. Если этот наименьший общий знаменатель разделить на 75, 3*5*5 и 3*5*5*3, здесь остается 3. Значит, получаем .

Итак, мы вспомнили основное свойство дроби и каким образом разложение на множители позволяет легко и просто делать действия с дробями, а именно: вычитание, сложение. Ну много очень ошибок при перемножении и делении дробей. Давайте запишем сначала это в общем виде. То есть, что такое дробь одну умножить на дробь другую? Первую дробь мы запишем a/b, вторую дробь – c/d. Правило вспоминаем, простое и ясное. Надо перемножить числители и результат поставить в числитель, надо перемножить знаменатели и результат поставить в знаменатель. .

 

Второе основное правило, одну дробь разделить на вторую дробь. Правило может формулироваться в одной форме либо во второй форме. Первая форма говорит, для того чтобы разделить на дробь, надо умножить на обратное число. Что такое обратное число? Если прямое число c/d, то здесь d/c. Получим . Вторая форма правила говорит, чтобы разделить дробь на дробь, надо числитель первой дроби умножить на знаменатель второй дроби и получить числитель искомой дроби, знаменатель первой дроби умножить на числитель второй дроби и получить знаменатель искомой дроби.

Как ни странно, много ошибок не просто при делении дробей, а при делении дроби на число или при делении числа на дробь. 4/7*7. Некоторые помнят правило, если дробь и еще есть дробь, ну а 7 почему-то смущает. Ну, чтобы никакого смущения не было, напомню, что любое число можно представить, например, в виде такой дроби – 7/1. И после этого правило умножения ясное и понятное. , и воспользоваться основным свойством дроби, в результате получим 4.

 

А давайте наоборот, 4/7:7. Ну и опять, если многие помнят правило, когда здесь стояла бы дробь, а здесь стоит число. Ну, если уж я совсем смущаюсь этим числом, так я могу представить его в виде дроби, например, вот такой – 7/1, и вспомнить правило деления дробей: либо в первой форме, либо во второй, в любой: числитель на знаменатель и знаменатель на числитель. .

 

Далее, давайте напишем в общем виде. Вот у нас есть дробь, и я умножаю на некое число, дробь умножаю на число, . Эту дробь можно представить, что я умножаю на другую дробь, если я сомневаюсь в этом правиле умножения: . Получается . То есть для того чтобы дробь умножить на число, вот это число надо в числитель поставить. Числитель, он увеличивает дробь. А если это число, вот эту дробь я должен разделить на n, куда я должен n девать? В числитель или в знаменатель? Ну, правило само собой выскакивает: если я n представлю вот в таком вот виде, . Правило деления дробей, вот частный пример – . Числитель на знаменатель, и знаменатель на числитель, . То есть если дробь я хочу разделить на число n, на 2, на 3, на 10. Куда я должен это n поставить? Я должен поставить это n в знаменатель. Таким образом, правило умножения и деления дроби на число.

 

А теперь давайте n разделим на дробь. Мне достаточно помнить, что n – это дробь . И чтобы умножить или разделить на дробь, я должен помнить соответствующее правило. Числитель на знаменатель, знаменатель на числитель: . То есть для того чтобы разделить число на дробь, я должен это число умножить на обратную дробь .

 

Итак, мы повторили основные правила действий с дробями, в основном с числовыми дробями. Правила мы записали в виде алгебраических выражений. Ну и в жизни нам придется много раз умножать алгебраические дроби и работать с ними. Ну и в заключение давайте решим стандартные задачи на эти правила.

Ну, например, решить уравнение. Что такое решить уравнение? 5*х=15, как это связано с действиями, с дробями? Да очень просто: для того чтобы мне найти х, мне можно и числитель, и знаменатель разделить на одно и то же число. И число это – коэффициент перед х. , то есть сразу получить, что х=3. Здесь все ясно и понятно. Часто не ясно и не совсем понятно бывает, если дробные числа, то есть действия с дробями. . Можно сделать в два действия, можно – в одно действие. В одно действие – значит, надо разделить на коэффициент перед х обе части, разделить на . Если это по каким то причинам боязно, то можно сначала умножить на -1 обе части и получить . Дальше, чтобы получить х, что нужно сделать? И левую, и правую часть умножить на 2. Вот эту часть умножить на 2, . И эту часть умножить на 2, . То есть число умножить на дробь. Двойки сократятся, будет х. Дробь умножить на число, получим , потому что 2 и 4 сократятся. х=.

 

Ну и еще одно уравнение с дробным коэффициентом: х=3. Дробь . Можно, опять-таки сделать первым способом, довольно опасным для некоторых, то есть и одну часть, и вторую разделить на коэффициент, разделить на . Значит, число вот это – 3, опять разделить на дробь со всеми вытекающими отсюда последствиями, если я не помню соответствующих правил, то кто его знает, стоит ли так делать. А ведь можно попроще сделать, и эту часть умножить на 3, х*3, и вот эту часть умножить на 3, 3*3. То есть х то делится на 3, если я помножу на 3, то я все-таки х освобожу. У меня вот главная цель – х освободить. х=9.

 

Таким образом, мы рассмотрели действия с дробями и привели конкретные примеры. Ну все же наша цель – алгебраические выражения. Так сделаем пример с алгебраическим выражением. Итак, есть алгебраическое выражение . Это алгебраическое выражение. Почему? Потому что здесь есть буквы. Основная задача с этими выражениями, сами по себе, то есть они просто вот одно выражение, что с ними делать? Это значит, задают буквам определенные значения и требуют вычислений. Ну, например, вычислить, если а=-3, b=2 и с=7. Во-первых, вычислить, и, во-вторых, ответить на вопрос, а является ли вот этот набор значений допустимым для данного буквенного выражения, алгебраического выражения. Напомним, что набор будет допустимым, если при нем, если при этих значениях а, b и с это выражение можно вычислить. Просто подставляем и получаем: . Вот, основное свойство дроби, положительное число делится на отрицательное, получается отрицательное число. Можно ли 12 сократить на 6? Можно, получается 2. Можно ли 6 сократить на 2? Можно, ответ -, зря мы знаменатель написали, ответ -3. Итак, мы получили конкретное значение данного выражения при таких вот значениях а, b и с. Ответ на второй-то вопрос, а вот этот набор является допустимым? Да, является допустимым, потому что знаменатель не равен нулю и соответствующая дробь поддается вычислениям.

 

Итак, мы рассмотрели действия с дробями, с числовыми дробями, дробные числа, деление дробей, умножение дробей. Вспомнили основные правила. И мы видим, что вот эти действия целиком и полностью переносятся на действия с алгебраическими дробями.