Данный текст представляет собой неотредактированную версию стенограммы, которая в дальнейшем будет отредактирована.
InternetUrok.ru
Алгебра. 7 класс
Глава 1. Математический язык. Математическая модель
Урок 7. Математическая модель и текстовые задачи (продолжение)
Тарасов В.А., учитель школы «Логос ЛВ», ст.преп. фак-та довузовской подготовки МИТХТ
11.05.2010 г.
Сложные текстовые задачи по алгебре за 7 класс, математическая модель
Рассмотрим более сложные текстовые задачи, в основном так называемые старинные задачи. Решение их по-прежнему будем проводить используя методы математического моделирования. То есть с помощью составления математической модели. Напомню суть этого метода. Текстовая задач, её условия рассматриваются как словесная модель реальной ситуации. По словесной модели составляется математическая модель этой же ситуации, та, которая зафиксирована в условиях текстовой задачи.
При этом выделяется три уже известных нам этапа: первый – это составление математической модели, второй – это решение математической модели, третий – это ответ на поставленный вопрос.
Итак, задача 1, №113 по задачнику.
Говорят, что на вопрос о том, сколько у него учеников, древнегреческий математик Пифагор ответил так: «Половина моих учеников изучают математику, четверть изучает природу, седьмая часть проводит время в молчаливом размышлении, остальную часть составляют три девы». Сколько учеников было у Пифагора?
Надо найти общее число учеников у Пифагора.
Первый этап – это составление математической модели. Пусть учеников было у Пифагора. Что же нужно для того, чтобы найти ?
Если - это общее количество учеников, то – это та половина, то количество учеников, которые изучают математику.
Далее он говорит, что четвертая часть изучает природу. Значит, - то количество учеников, которые изучают природу. Но это ещё не всё. Седьмая часть проводит время в молчаливом размышлении – . Количество математиков, количество тех, кто изучает природу, количество тех, кто молча созерцает. Но ещё осталось три девы – прибавить 3. Общее количество учеников, которое мы обозначили через . Вот мы получили математическую модель:
Небольшое отступление: конечно, формально нужно найти, и второй этап – это работа с математической моделью. Но несколько вспомогательных вопросов: полученное количество учеников будет чётное, нечётное - что-нибудь можно сказать? Можно.
Сказано, что половина учеников, то есть делится на 2, т.е. общее количество учеников – чётное. Более того, сказано, что четверть учеников изучает природу, то есть общее количество учеников делится на 4. И общее количество учеников делится на 7. Значит, количество учеников делится на 4 и на 7, значит, количество учеников кратно 28.
Мы можем, получив какое-то число, проверить с самого начала, а можем качественно осознать – будет ли искомое число делиться на 4, на 7, тогда есть надежда, что мы решили правильно.
Ещё нужно написать, что количество учеников – это натуральное число, которое делится на 28. То есть оно может быть 28, может быть 28*2 и т.д.
Итак, мы составили математическую модель и даже немного её проанализировали. Общий знаменатель здесь будет
Далее идёт решение математической модели. Давайте, решая математическую модель, то есть работая с математической моделью, умножим обе части нашего равенства на 28.
Третий этап задачи – ответ на вопрос. В задаче спрашивается: сколько было учеников у Пифагора? Но мы обозначили за количество его учеников, этот нашли. Значит, ответ: у Пифагора было 28 учеников.
И комментарии:
Мы говорили, что у Пифагора должно получиться количество учеников, делящееся на 28, потому что оно делится и на 4, и на 7. Вот мы и получили число, делящееся на 28. Таким образом, задача про Пифагора решена.
Следующая задача. Спросил некто у учителя: «Скажи, сколько у тебя в классе учеников, так как я хочу отдать тебе в учение своего сына». Учитель ответил: «Если придёт ещё столько же, сколько имею, и полстолько, и четвертьстолько, и твой сын, то будет у меня 100 учеников». Сколько было у учителя учеников?
Первый этап: надо ввести новую переменную. Переменная напрашивается сама по себе. Пусть у учителя было учеников. Что нужно сделать, чтобы найти эту переменную? А нужно перевести словесную модель в математическую модель. Переводим:
Столько же – это ещё . Полстолько – , четвертьстолько –
Вот мы получили математическую модель. Первый этап закончен.
Второй этап – работа с математической моделью.
К общему знаменателю всё приведём, общий знаменатель 4.
Итак, привели к общему знаменателю, сложили дроби, получаем:
Некоторое напоминание: делится ли 396 на 11? Конечно, мы сейчас увидим, что оно делится. Количество учеников – это целое число, не может быть полтора ученика, не может быть не натуральное число.
И третий этап: ответ на вопрос задачи. Сколько было у учителя учеников? Значит, ответ: у учителя было 36 учеников.
Задача: в школе 900 учащихся. Сколько учащихся в начальных, средних и старших классах, если известно, что в начальных их в три раза больше, чем в старших, и в два раза меньше, чем в средних?
Итак, есть связь между количеством учеников в разных классах, есть общее количество учеников. И требуется узнать, сколько учеников в разных классах – начальных, средних и старших. Конечно, мы опять будем методом моделирования делать, будем составлять модель, будем решать. Но есть вопрос – что принять за ? Давайте для себя составим схемку, а за примем число учеников в старших классах.
|
Ст. кл. х уч.
|
|
Млад. кл.
3х уч.
|
|
Сред. кл.
6х уч.
|
Если мы таким образом с целыми числами обошлись в количестве учеников, то нам легко составить математическую модель.
Второй этап – решение.
И третий этап: ответ на поставленный вопрос. Часть ответа мы получили:
В старших классах – 90 учеников.
Тогда в средних классах учеников.
В младших классах – учеников.
Теперь мы в состоянии выписать ответ:
В старших классах – 90 учеников, в средних – 540 учеников и в младших – 270 учеников.
Итак, мы рассмотрели относительно более сложные старинные текстовые задачи и увидели, что здесь методика одна и та же. Надо с русского языка перевести на математический язык, то есть получить математическую модель. Выделить три этапа: составление модели, работа с моделью, получение ответа. И получить ответ на поставленный вопрос.
Для самостоятельного решения предлагаются задачи №103, 105, 94 (а-г), 93 (в).
Спасибо!!