Степень с натуральным показателем и свойства степени с натуральным показателем. Умножение степеней и деление степеней с одинаковыми показателями. Напоминание an: n– степень числа a, это краткая запись a•a•…•anраз, где a – любое число, n – натуральное число, т.е. n

an=

                 n раз

a1=1

Это главное определение позволяет вывести некоторые важные свойства степени с натуральным показателем.

Примеры.

 

1.     23•22=2•2•2•2•2=23+2=25=32

                       3         2

Итак, такое впечатление, что показатели складываются. Проверим еще раз:

2.     32•34=3•3•3•3•3•3=32+4=36=729.

                    2          4

 

Опять получается, что показатели складываются.           

Частных случаев еще много можно придумать, но давайте выясним, что будет в общем случае.

Будет ли an•ak=an+k? Соответствующая теорема 1 говорит о том, что это будет справедливо.

Теорема 1. Для любого числа a и для любых натуральных чисел n, k справедливо равенство an•ak=an+k.

Переформулируем его как правило.

При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, основание остается неизменным.

Мы проверили справедливость этой теоремы, мы проверили на частных случаях, но важно доказать теорему для любых случаев. Теорема состоит из условия и заключения. Что же здесь является условием, а что заключением? Условие здесь: a – любое число n и k – любые натуральные числа. То заключение такое: an•ak=an+k.

Доказательство.

По определению

an=

                 n раз

ak=

                 k раз

an•ak=an=• = an+k

                                n раз                k раз

                     всего n+k штук сомножителей

Следовательно,

an•ak=an= an+k

теорема доказана для любых чисел a и для любых натуральных чисел n и k. Если теорема доказана для любых чисел, то и в задачах мы можем использовать любые числа.

Примеры

1.     25•24=29

2.     33•32=35

3.     7•72=73=343

4.     (x-y)3•(x-y)4=(x-y)7 При умножении степеней с одинаковыми основаниями, показатели складываются.

5.     (ab)2•(ab)3=(ab)5

Итак, мы имеем общую теорему 1, которая может быть обобщена на несколько множителей.

an•ak•am=an= an+k+mэто верно на основании общей теоремы.

По теореме: an•ak=an= an+k. Далее:

 an+k•am= an+k+m

Пример:

2•22•23=21+2+3=26=23•23=8•8=64

Таким образом, мы видим, что формула работает.

Еще пример. Упростить выражение, представить в виде степени.

3•32•34=31+2+4=37

В основании были числа, пусть будут буквы.

u2•u3•u4•u=u2+3+4+1=u10

Вместо uможет стоять любое другое выражение, например:

(ab)2•(ab)4•(ab)5=(ab)2+4+5=(ab)11

Таким образом, мы имеем основную теорему и ее обобщения.

Можно решать прямые и обратные задачи.

Например: есть x25, представьте это выражение в виде двух или трех степеней. 25 можно представить как 25=5+20. Тогда

x25= x5• x20.

Как еще можно еще представить 25? Например: 25=10+15. Тогда

x25= x10• x15.

Представим число 25 в виде трех слагаемых 25=5+14+6. Получим:

x25= x5• x14•x6.

Это можно и дальше продолжать.

 

Обратная задача: запишите в виде степени с основанием 2.

32•8. 32 или по основной теореме арифметики разлагаем либо уже помним, что это 25. Почему 25? Потому что 32=16•2=24•21=24+1=25. Получаем:

32•8=25•23=28.

Еще пример, та же задача: представить число в виде степени с основанием 2. Что такое 64? Либо разлагаем на множители, либо помним таблицу, либо вычисляем. 64=8•8=23•23=26.

64•2=26•21=27.

 

Итак, мы рассмотрели свойства степень с натуральным показателем и одну из основных теорем, которая говорит, каким образом перемножать степени с одинаковым основание, и выяснили ее суть. Чтобы перемножить степени с одинаковыми основаниями надо сложить показатели и основание оставить без изменений. Мы эту теорему доказали, а при доказательстве использовали определение степени. А раз мы ее доказали для любых допустимых значений числа a и чисел n и k, то мы можем решать любые задачи на эти степени. В частности мы можем делать любые обобщения. Произведение трех степеней с одинаковыми основаниями вычисляется следующим образом:

 an•ak•am=an= an+k+m

 

Основание остается без изменений, а показатели складываются. И в заключение, рекомендации для самостоятельной работы. Это номера: 186 (а-г), 188 (а-г), 192 (а-г), 202 (а-г).