Сумма одночленов. Мы изучаем одночлен и уже кое-что о действиях с одночленом мы знаем. Во-первых, мы знаем, что одночлены можно привести к стандартному виду. Среди одночленов, которые приведены к стандартному виду, можно выделить подобные и неподобные одночлены. Подобные одночлены имеют одинаковую буквенную часть и различаются только коэффициентами. Подобные одночлены можно складывать, вычитать, и мы выяснили правило сложения и вычитания, а именно буквенную часть надо оставить без изменения, сложить, вычесть надо только коэффициенты. Так вот, памятуя об этом, можно решить разнообразные задачи. Типов их будет достаточное количество, но если понимать смысл операции сложения-вычитания, то ключ к решению задачи мы всегда найдем.

 

Итак, начнем с простых задач 3mnz2+5mnz2-4mnz2. Требуется выяснить, возможны ли над этими одночленами операции сложения, а если можно, то сделать соответствующие операции. Можно. Почему? Все одночлены подобные. Еще раз поясним, как легко узнавать, что все одночлены подобные. Ну, во-первых, видно, что m везде есть и в одной и той же степени – 1 степень, n везде есть и тоже в одной и той же степени – 1 степени, z везде есть и в одной и той же степени – в квадрате. Вот это способ визуальный. Второй способ: ну вот если я обозначу в первом одночлене буквенную часть за t – t=mnz2, то этой же буквой t можно обозначить буквенные части и в остальных одночленах. Итак, мы вспомнили, каким образом устанавливается факт, что одночлены подобны.

 

Ну а теперь правило, каким образом эти одночлены складываются-вычитаются. Складываются-вычитаются одночлены по существу только коэффициенты (3+5-4), а буквенная часть остается без изменения. (3+5-4)mnz2. Вычисляем 4mnz2, итак, мы вспомнили операцию сложения-вычитания одночленов.

Ну и теперь типовая задача, стандартная задача – упростить, упростить и упростить… Много раз нам встретится в жизни, и поэтому техникой упрощения надо заниматься.

 

Задача: упростите 1/2xyx2+1/3xyyx+1/6xy2x. Упростить. Что это означает? Ну, во-первых, почувствуем разницу между первой задачей и второй. В первой задаче одночлены все были подобны. Одночлены уже были приведены к стандартному виду. Факт установления, подобны они или мы повторили, и он очевиден, а здесь надо еще вначале привести каждый одночлен к стандартному виду. Приводим первый одночлен – 1/2x2y2, второй – 1/3x2y2, упростили, привели к стандартному виду второй одночлен, третий – 1/6x2y2. Привели все одночлены к стандартному виду и получили такую же задачу, как и предыдущая, то есть надо выяснить, подобны ли они, а если подобны, то сложить. Ну действительно они подобны. Буквенная часть у них одинакова. Поэтому складываем коэффициенты (1/2+1/3+1/6), а буквенную часть оставляем без изменения – x2y2. Ну здесь небольшая арифметическая задача – сложить дроби. Вспомним, что надо найти наименьший общий знаменатель, таковым здесь является 6. Найти дополнительные множители, буквенную часть не изменяем (3+2+1)/6*x2y2. Получаем 6/6*x2y2 или окончательный x2y2.

 

Итак, мы рассмотрели вторую задачу, которая отличается от первой вообще-то существенно: надо и привести одночлен к стандартному виду, и потом сложить. В этом заключается суть упрощения.

Следующая задача: цель такая же – упростить: 1/2abca+1/4b(-a)ca–1/12acba. Получаем 1/2a2bc–1/4a2bc–1/12a2bc. Итак, первую операцию, которую нужно сделать, мы сделали – все одночлены привели к стандартному виду и убедились, что они подобны, буквенные части у них одинаковые. Значит, их можно складывать, вычитать. Правило говорит, что надо сложить, вычесть их коэффициенты (1/2–1/4–1/12), а буквенную часть оставить без изменения (1/2–1/4–1/12)a2bc. Ну и опять небольшая вычислительная задача: сложить-вычесть несколько дробей, то есть найти наименьший общий знаменатель, таковым здесь является 12. 12/2 – получаем дополнительный множитель для первой дроби 6, 12/4 – получаем дополнительный множитель для второй дроби 3 и 12/12 – 1, буквенная часть та же самая – (6-3-1)/12*a2bc=2/12a2bc. Ну и, наконец, надо сократить на 2, если видим, что это можно сделать – 1/6a2bc.

 

Итак, мы рассматриваем задачи на сложение и вычитание одночленов. Мы видим, что эти задачи довольно разнообразны, ну, например, можно упрощать многие выражения. И следующая типовая задача – это решение уравнений. Ну для этого нужно сделать достаточное количество и простых, и посложнее упражнений.

Итак, первое: решить уравнение 0,5х+0,4х=9. В левой части стоит сумма одночленов. Складываются они легко, складываются их коэффициенты, буквенная часть их остается без изменений. 0,5 и 0,4 – это 0,9х=9. Что нужно сделать, чтобы найти х? Ну два способа. Мы, во-первых, правило помним – у нас известно произведение, у нас известен один из множителей. Мы знаем, что нужно сделать, чтобы найти второй множитель – произведение разделить на известный множитель.

 

Второе правило: можно обе части уравнения поделить на коэффициент перед х, то есть на 0,9. 0,9/0,9х=9/0,9, тогда по основному свойству дроби проведем сокращение и получим, что х=9/0,9. Ну осталось вычислить эту дробь. Сделаем это следующим образом: умножаем на 10 и числитель, и знаменатель – 9*10/0,9*10=90/9=10. Ответ: х=10. Итак, здесь уравнение, в левой части стояли подобные одночлены. В следующем примере тоже будут простые подобные одночлены, только их будет чуть больше.

 

Итак, решить уравнение 20х–13х–12х=5, в левой части – простые подобные одночлены, единственная буква – х в первой степени. х можно вынести за скобки, а сложить, вычесть коэффициенты – (20 – 13 – 12)х=5. Вычисляем: -5х=5. Ну, найдем х по второму способу, то есть разделим обе части на коэффициент перед х – на -5. -5х/-5=5/-5, -5 сократится, то есть освободится искомый х. х=-1, вот ответ во втором уравнении.

Третье уравнение чуть посложнее, оно такое 1/3х+1/4х–1/12х=5. Ну в идейном плане, конечно, уравнение ничем не сложнее предыдущего. Ну только здесь не целые числа, а дроби.

 

Ну правило то же самое: сначала нужно сложить и вычесть коэффициенты у этих подобных одночленов. (1/3+1/4–1/12)х=5, итак, нужно провести действие в скобках – дроби сложить-вычесть. Надо сначала найти наименьшее общее кратное в знаменателе или наименьший общий знаменатель, им является число 12. 12/3 – получаем дополнительный множитель 4, 12/4 – получаем дополнительный множитель 3 и, наконец, 12/12 – получаем 1. Получаем вот такое выражение (4+3–1)/12х=5. Вычисляем 6/12х=5. Нужно обязательно упростить в том смысле, сократить надо вот эту дробь 6/12. Мы получим 1/2х=5. Что теперь делать? Ну теперь обе части уравнения можно умножить на 2 и получить 10. Ответ: х=10. Таким образом, третье уравнение почти не отличается от предыдущих, только коэффициенты были дробными числами.

Следующая группа задач – это текстовые задачи. Ну вот одна из простейших текстовых задач, в которых участвуют операции сложения и вычитания одночленов. Условие: сумма двух третей неизвестного числа и его половина на 7 больше самого числа. Найти это число.

 

Значит, про число говорится: какие-то его части в каких-то взаимоотношениях находятся, в известных из условий и надо найти это число. Ну методом математического моделирования решаем эту задачу, а именно первый этап. Пусть х – искомое число. Ну здесь участвуют тогда и 2/3 этого х, которые участвуют в условии, вот 2/3х. В условии участвует и его половина, половина – это 1/2х. Ну а теперь сказано, что сумма двух третей и его половины. Где это сумма двух третей и половины? Это 2/3х+1/2х. Вот эта сумма двух третей х и его половины на 7 больше самого числа. Значит, разница между вот этой суммой и самим числом в точности равна 7. 2/3х+1/2х–х=7, то есть словесную модель мы переложили в уравнение и получили математическую модель.

Еще раз посмотрим, как она получена. Четко и ясно действуем точно по словесной модели. Две трети неизвестного числа и плюс одна вторая его. Почему плюс? Потому что сумма двух третей и его половины на 7 больше искомого числа. Значит, разница между этой суммой и искомым числом равна 7. Все, математическая модель составлена.

 

Второй этап – работа с математической моделью, то есть по существу решить надо полученное уравнение. Решаем. В левой части однородные одночлены. Надо их сложить. Правило известное: надо сложить-вычесть их коэффициенты, а буквенную часть оставить без изменений. Вот это делаем, получаем уравнение такое (2/3+1/2–1)х=7. Вычисления в скобках: 3 на 2 равно 6, наименьший общий знаменатель 6. 6/3 – получаем 2, дополнительный множитель, 6/2 – получаем дополнительный множитель 3 и минус 6/1*1 – отнять 6. (4+3–6)/6х=7. Продолжаем вычисления 1/6х=7. Для того чтобы найти х, надо обе части умножить на 6 – 1/6х*6=7*6. Ответ: х=42. Таким образом, мы нашли искомое число.

 

Итак, мы рассмотрели типовые задачи, которые решаются с помощью операции сложения и вычитания одночленов. Мы вспомнили что и сложение, и вычитание одночленов производится только над подобными одночленами. Задачи могут быть самые разнообразные, но ключ дает правило сложения и вычитания одночленов.

 

Нужно, конечно, этой техникой овладеть, решив соответствующие задачи, и, конечно, овладеть следующей операцией, а именно – умножением одночленов, которым мы и займемся на следующем уроке.