Данный текст представляет собой неотредактированную версию стенограммы, которая в дальнейшем будет отредактирована.
InternetUrok.ru
Алгебра. 8 класс
Глава 1. Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями
Урок 8. Разложение знаменателя на множители при сложении и вычитании алгебраических дробей
Тарасов В.А., учитель школы "Логос ЛВ", ст.преп. фак-та довузовской подготовки МИТХТ
15.06.2010 г.
Разложение знаменателя на множители - способы и примеры
Разложение знаменателя на множители при сложении и вычитании алгебраических дробей.
Напомним, алгебраическая дробь это выражение вида p/q, где p и q – многочлены. Значит, их можно и нужно раскладывать на множители. При сложении и вычитании мы имеем как минимум дело с двумя дробями.
p1/q1 – первая дробь. p2/q2 – вторая дробь.
Наша цель их сложить. Или вычесть. p1/q1 +- p2/q2.
Итак, что мы можем делать с первой дробью? Мы можем сократить первую дробь или упростить. А при сложении и вычитании двух, трех и так далее дробей основная операция какая? Нахождение наименьшего общего знаменателя. Эти два важнейших действия требуют разложения на множители многочленов, которые стоят в знаменателе. А при сокращении надо разложить на множители многочлен, который стоит в числителе. Давайте это подтвердим конкретным примером:
х²– xy/xy²y– xy²
Это единственная дробь? и главная задача здесь – сократить, упростить. Это означает разложить на множители и числитель, если возможно, и знаменатель. Если будет общий множитель, то сократить. Такой общий множитель есть. Выносим x за скобку в числителе. Получаем x-y. xy выносим за скобку? в знаменателе получаем x-y.
x²– xy/x²y- xy²=
x(x-y)/xy(x-y)
Мысленно проверяем правильность вынесения за скобки. Мы видим наличие общих множителей.
Основное свойство дроби говорит, что можно сократить, то есть, разделить на эти одночлены, двучлены, многочлены. Но, при одном условии.
Если x не равен 0.
Если x-y не равен 0.
При этих условиях мы получаем:
x²– xy/x²y- xy²=
x(x-y)/xy(x-y)=1/y
Итак, разложение многочленов на множители при сложении и умножении дробей.
Первая операция- это упрощение самих дробей, сокращение на множитель.
Второй пример.
4n²– 4n+1/2-4n
Дробь. Следует ее упростить. То есть, разложить и числитель, и знаменатель на множители. Здесь мы узнаем полный квадрат, каких чисел?
4n²– 4n+1/2-4n= (2n-1)²
В знаменателе мы 2 выносим за скобку и получаем:
4n²– 4n+1/2-4n= (2n-1)²/2(1-2n)
Скобки похожи. Используем следующее свойство.
(-t)²= t²
То есть, -1 под квадратом пропадает.
(-1)² и в любой четной степени - это просто 1.
(-1)²=1.
Поэтому, (2n-1)², мы можем написать следующим образом. Все выражение под скобкой, но не часть какую-нибудь, умножить на -1. Мы получим (1-2n) в квадрате.
(2n-1)²=(1-2n)²
То есть, подгоняем скобки друг под друга. Мы
получаем:
4n²– 4n+1/2-4n= (2n-1)²/2(1-2n)=
(1-2n)²/2(1-2n)
Теперь можно сократить одну из скобок. И мы получаем:
4n²– 4n+1/2-4n= (2n-1)²/2(1-2n)=
(1-2n)²/2(1-2n)= 1-2n/2
Исходное выражение длинное, упрощенное выражение результирующее, справедливое при многих значениях буквенных переменных, но не при всех.
При каких же не справедливы.
Когда 1-2n=0
1-2n не должно быть равно 0.
n не должна быть равно ½.
При всех остальных значениях длинное выражение:
4n²– 4n+1/2-4n= (2n-1)²/2(1-2n)=
(1-2n)²/2(1-2n)
Равно более менее простой дроби:
1-2n/2
Рассмотрим разность двух дробей.
2a²+1/a³-1 – а/ а²+ а+1
Следует вычесть две дроби. В первой дроби следует разложить на множители. А во второй дроби хорошо бы узнать, что это не полный квадрат сумм.
Раскладываем первую дробь и получаем:
2а²+1/(а-1)*(а²+а+1)
Вот такова первая дробь, у которой знаменатель разложен на множители.
Вторую дробь следует просто переписать:
2a²+1/a куб-1 – а/ а²+ а+1=
2а²+1/(а-1)*(а²+а+1) – а/а²+а+1
Теперь ищем наименьший общий знаменатель. Именно разложение многочленов на множители, что является целью нашего сегодняшнего урока, разложение на множители - это центральная операция, которая тут же позволяет найти наименьший общий знаменатель:
(а-1)*(а²+а+1) – наименьший общий знаменатель
Далее ищем дополнительные множители каждой дроби:
У первой дроби - дополнительный множитель 1.
У второй дроби у знаменателя не хватает скобки (а-1).
Получаем:
2a²+1/a куб-1 – а/ а²+ а+1=
2а²+1/(а-1)*(а²+а+1) – а/а²+а+1=
2а²+1-а²+а/(а-1)*(а²+а+1)
Далее, знаменатель оставляем без изменении я в надежде на последующее сокращение. В числителе действуем стандартно, то есть, приводим подобные члены.
2а²– а²= а²
получаем:
2a²+1/a³-1 – а/ а²+ а+1=
2а²+1/(а-1)*(а²+а+1) – а/а²+а+1=
2а²+1-а²+а/(а-1)*(а²+а+1)=
а²+а+1/(а-1)*(а²+а+1)
Выясняется, что скобку можно сократить и получаем:
1/а-1
2a²+1/a³-1 – а/ а²+ а+1=
2а²+1/(а-1)*(а²+а+1) – а/а²+а+1=
2а²+1-а²+а/(а-1)*(а²+а+1)=
а²+а+1/(а-1)*(а²+а+1)= 1/а-1
Итак, мы рассматривали отдельную дробь, раскладывали на множители числитель и знаменатель и получали сокращение.
Мы рассматриваем сложение и умножение. Для того, чтобы найти наименьший общий знаменатель нам нужно знаменатель раскладывать на множители. То есть, центральная операция здесь- это разложение многочленов на множители. Поэтому, есть смысл перечислить методы разложение многочленов на множители, еще раз их повторить, прокомментировать. Для этого давайте вспомним, что такое многочлен.
Многочлен- это сумма одночленов.
А что такое одночлен?
Одночлен- это произведение степеней и чисел. То есть, множителей. Множители могут быть одинаковы во всех одночленах. Во всех членах многочлена. Отсюда первый способ, который нам известен: вынести общий множитель за скобки. Конечно, если он есть. Если его удалось найти.
Пример на эту тему.
х³- 3х² – х
Это многочлен.
Общий множитель х здесь в каждом одночлене. Выносим его за скобку и получаем:
х³- 3х²– х =х²- 3х -1
Вынесли за скобку и разложили на множители, что необходимо при сложении и вычитании дробей. Множитель может не так выглядеть, это подтверждает следующий пример. В следующем примере:
3х(а+b)+y(а+b)
В следующем примере общим множителем является двучлен- скобка. Ее выносим за скобку:
3х(а+b)+y(а+b)= (а+b)*(3х+у)
Таким образом, общий множитель выносится за скобку и многочлен раскладывается на множители.
У многочлена могут быть разные степени сложности. Давайте рассмотрим пример посложнее:
ах²- ау- bх²+ су+bу- сх²
Вот такой многочлен. Общего множителя, в общем, здесь нет. Поэтому, здесь применим второй способ разложения на множители - группировка. В чем его суть? Общего множителя у всех одночленов нет. Но, у некоторой группы одночленов есть общий множителей. У второй группы одночленов есть второй общий множитель. Его надо вынести за скобки. То есть, сгруппировать.
А как группировать? Желательно по общему множителю.
Смотрим в каких множителях у нас есть х². х² есть в 1 множителе, в третьем члене и в шестом. Это будет первая группа. А во второй группе есть у.
Итак, метод группировки на довольно сложном примере.
В первой группе х² выносим за скобку и получаем:
х² (а-b-с)
Из второй группы мы вынесем –у. Почему? Потому что у нас есть а, а есть –а, а нам нужно подгонять так, чтобы скобки были одинаковые. –у выносим за скобку и в скобках остается следующее:
-у(а-b-с)
Получаем две одинаковых скобки. И эти скобки мы тоже выносим за скобку:
х² (а-b-с) -у(а-b-с)= (а-b-с)*(х²– у)
Следующий метод с помощью формул сокращенного умножения. Еще раз выпишем и прокомментируем.
а²- b²
Разность квадратов двух выражений. Первая формула:
а²- b²=(а-b)*(а+b)
Вторая формула.
(а+-b)².
Полный квадрат. Квадрат суммы или квадрат разности. Квадрат первого выражения +- удвоенное произведение этих выражений и плюс квадрат второго выражения.
(а +-b) ²= а ² +- 2аb+b²
Еще используются формулы и мы обязаны их знать:
а ³- b ³и
а ³+ b ³
Здесь бывает много путниц в знаках. Мы рекомендуем следующий прием. Если есть –, значит, первая скобка должна иметь -, а дальше:
а ³- b ³= (а-b)*(а²+ аb+ b²)
Если есть +, то значит и в первой скобке +:
а ³+ b ³= (а+b)*(а²-аb+b²)
Это основные формулы. Многие их хорошо выучили наизусть. Но, их надо уметь находить и определять где а, а где b в реальной задаче.
Первая задача. Разложить на множители.
4-36а²
Вот такое выражение. Его необходимо разложить на множители.
4-36а²= (2+6а)*(2-6а)
Почему?
Потому что 4=2², а 36а²- это 6а и все в ²
4-2а²; 36а²=(6а) ²
Поэтому, сумма и разность этих выражений.
Естественно, можно было в самом начале 4 вынести, 2 можно выносить. Давайте вынесем 2 за скобку.
2*(1+3а)*2*(1-3а)
и окончательно:
2*(1+3а)*2*(1-3а)=4(1+3а)*(1-3а)
Вот такое разложение уже готово для того, чтобы потом искать наименьший общий знаменатель.
Приведем еще пример:
9х²- 24ху + 16у²
Как здесь догадаться свертывается здесь все в полный квадрат либо не свертывается? Давайте сделаем стандартные действия.
Квадратом, какого выражения является первый член? 3х в квадрате
А последний? 4у в квадрате
А средний член?
Если это удвоенное произведение, должно быть:
9х²- 24ху + 16у²= (3х) в квадрате-2*3(х)*(4у)+(4у) ²
Мы видим, что получается. В качестве, а у нас выступает выражение 3х, а в качестве b выражение 4у
а=3х
b=4у
Их надо узнать. И сразу можно написать:
9х²- 24ху + 16у²=(3х- 4у) в квадрате
Итак, мы рассмотрели и вспомнили еще один способ разложения на множители, а именно, использование формул сокращенного умножения.
Конечно, существуют и комбинированные методы. Не всегда только одни метод используется. Бывает и комбинация методов. Из важных методов далее мы упомянем метод выделения полного квадрата.
Метод выделения полного квадрата. Вспомним его на конкретном примере.
х²- 6х+5
Давайте попробуем разложить на множители вот этот трехчлен. Перебрали в уме все возможности. Если не получается, значит остается метод выделения полного квадрата. х²- это квадрат первого выражения, сразу -2х напишем, уж если суждено нам выполнить наше начинание, то должно быть -2х. Но, здесь же 6. Значит, мы выделяем 3. Два выражения х и 3. Удвоенное произведение выражений х и 3. Квадрат первого выражения есть, а квадрата второго выражения нет. Рекомендация такая. Сразу же 3х в квадрате и -3х². Квадрат второго выражения прибавили и отняли. И осталось +5. Какая цель? Мы получили (х-3) ². (х-3) ²- это первые три члена. А далее -9+5.
х²- 6х+5= х²– 2х*3+3²- 3²+ 5= (х-3) ²- 9+5=
(х-3) ²- 2²-2²=
(х-3-2)*(х-3+2)
Это по формуле сокращенного умножения.
(х-3-2)*(х-3+2)= (х-5)*(х-1)
Итак, мы вспомнили метод выделения полного квадрата. Выделили полный квадрат и разложили на множители.
Пример.
4/х²-6х+5+1/х-1
Надо сложить/вычесть, в данном случае сложить две дроби. Разложить на множители. Только что мы вспомнили метод выделения полного квадрата и написали, что:
х²-6х+5=(х-1)+(х-5)
Мы провели трудоемкую операцию и воспользуемся ей:
4/х²-6х+5+1/х-1
Все что можно разложить на множители- разложено и теперь мы ищем наименьший общий знаменатель. Это произведение (х-1)*(х-5).
Наименьший общий знаменатель найден.
4/х²-6х+5+1/х-1= 4/(х-1)*(х-5)+1/х-1
Дополнительное множество 1 и (х-5). Получаем:
4+х-5/(х-1)*(х-5)
Знаменатель просто переписываем, а числитель упрощаем и получаем:
х-1/(х-1)*(х-5)
есть возможность сократить и получить окончательный результат:
1/х-5
После того, как мы сократили или до того, как мы сократили, мы должны обеспечить себе право этого сокращения. Основное свойство дроби говорит о том, что можно это сделать, но, только когда х не равен 1.
Можно было в самом начале написать, что эта дробь и вообще все дроби существуют, когда х не равен 1, чтобы скобка не обнулялась и х не равен 5. Далее мы это будем называть областью допустимых значений.
Сейчас нам важно понимать, что любые значения переменной х допустимы, кроме двух вышеназванных. Теперь мы видим, что, в результате сложения получили результат:
1/х-5
Итак, мы рассмотрели способы, какими знаменатель дроби можно разложить на множители. Перечислили, прокомментировали эти способы и показали их работу на конкретных примерах. И эти способы будут служить нам хорошую службу и в последующих уроках.
