Данный текст представляет собой неотредактированную версию стенограммы, которая в дальнейшем будет отредактирована.
InternetUrok.ru
Алгебра8 класс
Глава 1. Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями.
Урок 1. Основные понятия.
Тарасов В.А., учитель школы «Логос ЛВ», ст.преп. фак-та довузовской подготовки МИТХТ
14.06.2010 г.
Основные понятия связанные с алгебраической дробью
(алгебра 8 класс)
К основным понятиям относится само определение алгебраической дроби.
Алгебраической дробью называется выражение вида , где P– числитель, а Q – знаменатель. И тот, и другой – многочлены.
Чтобы было понятно, о чем идет речь, приведем сразу несколько примеров алгебраических дробей.
Вот примеры алгебраических дробей: 1) ; 2) ; 3); 5) ;
Как мы видим, значение алгебраической дроби, как и любого алгебраического выражения, зависит от численного значения тех букв, которые сюда входят.
Теперь давайте решим первую стандартную типовую задачу. А именно: вычислить значение первой дроби при некоторых значениях x и y.
Что такое первая дробь? У первой дроби есть числитель, это P=x+y и есть знаменатель дроби Q=x-y. Многочлен числитель и многочлен знаменатель. И тот, и другой зависят от x и y.
В чем заключается задача? Вычислить значение первой дроби при заданных значения буквенных переменных. Сделаем несколько примеров, для того, чтобы понять, какие здесь могут быть сложности.
А)
Вычислим значение первой дроби при таких значениях. Вычисляем: подставляем просто значения:
Никаких сложностей здесь нет: подставили и вычислили.
Б)
Подставляем данное значение:
Значение дроби вычисляется, никаких трудностей пока не предвидится.
В)
Тоже простые, хорошие числа. Подставляем, выясняем: =. То есть в числителе – число, а в знаменателе – 0, тоже число, но 0.
Такой дроби, как мы знаем, не существует. Значит, вывод: существуют допустимые значения буквенных переменных и недопустимые значения буквенных переменных.
Отсюда выведем две типовые, основные задачи для любой дроби:
1) Нахождение допустимых и недопустимых значений буквенных переменных.
2) Вычисление дроби.
Что мы можем сказать про первую задачу? Алгебраическая дробь зависит от переменных, и знаменатель иногда может быть равен 0. Со всеми вытекающими отсюда последствиями.
Приведем конкретный пример: установить, при каких значениях не имеет смысла дробь:
Если мы знаменатель приравняем к нулю: -5=0, то увидим, что при =-5 знаменатель будет равен 0. Нас спрашивают, при каких значениях дробь не имеет смысл?
Ответ: при =-5
Итак, была равна дробь, знаменатель приравняли 0 и выяснили, что при =-5 дробь не имеет смысла.
Сделаем второй аналогичный пример. Имеется дробь: .
Знаменатель равен 0, =0, когда =-1.
Ответ: дробь не имеет смысла при =-1.
Немножко усложним задачу. Рассмотрим следующую дробь:
.
Задача такая же: при каких значениях x дробь не имеет смысла?
Дробь не имеет смысла, когда знаменатель =0. Знаменатель равен 0, если каждый его сомножитель равен 0.
=0
Получили линейное уравнение, несложное, решаем его.
Поделили обе части на 3. Найдем решение этого уравнения:
Итак, наш знаменатель обращается в 0, когда
А нас спрашивали, при каких значениях
Ответ: при
Итак, мы видим, что для определения алгебраической дроби, которая имеет вот такой вид
Это означает, что можно сформулировать общее правило, как найти допустимые и недопустимые значения буквенных переменных.
Для этого надо приравнять знаменатель Q к нулю, узнать, когда он равен 0, при каких значениях буквенных переменных, и их исключить.
Вот простое, ясное правило.
Продолжим применять это правило и комментировать каждый случай подробно.
1)
Мы решаем первую, стандартную задачу: найти, при каких значениях буквенных переменных эта дробь не имеет смысла.
Вот оно правило, вот знаменатель. Знаменатель приравняем к 0:
Ответ: эта дробь не имеет смысла при .
Давайте прокомментируем вот этот простой пример.
Нарисуем ось
Значит, при всех значениях
В жизни мы можем встречать другие формулировки этой задачи. Например, я буду говорить: найдите область определений, область значений данного выражения. Это все те
Ну, еще раз остановимся, а что такое «дробь имеет смысл»? Это значит, ее просто можно вычислить. При
Давайте следующий пример.
2)
Задача та же, найдите те значения буквенной переменной, в данном случае
Правило общее. Приравняем знаменатель нулю.
Решаем это уравнение. Для этого есть свое правило: произведение равно нулю, тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю, а второй при этом существует.
Итак, мы должны приравнять
И решить два простейших линейных уравнения.
В первом случае получаем , во втором получаем
Ответ: при
Вот ось
Вот ось a. На ней нужно выколоть При всех остальных значениях a данную дробь можно вычислить.
Вернемся к первой дроби, с которой мы начинали.
;
Мы выяснили ту пару x и y, при которых дробь не существовала. А единственная ли такая пара? Нет, не единственная. Вопрос тот же самый: найдите все значения переменных, при которых дробь не имеет смысла.
Правило для этого у нас есть. Для этого нужно приравнять нулю знаменатель. Приравниваем:
Оказывается, любые пары чисел, вот мы наткнулись:
Если они равны друг другу, то их разность равна нулю.
Следующий пример:
Но так же перебирать все нельзя!
Давайте нарисуем на координатной плоскости геометрическое место точек, в которых данная дробь не существует. Для этого нужно нарисовать вот это уравнение: x=y.
То есть прямую y=x.
Любая точка, например, точка (2,2), которая лежит на этой прямой, является недопустимой для этой дроби.
Следующая точка, например, (10,10) – эта точка тоже является недопустимой для данной дроби. Итак, эта алгебраическая дробь не существует при значениях x и y, которые равны друг другу. Значит, существует бесчисленное множество пар чисел, при которых дробь не существует.
Дальнейшие частные случаи алгебраической дроби связаны не только с делением на ноль, но и с делением 0 на 0:
Рассмотрим соответствующие примеры.
Рассмотрим дробь
И ту же стандартную задачу решаем: найти те y, при которых дробь не имеет смысла.
Теперь мы знаем твердое правило, которое говорит, что нужно приравнять к нулю знаменатель:
,
Решить полученное уравнение,
и выколоть соответствующую точку. Написать ответ:
Ответ: дробь не имеет смысла при
При всех остальных y дробь имеет смысл.
Но возможно возражение: как же так? Мы ведь можем разложить числитель на множители!
А теперь давайте сократим на (y-4). Что у нас получится?
Но существует при ! Да. Это выражение существует при , его можно вычислить. Но всё выражение
Не существует при
Что будет при ?
а ведь на ноль делить нельзя. Такое выражение не имеет смысла.
А выражение , ну вот оно-то почему не имеет смысла? Да по определению частного!
Предположим, что существует a, которое умноженное на 0 даст нам 3. Это невозможно.
Итак, знаменатель не может быть равен 0, запомним это простое и ясное правило: приравнять знаменатель к нулю и выколоть соответствующие точки.
Для того чтобы понять, в чем же здесь дело, давайте решим другую задачу: при каких y данная дробь равна нулю.
Для этого числитель приравняем нулю:
Вот разложение на множители пригодилось!
То есть
Разложили на множители, так же, как и выше:
Это решения этого уравнения:
Но нам-то нужно решить исходное уравнение. А исходное уравнение не существует, когда
При y=4 знаменатель равен нулю. Значит, корнем данного уравнения является только одно число: y=-4.
Итак, еще раз запомним, , если мы Q приравняли нулю, все значения буквенных переменных, при которых Q=0, недопустимы для данной дроби.
Итак, мы рассмотрели первую задачу: вычислительную, вторую важную задачу – нахождение допустимых значений и недопустимых значений буквенных переменных.
Ну, естественно, задачи могут быть самыми различными. Приведем одну из них.
Здесь числитель – число положительное. Знаменатель:
Итак, и числитель, и знаменатель при любом a – числа положительные и дробь – числа положительные.
Ну и последняя задача из числа разных задач. Дано:
Найти:
То есть дано численное значение одной алгебраической дроби, нужно получить значение другой алгебраической дроби. Вот пример вычислительной задачи.
Решение: поделим почленно:
Недопустимым в данной дроби является y=0, то есть при дробь существует, ее можно вычислить.
Если y не равен нулю, то y можно сократить и получаем:
То есть
Итак, мы рассмотрели основные понятия, связанные с алгебраической дробью, знаменатель дроби, определение алгебраической дроби, примеры алгебраической дроби Далее они будут использоваться на следующем уроке. На следующем уроке мы рассмотрим основное свойство и примеры алгебраической дроби.
видео для меня сейчас очень полезно!!!!!! Но к сожелению оно не воспроизводится дальше, воспроизводится только половина
Здравствуйте. Спасибо за отзыв о нашем видео уроке. Попробуйте просмотреть урок через другой браузер - Firefox, Opera или Chrome.
Здравствуйте. Спасибо за отзыв о нашем видеоуроке. Попробуйте просмотреть урок через другой браузер - Firefox, Opera или Chrome.
большое спасибо, я многое понял!
Классный сайт!!! Каждый день буду сюда заходить!!!
очень хороший и полезный сайт
Довольно интересно-интересно...только я не могу иногда разобрать его речь...она порой непонятная..напоминает Сквидворда...А так всё-всёф понтфно!Вотщ такс!Спасипс)
я люблю этого человека)
Лучший учитель!!!