Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями (более сложные случаи). Если у нас есть одна дробь:

, причём

 

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. Для разных знаменателей нужно найти наименьший общий знаменатель. Полная аналогия с обыкновенными дробями, поэтому ещё раз сделаем пример с обыкновенными дробями.

Как найти наименьший общий знаменатель? В арифметике нас выручает основная теорема арифметики. 30 и 42 раскладываются на простые множители. Раскладываем:

 

30 = 2*3*5

 

42 = 2*3*7

Где же наименьший общий знаменатель?

Выписываем в знаменателе 2 и 3, чтобы наименьший общий знаменательно разделился на первый знаменатель, должна быть 5 и должна быть 7, чтобы была возможность разделить на второй знаменатель. Это первое действие – найти наименьший общий знаменатель, и в алгебраических дробях это тоже первое действие. А следующее действие – это сложить или вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, для этого нужно найти дополнительные множители. Общий знаменатель разделить на первый знаменатель, получается 7, и общий знаменатель разделить на второй знаменатель – получается 5. Вычитаем, двойки сокращаем, получаем результат.

 =  =

 

Таким образом, мы продемонстрировали, как обыкновенные дроби реализуют алгоритм вычитания.

Теперь перейдём к алгебраическим дробям. Наибольшая сложность – это нахождение наименьшего общего знаменателя. В обыкновенных дробях у нас есть основания арифметики, разложение на простые множители со всеми вытекающими отсюда последствиями. А в алгебраических дробях у нас есть методы разложения многочленов на простые множители. Напомним их.

1.      Вынесение общего множителя за скобку.

2.      Группировка.

3.      Формула сокращённого умножения.

4.      Выделение полного квадрата.

Теперь нам придётся их повторить и ещё раз использовать. Перейдём к алгебраическим дробям.

Сначала надо разложить на простые множители каждый знаменатель. Во втором знаменателе мы видим:

А в первом знаменателе у нас наоборот:

 

Значит, минус в первой скобке второго знаменателя мы вынесем за скобку. И получим:

Вот мы подготовились к тому, чтобы найти наименьший общий знаменатель, это второй знаменатель. Нашли. Дальше – сложение дробей с одинаковыми знаменателями, для этого нужно найти дополнительный множитель: .

 

Вот результат. Нам нужно было вычесть дроби с различными знаменателями, мы это сделали по известному алгоритму. Мы видим, что надо следить за знаками.

Следующий пример:

=

Нас подстерегает та же особенность:

Мы можем минус вынести за скобку, а можем и числитель, и знаменатель умножить на (-1). Возможностей много, главное – подогнать под второй множитель.

 = =

Тогда второй знаменатель раскладывается удобным для нас образом:

Поэтому нам легко найти наименьший общий знаменатель:

Находим дополнительный множитель: знаменатель делим на знаменатель, получаем дополнительный множитель.

И сразу формируем произведение:

= = =

Итак, мы имели вычитание разных дробей с разными знаменателями, использовали стандартное правило и получили результат.

 

Мы рассматриваем сложение и вычитание дробей с разными знаменателями и постепенно усложняем сами дроби и, соответственно, процесс их сложения и вычитания.

На этот раз мы сложим три дроби сразу.

Раскладываем каждый знаменатель на множители.

 

Надо подогнать второй знаменатель. Вынесем минус из знаменателя и поставим перед дробью.

Это позволяет нам сформировать наименьший общий знаменатель:

 

Это очень важная часть, мы ещё раз её проговорим: после того как разложили все знаменатели на множители, подогнали множители по возможности друг к другу, сформировали наименьший общий знаменатель. После этого нашли дополнительные множители, перемножаем, формируем числитель и всё упрощаем. При этом знаменатель не следует упрощать. Раскрываем скобки.

Итак, мы имели три дроби, нашли наименьший общий знаменатель, нашли дополнительные множители, выполнили соответствующие действия, получили результат. Конечно, здесь важно следить за знаками, за правильным раскрытием скобок и т.д. Продемонстрируем это на ещё одном примере.

Действуем по стандартному правилу. Сначала раскладываем каждый знаменатель на множители, в некоторых случаях попытаться сократить дробь, насколько возможно.

= =

 

Итак, мы разложили на множители каждый знаменатель и подогнали, где возможно, каждый знаменатель друг к другу, чтобы выявить одинаковые множители. Это нам позволяет легко определить наименьший общий знаменатель:

Получаем дополнительные множители:

К получаем

К получаем

К получаем

==

 

После раскрытия скобок и сокращения получаем результат:

Всегда ли это будет ? Только при допустимых значениях букв:

При всех остальных значениях pвсё это огромное выражение в точности равно

 

Итак, мы рассмотрели сложение и вычитание дробей с разными знаменателями, повторили правила и решили достаточное количество примеров. Эта техника дальше нами будет использоваться в последующих более сложных заданиях.