Числовые выражения. Действия с натуральными числами. Числовые множества.

 

Наша цель – это алгебраические выражения, то есть такие выражения, где присутствуют буквенные переменные. Буквенные переменные принимают различные числовые значения, допустимые – те, которые допустимы, при которых данное алгебраическое выражение имеет смысл, то есть может быть вычислено. Вот если каждая буквенная переменная принимает те или иные числовые значения, то есть смысл повторить, а какие же основные числовые множества? Прежде всего вспомним про натуральные числа. Теперь мы везде и всюду будем вводить буквенные обозначения. Вот множество натуральных чисел мы будем обозначать буквой N большое. Что это за числа? Это известные всем простые числа 1, 2, 3 и т.д., n маленькое и т.д. Это множество натуральных чисел. Ну, люди сначала придумали, каким образом считать слонов, мамонтов, натуру, природу то есть – это числа для счета. 1, 2, 3, 100, 101 и т.д. Затем появилось число ноль, появились отрицательные числа, и в целом появилось множество целых чисел. Мы его будем обозначать за Z большое. Что это за числа? Это число ноль, ±1,±2 ну и т.д. Понятно, как они образованы. Это множество целых чисел. Ну и, наконец, появились дробные числа. Это числа ±3/7, ±11/3 и т.д. Множество дробных чисел. Целые числа можно считать частным случаем дробных чисел. Ну, например, число -3 = -3/1, это дробь. В общем случае, в общем виде это множество записывается как m/n. Это число – некоторое из этих чисел, например, ½, может быть и в десятичном виде записано, то есть дробные числа. Иначе это множество называется рациональными числами.

Итак, в алгебраическом выражении буквенные переменные могут быть натуральными числами, целыми числами, дробными числами.

 

Займемся натуральными числами. В натуральных числах различают простые числа и составные. Простые числа – это числа 2, 3, 5, 7, 11 и т.д. Это множество простых чисел. Что это за простые числа? Это те, которые имеют два делителя. Вот 2 делится на себя и на 1; 3 делится только на себя и на 1, значит, это все простые числа. А вот единица не является простым числом, потому что она делится только на себя, имеет только один делитель. А все вот эти числа имеют только два различных делителя. Ну теперь вспомним, что эти простые числа во многом управляют всеми остальными числами в силу (давайте вспомним) основной теоремы арифметики, которая гласит, что любое составное натуральное число однозначно разлагается в произведение простых чисел. Ну, например, 18 = 2*3*3, 18 – это произведение 2*3*3 = 2*32. Значит, составное число однозначно разложилось в произведение простых множителей. 12 на 2 делится – делится, на 3 делится – делится, а еще и на вторую 2 делится. 12 = 2*2*3. Ну, записывают так 12 = 22*3.

 

Итак, мы вспомнили основные числовые множества. Рассматриваем множество натуральных чисел. В этих натуральных числах есть числа простые и составные. Простые отличаются от остальных тем, что имеют только два различных делителя. Они делятся только на себя и на единицу. Вот несколько простых чисел мы выписали: 2, 3, 5, 7, 11. И эти простые числа имеют очень большое значение. И их значение подчеркивается основной теоремой арифметики: любое составное число однозначно разлагается в произведение простых множителей.

 

Далее во всех арифметических действиях были важные такие понятия, как НОД (a;b) двух чисел или нескольких чисел, и НОК (a;b) чисел. Значит, мы рассматриваем, напоминаю, натуральные числа. НОД – наибольший общий делитель двух чисел. Это самое большое натуральное число, на которое делятся оба этих числа и а, и b. Ну, без примера здесь трудновато, давайте напишем, что такое НОД двух чисел – 12 и 18. НОД (12;18). Значит, это такое натуральное число, самое большое, на которое делится и 18, и 12. Ну вспомним, что нам основная теорема арифметики дает ключ к решению таких задач. Ну 18 и 12, они состоят из двоек и троек. Значит, на двойку делится и то, и другое число. Значит, в результате надо 2 умножить на что-то. А нужно на что-то умножать двойку? Значит, на 2 делятся и 18, и 12. А есть ли число побольше двойки, но тем не менее на которое делится и 18, и 12? Смотрим на разложение этих чисел, на произведение простых множителей. 12 делится и на вторую 2, а 18 уже не делится на вторую 2.Зато и то, и другое число делятся на тройку. 18 делится на вторую 3, а 12 уже не делится на вторую 3. Таким образом, наибольшим общим делителем двух чисел 18 и 12 есть произведение простых множителей 2 и 3, то есть НОД двух чисел равен 6, НОД (18;12) = 2*3 = 6.

Еще раз вспомним теперь, имея в виду это определение, что же такое наибольший общий делитель двух натуральных чисел? Это такое наибольшее число, на которое делятся и первое число, и второе. А если будет несколько чисел, то все исходные числа должны делиться на него.

 

А что такое НОК? Это – наименьшее общее кратное двух чисел. Ну, опять вспомним строгое определение и поясним на примере. Это такое самое маленькое натуральное число, которое делится и на a, и на b. Ну, поясним: наименьшее общее кратное тех же самых чисел – 18 и 12, НОК (18;12). Ну, если я возьму произведение чисел 18*12, оно, конечно, разделится и на 18, и на 12, а если еще умножу это число на 10, тем не менее оно разделится и на 18, и на 12. Но речь-то идет о том, что должно быть наименьшее натуральное число, которое делится и на 18, и на 12. Разложение на множители по основной теореме арифметики дает ключ к решению и таких задач по нахождению НОК. Ну, давайте выпишем число 18 – это 2*3*3. Это число делится на 18, но, увы, не делится на 12. А что нужно, какие минимальные должны быть здесь множители, чтобы полученное число делилось одновременно и на 12. У нас есть 2, 3 и вторая 3, а в 12 есть вторая 2, а здесь 2 нет. Так, стало быть, надо еще умножить на двойку, НОК (18;12) = 2*3*3*2. Вот тогда это число разделится на 18? Конечно, разделится, есть двойка и две тройки. Разделится ли это число на 12? Да, разделится, потому что есть и тройка, здесь одна тройка, и две двойки есть. То есть это наименьшее натуральное число, которое одновременно делится и на 18, и на 12. ну число это у нас 36, НОК (18;12) = 2*3*3*2 = 36.

 

Ну и тут же примеры вспомним, а для чего же это нужны вот эти понятия НОД и НОК? Ну, давайте вычтем 1/12 – 1/18. Вспомним, что надо найти наименьшее общее кратное, НОК. То есть найти наименьший общий знаменатель этих двух чисел. Ну, мы понимаем теперь, вспоминаем, что это, во-первых, 2*2*3 – это 12, а здесь 2*3*3 – 18. И наименьший общий знаменатель – это наименьшее общее кратное. Мы его уже нашли.  вот это число – 36, мы знаем, что это наименьшее число, которое делится и на первый знаменатель, и на второй знаменатель. Вот он разделился на первый знаменатель. И что в результате получится? Если мы 12 –две двойки и тройку заберем, получится только тройка, значит, дополнительный множитель здесь 3. 36 разделить на 18 – это 2, мы знаем 36 на 12 – это тоже 3, но вспоминаем правило. Значит, наименьший общий знаменатель делим на знаменатель второй дроби, что получается? Значит, двойка и две тройки зачеркнулись, осталась двойка. Дополнительный множитель 2. Значит, =.

 

Итак, мы рассматриваем множество натуральных чисел. Эти числа принимаются буквенными переменными. И в этих натуральных числах есть простые числа, вспомнили, то есть которые делятся только на себя и на единицу, имеют ровно два различных делителя. И среди них важная задача – это задача на нахождение наибольшего общего делителя НОД (a;b) и наименьшего общего кратного НОК (a;b). Главную роль здесь играет основная теорема арифметики, согласно которой любое составное число однозначно разлагается в произведение простых множителей.

 

Значит, мы вспомнили, как мы вычитаем или складываем дроби, мы по существу находим НОК. Давайте вспомним, а как мы делим 18/12. Вспомним, основное свойство дроби заключается в том, что числитель и знаменатель можно разделить или умножить на одно и то же число. А на какое число, где их взять? А из разложения по основной теореме арифметики. Что такое 18? Это 2*3*3. Что такое 12? Это 2*2*3. . И на двойку можно сократить, то есть разделить числитель и знаменатель на двойку, и на тройку можно сократить, и получим 3/2. Ну, конечно, мы можем сразу сообразить, числа не такие сложные, и 18, и 12 делятся на 6. Здесь будет тройка, а здесь будет двойка. Итак, мы рассмотрели понятия НОД и НОК и простейшие задачи на них.

В классе каждый человек получил по подарку. Подарки состояли из апельсинов и яблок. Для подарков закупили 123 апельсина и 82 яблока. Каждому ученику в классе раздали одинаковый подарок и потратили все апельсины и все яблоки. Спрашивается, первое: сколько учеников в классе? Второе: из чего состоял каждый подарок? То есть сколько в каждом подарке было апельсинов, сколько в каждом подарке было яблок?

 

Решение. Число 123 составное, оно должно разлагаться на произведение простых множителей. Вот простые множители {2, 3, …, 41, …} Ну, на 2 оно не делится. Заодно повторяем признаки делимости на 2, на 3 и т.д. Ну а на 3 делится? Делится, потому что сумма цифр 6 – делится на 3, значит, и само число делится на 3. Получается 41. 41 – простое число, оно делится только на себя и на единицу. Значит, 123 разлагается в произведение простых множителей вот таким образом, 123 = 3*41. Точно так же поступим с числом яблок. Ну, число яблок 82 на 2 делится, потому что оно оканчивается на двойку, четное число. Получается 41. 41, мы уже вспоминаем, это число простое. Таким образом, 82 = 2*41. Нам нужно найти число учеников в классе и из чего состоит каждый подарок. Давайте найдем НОД этих двух чисел, первого числа, то есть числа 3*41, и второго числа, то есть числа-произведения 2*41. Наибольший общий делитель – это то самое большое число, на которое делится и первое число, и второе число. Ну ясно, это 41, НОД (3*41;2*41) = 41. 41 был ученик в классе, то есть 41 человек получил подарок. А из чего же состоял каждый подарок? Ну вот 123 давайте мы разделим на 41, и 82 разделим на 41. Общее число апельсинов на общее число подарков. Ну мы знаем, что 123 = 3*41, значит, это будет 3. А это будет 2. 123/41 = 3, 82/41 = 2. Значит, ответ: в каждом подарке было 3 апельсина и 2 яблока. Таким образом, в общем-то, непростая задача, но она легко и просто разрешилась с помощью НОД – наибольшего общего делителя.

 

Вторая задача: шаг Володи 75 см. а шаг Кати 60 см. Первый шаг они сделали в ногу, а потом у них разное число шагов. Ну, когда в следующий раз, они сделают когда-нибудь следующий шаг в ногу либо нет? Вот когда они сделают шаг в ногу и есть ли такой момент, когда они снова пойдут в ногу. Ну, только первые шаги сделают или по-другому вопрос ставится так: на каком наименьшем расстоянии они сделают по целому числу шагов?

Ну, давайте найдем наименьшее общее кратное двух чисел – НОК (75;60). Ну это и будет ответом на поставленную задачу. Чтобы найти наименьшее общее кратное двух чисел, мы, согласно основной теореме арифметики, раскладываем эти числа на простые множители.

 

Число 75. Опять видим: на 2 делится? Нет, не делится. На 3 делится, 7 и 5 равно 12. Разделили на 3, получили 25. 25 ни на 2, ни на 3 не делится, но на следующее простое число – на 5, оно делится. Получается 5. Значит, первое число 75 = 3*5*5 разложили на простые множители. А 60? А 60 на 2 делится – будет 30. 30 опять на 2 делится – будет 15. 15 на 3 делится – будет 5, и 5 на 5 делится – будет 1. Значит, 60 = 2*2*3*5. НОК (75;60) = НОК (3*5*5;2*2*3*5). Итак, каким образом найти наименьшее общее кратное? Ну, согласно рекомендации, которая была повторена выше, мы пишем 3*5*5, то есть выписываем первое число. Первое число вот это делится само на себя, но, увы, не делится на 60. Что же нужно для того, чтобы полученное здесь число разделилось не только на 75, но и на 60? Ну видим, во-первых, тройка то есть, и пятерка то есть здесь. Они разделятся. Нету двоек. Значит, надо умножить и на двойку, и еще раз на двойку, то есть вот эти 75 = 3*5*5 надо умножить на 4. НОК (3*5*5;2*2*3*5) = 3*5*5*2*2= 75*4=300 см. Ответ на вопрос: 300 см. Ну действительно, за расстояние, которое равно 300 см, сколько сделает шагов Володя? Разделим на 75 и узнаем: 300/75 = 4 шага. А сколько сделает шагов Катя? 300 разделим на длину шага и получим 5 шагов, 300/60 = 5 шагов. Итак, был вопрос, заключался в том, что вот даны длины шагов Володи и Кати, и спрашивалось, на каком наименьшем расстоянии они сделают по целому числу шагов. Если мы нашли НОК, то мы выяснили, что это расстояние равно 300 сантиметров. И на этом расстоянии Володя сделает 4 шага, а Катя – 5 шагов. Целое число шагов.

 

Итак, мы рассмотрели основные числовые множества. Именно из этого числового множества буквенные переменные принимают свои числовые значения. Мы вспомнили, что такое натуральные числа, что такое целые числа, что такое дробные числа. Основное внимание мы уделили натуральным числам. В натуральных числах мы вспомнили, что такое простые множители. Это те множители, которые делятся только на себя и на единицу. И вспомнили основную теорему арифметики, согласно которой каждое составное число однозначно раскладывается в произведение простых множителей. Вспомнили важные понятия НОД и НОК и типовые задачи на них.