Данный текст представляет собой неотредактированную версию стенограммы, которая в дальнейшем будет отредактирована.
InternetUrok.ru
Алгебра. 8 класс
Глава 1. Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями
Урок 2. Основное свойство алгебраической дроби
Тарасов В.А., учитель школы «Логос ЛВ», ст.преп. факультета довузовской подготовки МИТХТ
14.06.2010 г.
Основное свойство алгебраической дроби (алгебра 8 класс)
Напомним, что алгебраические дроби, выражение вида , где P – числитель, а Q – знаменатель. И тот, и другой многочлены.
Вспомним основное свойство обыкновенной дроби. Например, дробь . Мы знаем, что 5 можно умножить на любое число, например, на 4, и, если на эту же четверку умножить 3, то дробь не изменится.
Мы говорим, что дробь не изменится, если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.
, где .
, где .
В алгебраической дроби у нас и числитель, и знаменатель многочлены. Проведем дальнейшую аналогию с обыкновенной дробью. Что нам здесь помогало?
С обыкновенной дробью нам помогала основная теорема арифметики. Например, в дроби мы умели раскладывать и 45, и 27 на простые множители.
В алгебраической дроби мы тоже умеем раскладывать числитель и знаменатель, и это является основой для действия с дробями.
Давайте все-таки сформулируем основное свойство алгебраической дроби.
Числитель и знаменатель алгебраической дроби можно умножить или разделить на один и тот же многочлен, и мы получим тождественное преобразование алгебраической дроби.
Итак, нам нужно научиться использовать это свойство алгебраической дроби, а для этого вспомним, как мы использовали такое же свойство у обыкновенной дроби. У нас была основная теорема арифметики, которая говорила, что любое число можно разложить в произведение простых множителей.
Напомним, что простыми множителями являются числа {2, 3, 5, 7,…}, те натуральные числа, у которых только два делителя, которые делятся только на единицу и сами на себя.
Поэтому в примере мы разложим и числитель, и знаменатель на множители, а потом будем сокращать.
45:3=15
15:3=5
5:5=1,
Таким образом, 45=. Теперь подобным образом разложим 27.
27:3=9
9:3=3
3:3=1
Таким образом, 27=3.
Теперь, когда и числитель, и знаменатель разложены на простые множители, мы можем и числитель, и знаменатель разделить на 3, разделить на вторую 3. В результате получим .
Еще один пример.
Итак, основная теорема дает нам возможность разложить на множители числитель и знаменатель обыкновенной дроби, чтобы затем сократить её.
Теперь мы то же самое сделаем с алгебраическими дробями. Конкретный пример: сократить дробь
Упростить, сократить – суть одна: нужно разложить числитель и знаменатель на множители и, если возможно, сократить. Сократить, если найдутся одинаковые множители и в числителе, и в знаменателе. Вспоминаем, что в числителе у нас формула сокращенного умножения.
Здесь нужно сделать некоторые пояснения. Исходная дробь знала, что , то есть . Если , то это недопустимые значения в исходной дроби.
По пути забылось кое-что. Для дроби a не должно равняться . Но если нас спрашивают об исходной дроби, то a не должно равняться и .
Исходная дробь равна упрощенной дроби , если выполняется следующее условие .
Где же мы потеряли это условие? Смотрите, мы же сократили на многочлен (a+b), а основное свойство дроби говорит, что можно сократить тогда и только тогда, когда сомножитель неравен нулю. А этот сомножитель равен нулю, когда a=-b.
Итак, мы сделали первый пример и прокомментировали его.
Второй пример. Сократить, упростить и другие аналогичные формулировки.
Для этого разложим и числитель, и знаменатель. В числителе дальше уже раскладывать нечего, простейшее выражение. А в знаменателе 3 можно вынести за скобки, так как это общий множитель. После чего мы можем сократить (2x+y).
Но полезно написать, что все это будет правильно только для тех значений x и y, при которых выражение 2x+y не равно нулю, потому что они стоят в знаменателе.
Итак, наша дробь для всех x и y, которые не связаны вот этим соотношением
На координатной плоскости можно изобразить уравнение, которому подчиняются эти значения: .
Итак, мы сократили и написали условие, при котором такое сокращение допустимо.
Еще один пример.
И числитель, и знаменатель похожи. Числитель оставим без изменения, а в знаменателе знак минус вынесем за скобки. Теперь у нас есть возможность сократить.
Исходная дробь существует, когда .
Итак, мы видим, что основное свойство алгебраических дробей позволяет сокращать, упрощать дроби.
Основное свойство дроби имеет очень широкое применение. Например, при сложении и вычитании дробей, при приведении дробей к общему знаменателю.
Сначала рассмотрим пару примеров для обыкновенных дробей:
Разложим на множители:
Прежде чем сложить алгебраические дроби, их нужно привести к наименьшему общему знаменателю.
Вспомним выражение НОК – наименьшее общее кратное. НОК(12; 18)=36
Наименьший общий знаменатель - это то наименьшее натуральное число, которое делится и на 12, и на 18.
Итак, мы вспомнили, что свойство дроби применяется при сложении и вычитании дробей, в том числе и обыкновенных дробей.
Итак, нужно привести обе дроби к одному, одинаковому знаменателю:
Вот была дробь , а стала эта дробь а стала .
Итак, дроби нужно приводить к общему знаменателю. Точно так же нужно приводить знаменатели в алгебраических дробях. Начнем с простейших примеров:
и = и
Итак, были исходные дроби с разными знаменателями, теперь мы получили дроби с одинаковыми знаменателями. Мы привели их к общему знаменателю, это нужно для сложения и вычитания дробей.
Возьмем пример посложнее, но задача та же самая: привести к одинаковому знаменателю. 12 – это наименьшее общее кратное чисел 6 и 4.
и = и
Итак, мы рассмотрели основное свойство дроби и выяснили, что оно позволяет упростить дробь, сократить и, во-вторых, привести дроби к общему знаменателю. Приведение дробей к общему знаменателю – это цель нашего следующего урока.
Спасибо очень помогло :D
почему не грузиться видео-уроки?