Данный текст представляет собой неотредактированную версию стенограммы, которая в дальнейшем будет отредактирована.
InternetUrok.ru
Алгебра 7 класс
Глава 2. Степень с натуральным показателем и ее свойства
Урок 1. Что такое степень с натуральным показателем
Тарасов В.А., учитель школы "Логос ЛВ", ст.преп. фак-та довузовской подготовки МИТХТ
11.05.2010 г.
Что такое степень с натуральным показателем
И в русском языке и в математическом языке мы стремимся к ясности и доходчивости изложения. И это подтверждается многими крылатыми выражениями, например, краткость – сестра таланта или писать нужно так, чтобы словам было тесно, а мыслям просторно. Примеры из математического языка.
Вместо того чтобы писать а+а+а математики придумали краткую запись 3 умножить на а.
а+а+а=3а
Вместо того чтобы писать а+а+а+а+а, 5 одинаковых слагаемых записываем 5 умножить на а.
а+а+а+а+а=5а.
и вообще, если у нас nодинаковых слагаемых, мы кратко записываем na.
a+a+a+….+a=na
… …n
Это краткая запись, когда складываем одинаковое слагаемое.
Теперь перемножим а*а*а мы теперь будем писать а3, а в кубе или третья степень числа а.
а*а*а*а*а=а5 – а в пятой степени или пятая степень числа а.
наконец, если а умножается nраз само на себя, nсомножителей, то мы будем писать
= an – nстепень числа а.
n раз
Теперь мы готовы к определению.
Символом anназывается произведение nодинаковых сомножителей.
an
n раз
Мы дали определение, но не сказали, что такое aи n. Скажем, где n- натуральное число
n={2,3,…..}
а – любое число.
Терминология:an а – основание степени, n– показатель степени, an– степень или а в n-ой степени или n-ая степень числа а.
Определение есть, теперь простые задачи на терминологию.
Записать произведение в виде степени, назвать основание и показатель степени, вычислить если возможно.
1. 4*4*4=43– это по определению 4 в кубе или третья степень числа 4, 4- основание степени, 3- показатель степени. Результат:
4*4*4=43=64
2. x*x*x*x=x4 – по определению, это xв четвертой степени, x – основание степени, 4 – показатель степени. Дальше вычислять нельзя, потому что xнадо дать конкретное значение.
3. (xy)*(xy)*(xy)*(xy)*(xy)=(xy)5- xyв пятой степени, xy – это основание степени, 5 – показатель степени, он показывает сколько раз основание умножается на себя. Маленькое замечание: от переменных мест сомножителей произведение не меняется, запишу это выражение по-другому:
x*x*x*x*x*y*y*y*y*y=x5y5
5 5
Оказывается выражения (xy)5= x5y5 и изучая степени, мы увидим, что это всегда так.
4. (c-d)*(c-d)*(c-d)=(c-d)3 – это (c-d) в кубе, 3 – это показатель степени, (c-d) – основание степени.
5. 13*13*5*5=132*52=169*25=4225.
132 – вторая степень числа 13, 52 – вторая степень числа 5. Сомножители могут быть разбросаны, их удобно иногда собирать, пример.
6. 2*3*2*3*2=23*32=8*9=72
В степени anможет отдельно меняться показатель степени или основание степени. Пример,
Вычислить (-5)n,если
a) n=2
b) n=3
c) n=4
Ответ:
a) (-5)2=25 четная степень, минус пропадает.
b) (-5)3=-125
c) (-5)4=625 – четная степень
Здесь у нас менялся показатель степени, основание не менялось.
Рассмотрим пример, когда меняется основание.
Вычислить: b4, где
a) b=1
b) b=-3
c) b=
d) b=
Ответ:
a) 14=1
b) (-3)4=81
c) )4=
d) )4=
Итак, мы дали определение и рассмотрели примеры. Но вспомним, что натуральные числа, а у нас степень числа с натуральным показателем, это 1,2,3 и так далее.
n={1,2,3,…..}
По нашему определению:
an, где (1)
n раз
n={2,3,…..}
Нужно еще одно определение для случая n=1. Что же такое а1?
a1=a1 (2)
Пример.
()1=)
(-2)1=-2
31=3.
Итак, теперь мы знаем, что такое an, ,где n={1,2,3,…..} – любое натуральное число.
Рассмотрим геометрические задачи, в которых участвуют степени, пример.
Задача: вычислить площадь квадрата, сторона которого равна а, где
a) а=3 см
b) а=7 см
c) а=1,5 см
Замечание. Если у нас есть квадрат со стороной а, то его площадь равна а2 или вторая степень числа а.
S=a2
Ответ:
S=32=9 см2
S=72=49 см2
S=1,52=2,25 см2
Итак геометрическая задача потребовала от нас знание степени.
И в заключение, несколько примеров на вычисление. Задач много, но ключ к решению – первое и второе определение.
Вычислить:
a) 71*32*(-2)3=7*9*(-8)=-504 как видим, вычисления могут быть разные, но ключ к решению одинаковый.
b) Вычислить при а=1 следующее выражение
а2=12=1
а3=13=1
При а=-1 будет чуть посложнее:
а2=(-1)2=1
а3=(-13)=-1
а4=(-1)4=1
и т.д. -1 будет мерцать то 1, то -1 в зависимости от того четный или нечетный показатель.
Итак, наша задача была рассмотреть, что такое степень числа с натуральным показателем. Рассмотрели 2 основных определения (1) и (2), выучили терминологию n – это показатель степени, а- основание степени, n – натуральное число, а – любое число. И выполнили ряд задач. Далее мы будем изучать свойства степени с натуральным показателем.
Вот бы все учителя были похожи на вас - тогда алгебра станет любимым предметов всех учеников...
Спасибо!
Спасибо.
Спасибо
если бы все учителя были бы похожи на всех учителей здесь то даже двоишники были отличниками
спасибо)
Образная привязка слову "умножение". Образ буковки У в природе, можно встретить на деревьях, на развилках тропинок, рек. Лучшим пояснением буковки У является образ речки, в которую впадает вторая речка, образуя тем самым большую реку. Смысл буковки в том, что в месте, где соединяются две реки, очень много течений, их больше чем в реке, которая течёт прямо. На соединении рек, всегда можно увидеть много мелких водоворотов и разных течений. В этом месте, в месте которое выглядит как У много всяких движений, они там множатеся У-много, у-множится, у-множить. Умножение, это когда вы из целого, делаете много других частей. Скажем 2*5 Это можно представить как 2 камня разделяются на пять честей, получиться 10 частей всего. Эти части будут меньше двух изначальных камней.
Скобки это разделённый знак О на два. То, что находиться вскобках, находиться внутри О, как находиться вода внутри стакана, или варенье в банке. Вы вскрываете О, что бы попробовать, что там внутри. Сам знак О мего широкий. Если вы капаетесь в математике, то знак О это знак понимания. Понимание работает на нулях, на взаимосвязях, соединяет в о образную форму. Река - океан - тучи - дожь - ручьи - река и далее, по кругу. Со стороны психологии есть два круга, круг понимания и круг знаний. Слово "круг" записано для понимания, в круге знаний нет кругов. Разница между кругом знаний и кругом понимания заключается в том, что в круге знаний все знания разные, не бывает одинаковых знаков в круге знаний, одинаковое есть только в круге понимания, в этом круге нет ничего разного. Это два разделённых круга для понимания. Математика работает на понимании знаков.