Данный текст представляет собой неотредактированную версию стенограммы, которая в дальнейшем будет отредактирована.
InternetUrok.ru
Алгебра. 8 класс
Глава 1. Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями
Урок 5. Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями
Тарасов В.А., учитель школы "Логос ЛВ", ст.преп. фак-та довузовской подготовки
МИТХТ
14.06.2010 г.
Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями (алгебра 8 класс)
Вычитание дробей и сложение дробей с одинаковыми знаменателями более сложный случай. Напомним правило, оно таково:
Знаменатель остаётся, числители, где надо, складываются; где надо, вычитаются. Это правило применяется и для относительно простых дробей, и для сложных дробей. Приведём конкретные примеры.
Учебник предлагает такую довольно сложную задачу, нужно сложить и вычесть три дроби. Мы даже не знаем, они одинаковы либо нет. Поэтому прежде всего нужно выяснить, какие множители в знаменателе. Напишем, что первый знаменатель раскладывается на множители. Получается:
Первое, что мы сделали – разложили все три знаменателя на множители и видим, что на самом деле знаменатели одинаковые. Применяем правило.
Не запутаться с минусом! Он относится ко всему третьему числителю, поэтому пишем (– b – 5).
В числителе получаем
=
Здесь можно сократить и числитель, и знаменатель на a, т.е. воспользоваться основным свойством дроби. И хорошо бы сразу где-то пометить, что это будет справедливо дальше для тех a, которые не равны нулю. И в результате получить окончательный ответ:
Итак, исходное выражение, алгебраическую сумму трёх дробей надо было упростить. Мы упростили и получили ответ.
Следующий пример:
Надо понять, знаменатель у них одинаковый или почти одинаковый? Для этого разложить на множители надо каждый знаменатель.
А другие знаменатели противоположны этому. Значит, надо подогнать друг к другу.
Во втором выражении минус во второй скобке надо вынести за скобку.
И в третьем тоже:
Получим:
=
В числителе мы видим дробь, которую надо попытаться упростить. Надо попытаться трёхчлен, который стоит в числителе, разделить на множители, если это возможно.
Вспомним формулу полного квадрата:
Есть сами квадраты, есть удвоенное произведение их. В итоге мы имеем полный квадрат.
Мы подробно расписали числитель, чтобы увидеть, что у нас есть полный квадрат чисел 3xи 2:
Сокращаем скобки и получаем окончательный результат.
Полезно записать, что это справедливо, когда (3x– 2) , т.е. x
Потому что мы сократили дробь на это, так что конечная дробь не знает, что x, а исходные дроби знают.
Следующая задача: докажите, что данное выражение при всех допустимых значениях переменной принимает положительное значение. Выражение такое:
Надо доказать, что эта дробь при всех допустимых значениях xпринимает только положительное значение. А какие из них допустимы?
В знаменателе стоит 0
В каком случае это возможно? Когда x
Все xдопустимы, кроме одного.
И надо доказать, что при всех остальных x вот это огромное выражение принимает только положительное значение. Для этого нужно упростить, т.е. сложить и вычесть дроби. У них один и тот же знаменатель. Не забудем, что во втором числителе минус относится ко всему числителю!
= =
Мы знаем, что квадрат любого выражения больше или равен нулю:
Явная подсказка, что в числителе тоже будет полный квадрат. Легко заметить, что
= = ==
Числитель – величина положительная, знаменатель – тоже, потому что квадрат любого числа либо равен нулю, либо больше нуля.
Итак, мы имели исходное выражение, алгебраическую сумму трёх дробей, вычислили и доказали то, что требовалось: что при всех допустимых значениях xвыражение принимает только положительное значение.
Таким образом, мы рассмотрели вычитание дробей и сложение дробей с одинаковыми знаменателями в более сложных случаях. А далее эта техника будет использоваться при вычитание дробей и сложение дробей алгебраических с разными знаменателями.
