Основное свойство дроби и приведение дробей к общему знаменателю, дополнительный множитель. Напомним, алгебраическая дробь – это выражение вида P/Q, где и числитель, и знаменатель – это многочлены, или многочлены или их частные случаи: одночлены, степени, числа. Основное свойство дроби заключается в том, что и числитель, и знаменатель можно умножить или разделить на один и тот же многочлен. Например, на одну и ту же скобку или на один и тот же многочлен. Это позволяет, с одной стороны, упростить дроби, с другой стороны – несколько их усложнить, но привести к одинаковому знаменателю. Чтобы познакомиться с этим вплотную, начнем с простейших примеров.

 

                Привести дроби к общему знаменателю:

                1) 5a/6 и 7b/12, мы видим, что 12 делится и само на себя, и на 6, поэтому общим знаменателем будет 12. И в первой дроби, и во второй дроби общий знаменатель это 12. 12/6=2. Значит, и числитель, и знаменатель первой дроби мы умножаем на число 2: 5a*2/6*2, в результате получаем 10a/12, вот первая дробь – 10a/12, и вторая дробь та же самая – 7b/12, она не изменилась. Итак, были две дроби с разными знаменателями, получили две дроби с одинаковыми знаменателями. Ну и здесь наш общий знаменатель найден простейшим способом, т.к. 12 делилась на 6.

               

Чуть по сложнее второй пример:

                2). 6a2/8 и 5ab/12, в отличие от первого примера, 8 и 12 – разделительные числа, найдем их наименьшее общее кратное, помним, что такое наименьшее общее кратное. Ное (8,12), т.е. то самое маленькое натуральное число, которое одновременно делится и на 8, и на 12. Для этого еще раз вспомним основную теорему арифметики на простые множители, и так будем всегда в сложных случаях делать. Но здесь случай простой, если 12 я умножу на 2, то получу 24, 24 делится и на 8, и на 12: Ное(8,12)=24. Таким образом, первая дробь у нас будет со знаменателем 24, и вторая дробь будет со знаменателем 24. Но как получить 24 из 8? Надо 8 умножить на 3, т.к. 24/8=3, получили дополнительный множитель 3, на 3 умножаем и числитель, и знаменатель первой дроби 6a2*3/8*3. А вторую дробь 24/12=2 – дополнительный множитель. Поэтому вторую дробь мы умножаем на 2, а именно – и числитель, и знаменатель дроби 5ab*2/12*2. В результате получим 18a2/24 и 10ab/24. Итак, во втором примере имели две дроби с разными знаменателями, получили две алгебраические дроби с одинаковыми знаменателями, дополнительный множитель здесь были числа 2 и 3.

             

   В следующем примере дополнительными множителями будет буквенное выражение:

                3) 8mn/b2 и 9m/b, задача та же самая – привести эти дроби к одному и тому же знаменателю, ну здесь b2 делится и на себя, и на b. Значит, первую дробь мы оставим без изменения – 8mn/b2. А вторую дробь умножим на b, и тогда знаменатель дроби будет b2: 9m*b/b*b=9bm/b2. Итак, мы имели две дроби, знаменатели были разные, знаменатели были буквенным выражением. Получили две дроби, у которых две дроби с одним и тем же знаменателем.

                4) y2/x и x/y – вот эти две дроби требуется привести к общему знаменателю. Здесь ничего не придумаешь, как перемножить x на y. Вот произведение знаменателей делится и на первый знаменатель, и на второй знаменатель. Значит: y2*y/x*y=y3/xy, такова стала первая дробь, со знаменателем xy. Вторая дробь x*x/y*x=x2/xy, итак, у нас опять имелись две дроби с разными знаменателями, получили две дроби с одинаковыми знаменателями.

                5) 5/a и 7/a-b, задача та же, привести к общему знаменателю, естественно, пользуясь основным свойством дроби. Общий знаменатель здесь: a(a-b), значит, первую дробь следует умножить на (a-b) – 5*(a-b)/a*(a-b) – и числитель, и знаменатель. А во второй дроби знаменатель будет тот же самый a(a-b), значит, и числитель, и знаменатель нужно умножить на a. 5(a-b)/a(a-b) и 7a/a(a-b). Были две дроби с разными знаменателями, получили две дроби с одинаковыми знаменателями. И если потом, в следующем уроке нам потребуется их складывать или вычитать, то мы будем знать, как их привести к общему знаменателю.

             

   Следующий пример:

                6) 17/3(x-1) и 22/6x-6, ну мы говорили, что самое главное – это разложить на множители знаменатель. В первой дроби уже знаменатель разложен на множители. Ну во второй дроби, не будем выписывать отдельно, вот здесь 6x-6=6(x-1), но 6 и 22 можно сократить, тогда получится 3 и первый знаменатель. Оказывается, поиск общего знаменателя начинается с исследования каждого из знаменателя. 17/3(x-1) и 22/6x-6=11/3(x-1) (второй после сокращения на 2). Что же здесь нам пришлось сделать, чтобы из этих дробей получить две дроби с общим знаменателем. Да просто сократить вторую дробь на 2, пользуясь снова основным свойством дроби.

            

    Итак, у нас требовалось привести две дроби к общему знаменателю. Но в жизни могут быть три и больше дробей. Давайте рассмотрим примеры с тремя дробями.

                7) b/2a; d2/4a2 и 1/6a3, задача такая: привести дроби к наименьшему общему знаменателю, одночлен, одночлен, одночлен, у каждого из них есть коэффициент 2, 4, 6. Надо найти такое самое маленькое число, которое делилось бы на все три коэффициента. Ну мы знаем, таким числом является 12. Буквенные части a, a2, a3. a3 делится и на a3, и на a2, и на a, таким образом, наименьший общий знаменатель есть, вот он просматривается 12a3. Как к нему прийти с первой дроби? b/2a, на что надо умножить и числитель, и знаменатель, чтобы получить вот такой общий знаменатель? Ну для этого 12a3/2a=6a2, оказывается, надо умножить на 6a2 и числитель, и знаменатель, множим b*6a2/2a*6a2, получаем первое число b*6a2/2a*6a2=6a2b/12a3 вот, первая дробь с таким знаменателем. Как получить из второй дроби d2/4a2 дробь со знаменателем 12a3? Надо 12a3/4a2=3a, значит, и числитель, и знаменатель второй дроби надо умножить на одно и то же выражение 3a. Получаем d2*3a/4a2*3a=3ad2/12a3. Итак, у нас первая и вторая дробь преобразованы. Осталось третью дробь 1/6a3. На что надо умножить и числитель, и знаменатель, чтобы получить такой знаменатель 12a3? Общее правило: 12a3/6a3=2. И числитель нужно умножить на 2, и знаменатель: 1*2/6a3*2=2/12a3. Результат: имели три исходные дроби – b/2a; d2/4a2 и 1/6a3. Они имели разные знаменатели, получили в результате три дроби: 6a2b/12a3, 3ad2/12a3 и 2/12a3, каждая из дробей имеет один и тот же знаменатель, этот знаменатель наименьший из всех возможных.

 

                8) Даны три дроби – 4/c2-25; 2/с+5 и c+2/c-5. Задача – привести к наименьшему общему знаменателю. Таковым здесь является c2-25=(c+5)(c-5), итак, общий знаменатель найден. Как взять дополнительные множители? Алгоритм простой: этот общий знаменатель разделить на каждый знаменатель. Для первой дроби c2-25/c2-25=1, для второй дроби c2-25/с+5=(c+5)(c-5)/(с+5)=(c-5), для третьей дроби c2-25/с-5=(c+5)(c-5)/(с-5)=(c+5). В результате первая дробь не изменится 4/c2-25, вторая дробь 2(c-a)/c2-25, третья дробь (c+2)(c+5)/c2-25. Итак, мы имели три дроби с разными знаменателями, была задача – получить выражение для этих же трех дробей, но с наименьшим общим знаменателем. Мы нашли наименьший общий знаменатель, поделили его на каждый из знаменателей, и получили дополнительные множители, и сделали соответствующие умножения.

                Как видим, важную роль в алгебраических дробях, здесь имеют способы, как разложить многочлен на множители. Ну давайте сделаем пример посложнее, ну а сложность как определяется: просто трудно разложить многочлен на множители или нетрудно.

 

                9) Напишем три дроби – a2/a2-ab+bc-ac; 3b/2b-2a и a/3a-3cТребуется привести их к наименьшему общему знаменателю. Ну правило понятное: сначала каждый знаменатель следует разложить на множители. Ну вот этим и займемся. Что из себя представляет первый знаменатель a2-ab+bc-ac? Перебираем в памяти методы разложения многочленов на множители. Первое – общий множитель, если он есть. Нет. Второе – группировка. Группировка есть. Сгруппируем первый многочлен со вторым, третий с четвертым. Почему? Да потому, что у первого и второго многочлена есть общий множитель a, у третьего и четвертого многочлена есть общий множитель c. a2-ab+bc-ac=a(a-b)-c(a-b), для того чтобы получилось (a-b), а если вынести с с плюсом, то получится (a+b), значит, с вынесем с минусом. А вот теперь есть общий множитель (a-b)(a-c). Получили разложение первого знаменателя на множители a2/a2-ab+bc-ac=(a-b)(a-c). Остальные знаменатели тоже надо разложить на множители. Для второго знаменателя 2b-2a=-2(a-b), а для третьего 3a-3c=3(a-c). Ну и какой же у нас наименьший общий знаменатель? Он должен содержать произведение коэффициентов, он должен содержать произведение всех скобок. Значит, a2/(a-b)(a-c) – первая дробь; для второй дроби: минус перенесем в числитель или перед дробью поставим и получим: -3b/2(a-b) и третья дробь a/3(a-c). Наименьший общий знаменатель есть дробь 2*3(a-b)(a-c), вот такой наименьший общий знаменатель. Раздели его на первый знаменатель, получим 6, множителей 4, два есть, и двух не хватает. Во втором знаменателе не хватает 3(a-c), в третьей дроби есть 3 и одна скобка, не хватает 2(a-b). Итак, у нас найден наименьший общий знаменатель и все дополнительные множители есть. Что получим в первой дроби – 6a2/6(a-b)(a-c); что получится во второй дроби – -9b(a-c)/6(a-b)(a-c); для третьей дроби – 2a(a-b)/6(a-b)(a-c). Итак, были три дроби, знаменатель каждой из них пришлось разложить на множители, сформировать наименьший общий знаменатель, найти дополнительные множители и получить три дроби с наименьшим общим знаменателем.

 

                Итак, мы рассмотрели еще раз основное свойство дроби и приведение с его помощью дробей к общему знаменателю, далее это будет использоваться при сложении и вычитании алгебраических дробей. Вычислительная задача, которая тоже требует предварительного упрощения. Найдите значение выражения при a=-12, выражение такое: a2-58/a-8 – первая дробь, вторая (знаменатель такой же): 6/a-8. Ну ясно, что не надо повторять -12, надо упростить, т.е. сложить-вычесть дроби с одинаковыми знаменателями. Мы уже знаем, как это делать, знаменатель оставляем без изменений, получаем в числителе: a2-58-6, дальше:

a2-58/a-8 - 6/a-8 = a2-58-6/a-8 = a2-64/a-8 = (a-8)(a+8)/(a-8) = a+8

Если бы мы вычисляли в общем случае эти дроби, то все это хорошо, справедливо, когда (a-8) ≠0, мы сокращали (a-8), т.е. когда a ≠ 8, но нам предлагается это вычислить при a=-12, поэтому мы с чистой совестью подставляем (a+8), а=-12, -12+8=-4.

 

                Итак, мы рассмотрели сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями, мы видели, что правило что для обыкновенных дробей, что для алгебраических дробей одинаковое: знаменатель следует оставить без изменения, сложить-вычесть числители, ну, конечно, привести подобные члены, упростить и т.д. Эта техника далее будет использоваться на следующем уроке, когда мы будем складывать-вычитать дроби с разными знаменателями.