Данный текст представляет собой неотредактированную версию стенограммы, которая в дальнейшем будет отредактирована.
InternetUrok.ru
Алгебра 7 класс
Глава 2. Степень с натуральным показателем и ее свойства
Урок 2. Таблица основных степеней
Тарасов В.А., учитель школы «Логос ЛВ», ст.преп. фак-та довузовской подготовки МИТХТ
11.05.2010 г.
Таблица основных степеней с натуральным показателем и ее свойства
Урок номер 10.
Таблица степени чисел и таблица натуральных степеней.Напомним основное определение:
, если бы было n одинаковых сомножителей, то такое произведение мы обозначим как - n-я степень числа a.
a - назвали основанием степени,
n – показатель степени
Число a – любое число, число n – натуральное. То есть n=1, 2, 3, …
Это первое определение, и второе определение:
Мы помним, с каким трудом нам давалась таблица умножения, но как же всё-таки она нам помогала в жизни!
Также важно понимать, как получается таблица основных степеней простых однозначных чисел, в пределах хотя бы тысячи.
Напомним простые числа: {2, 3, 5, 7…} – это простые числа. Они имеют два делителя: себя и единицу.
И напомним основную теорему арифметики, которая говорит, что любое составное число однозначно раскладывается в произведение простых чисел.
Итак, название нашей темы «Таблица основных степеней». Вот эта таблица:
Это таблица степеней двойки. Прямая задача – это вычислить , а обратная задача: есть число 128. В какую степень нужно возвести число 2, чтобы получить 128?
Основная теорема арифметики позволяет нам эту задачу решить.
Если прямая задача – это возводить двойку в степень, то обратная задача – является ли число 128 какой-то степенью двойки? Если я не запомнил таблицу, то я хочу разложить на множители число 128.
128:2=64
64:2=32
32:2=16
16:2=8
8:2=4
4:2=2
2:2=1
Значит, оказывается, число 128 состоит из одних двоек. Посчитаем, сколько раз мы делили – 7 раз.
Значит, 128 =.
Теперь таблица основных степеней тройки.
Так как мы договорились, что мы рассматриваем таблицу степеней в пределах 1000, то на этом остановимся.
Теперь пятерка.
Ну, и последняя – семерка.
Итак, это была таблица основных степеней.
Какие задачи с её помощью можно решать? Ну, прямая задача: число возвести в какую-то степень. И обратная задача: число разложить на простые множители, как мы разложили число 128 и получили, что это .
Вот задача:
.
Сравнить, что больше, n или k?
Решение: по таблице основных степеней, или из разложения, мы знаем, что 128 это , то есть n=7.
243 – это . Стало быть, показатель k=5. Отсюда следует, что n>k.
Итак, мы рассмотрели таблицу основных степеней, но существуют еще некоторые числа, большие степени которых необходимо знать. Продолжим таблицу для чисел 1, 0, -1, 10.
потому что, если умножить единицу саму на себя сколько угодно раз, это все равно единица - .
Ноль возводим в любую натуральную степень – получаем ноль. Но это тоже понятно: .
А вот теперь -1.
Если мы возведем -1 в четную степень – получим единицу.
Запишем это так:
А вот если мы возьмем -1 в нечетной степени?
Как это записать в общем виде? Как запишем нечетное число?
И, наконец, пусть будет a=10.
Сколько здесь нулей у числа, возведенного в степень? Столько же, чему равен показатель степени – один ноль.
А здесь сколько нулей? Число нулей равно показателю степени.
Например, - есть миллион.
Теперь давайте сделаем примеры на всю таблицу.
Такие большие степени нас не должны пугать, это все табличные значения. -1 в четной степени – это 1, ноль в любой степени – это ноль, 1 в любой степени – это 1. 1+0+1=2.
Еще один такой же несложный пример:
Здесь -1 в четной степени, ноль сам по себе, а здесь единица возводится в 24-ю степень, то есть будет тоже единица, поэтому результат – ноль: 1+0-1=0.
Здесь -1 в нечетной степени, то есть получаем -1 и -1 в четной степени, то есть получаем 1. Итого получаем ноль: -1+1=0.
Существуют задачи, где многие делают ошибки. Сейчас мы их разберем.
Возьмем . Вопрос такой: какой знак у этого числа и какие значения может принимать это число?
Ответ: . Почему? Потому что любое число в квадрате либо положительное, либо ноль.
, потому что – aв квадрате – это число неположительное.
Вместо a можно подставить любое выражение. Например:
Каким может быть это число? Если квадрат, то в скобках может быть что угодно, но это будет либо 0, либо число положительное.
А теперь,
Раз стоит минус перед числом, значит это либо отрицательное число, либо ноль.
Всякие такие свойства могут быть завуалированы. Например,
Вначале стоит отрицательное число, но скобка может быть либо нулем, либо числом положительным, следовательно, все выражение меньше либо равно нулю.
Следующий пример.
Каким числом может быть эт
о выражение? Ответ: числом неотрицательным, то есть большим либо равным нулю. Следующий вопрос: а когда это выражение принимает значение ноль?
Ответ: =0 только при x=7.
Итак, мы рассмотрели таблицу основных степеней. Мы видели, что 2 в любой степени, ну можно запомнить, конечно, но нет смысла, потому что всегда составное число можно разложить в произведение основных простых множителей и увидеть соответствующие степени.
Еще мы увидели, что 1 в любой степени – это единица, 0 в любой степени – это ноль. А -1 может быть либо единицей, либо -1 в зависимости от показателя степени, если показатель четное число или нечетное.
Самостоятельно решите задачи: №162, 163, 166, 174, 175.
Спасибо!
Низкий поклон создателям этого сайта и всем преподавателям, которые здесь задействованы! Отдельное спасибо Валентину Алексеевичу Тарасову за прекрасное объяснение материала. Всё чётко и понятно! Спасибо! Здоровья Вам!
почему не работает видео???
Спасибо за урок!!!