Данный текст представляет собой неотредактированную версию стенограммы, которая в дальнейшем будет отредактирована.
InternetUrok.ru
Алгебра. 8 класс
Глава 1. Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями
Урок 10. Умножение и деление алгебраических дробей
Тарасов В.А., учитель школы «Логос ЛВ», ст.преп. фак-та довузовской подготовки МИТХТ
22.06.2010 г.
Арифметические операции над алгебраическими дробями - умножение и деление дробей
Умножение и деление алгебраических дробей. Правила умножения и деления алгебраических дробей аналогично соответствующим правилам, как для дробей обыкновенных. И эти правила выписаны:
1) Правило умножения: a/b•c/d=ac/bd. Для того чтобы дробь умножить на дробь, нужно перемножить числители, и перемножить знаменатели, и получить новую дробь. Это относится к обыкновенным дробям, где вместо а, в, с и d стоят числа; и к алгебраическим, где вместо а, в, с и d стоят алгебраические выражения, в частности дроби.
2) Правило деления: a/b / c/d=ac/bd. Для того чтобы разделить дробь на дробь, надо перемножить числитель первой дроби на знаменатель второй дроби и числитель второй дроби на знаменатель первой, получив новую дробь. Иногда правила немного модернизируют и говорят так: для того чтобы разделить первую дробь на вторую, надо:
a/b / c/d= а/b•d/c=ad/bc. Результат один и тот же. Очень часто совершаются ошибки при частных случаях этих правил. Давайте их рассмотрим:
a/b : c =a/bc
a/b :•c =ac/b
И в том, и в другом случае получаются дроби. Как бы это прокомментировать, чтобы соответствующее правило запомнить? Важно, куда с поставить, ведь если я умножаю с на дробь, то с надо поставить в числитель, я увеличиваю дробь, а если я дробь делю на с, то куда с поставить? Я уменьшаю дробь, надо ее поставить в знаменатель. Ну, вот такие комментарии часто помогают избежать ошибок. Итак, дробь мы умножили и разделили на с, теперь давайте наоборот:
В конце концов если я плохо запоминаю правила, а основные правила я знаю, то число с я представляю как число с/1 и тогда
с : a/b =ac/b
с • a/b =cb/a
Итак, мы рассмотрели основные правила, по которым осуществляется умножение и деление дробей.
Мы констатировали, что эти правила одинаковые как для обыкновенных дробей, так и для дробей алгебраических.
Ну а теперь рассмотрим конкретные примеры применения этих правил. Ну, конечно, проведем полную аналогию с обыкновенными дробями и начнем с обыкновенных дробей.
1) 77/34 • 17/33 = 77•17 / 34•33
Ну, конечно, не надо перемножать огромные числа, здесь у нас есть основная теорема арифметики: надо разложить на простые множители. Напомним их: 2, 3, 5, … ,17, … так, вот любое составное число однозначно разлагается на простые множители:
77/34 • 17/33 = 77•17 / 34•33 = 11•7•17 / 2•17•3•11 = 7/6
Итак, в обыкновенных дробях разложение на множители осуществляется по основной теореме арифметики. Это теоретическая база. Ну и дальше сократили то, что можно сократить. Вот так обстоят дела при умножении обыкновенных дробей.
2) Пример на деление:
12/25 : 18/35 = 12•35/25•18, ну и, естественно, либо по основной теореме арифметики, разложить все нужно на простые множители, либо, если простые числа, осуществляем деление.
12/25 : 18/35 = 12•35/25•18 = 2•7 / 3•5 = 14/15
Итак, первое: мы рассмотрели примеры на прямое применение правил.
3) 24 : 18/5 – это частный случай, получаем, правило сработало, осталось произвести сокращения:
24 : 18/5 = 24*5/18 = 4*6*5/3*6 = 20/3
Итак, мы рассмотрели основные правила умножения, деления дробей, их частные случаи. Этим правилам подчиняется умножение и деление обыкновенных дробей и умножение и деление дробей алгебраических. Вот, сейчас мы переходим к алгебраическим дробям. Ну, естественно, начнем с самых простейших.
1) 6х/5*у/5. Чем этот пример отличается от предыдущих? Ну тем, что здесь появилась буквенная переменная, дроби стали называться алгебраическими, но суть от этого не изменилась: числители надо перемножить и знаменатели надо перемножить, перемножаем:
6х/5*у/5 = 6ху/25
2) Далее, эту дробь мы умножили на другую, теперь эти же дроби разделим: 6х/5 : у/5. Вспомним правило, тот факт, что здесь есть буквенная переменная, значения не имеет. Числитель первой дроби надо умножить на знаменатель второй дроби и числитель второй дроби надо умножить на знаменатель первой:
6х/5 : у/5 = 6х5/5у=30х/5у= 6х/у
3) Похож на частный случай, делю на х. Если я сомневаюсь, куда его поставить – в числитель или в знаменатель, то вспоминаю: раз я делю на х, то дробь надо уменьшить, значит, х надо поставить в знаменатель, ну и после это сократить и получить:
5х/6 : х = 5х/6х = 5/6
4) Давайте наоборот, вот такие примеры вызывают всякие ошибки, поэтому мы на них и останавливаемся:
х:5х/6 = х•6/5х=6/5
Ну, и как и должно быть в третьем примере 5/6, а в 4-ом 6/5, потому что поменяны местами 5х и х.
5) Не всегда буквенная переменная может быть в первой степени, она может быть в любой степени. Применяем общее правило и сокращаем:
а2/6 : а/3 = 3аа/6а = а/2
6) 6mx•ab/2mx2=6mx•ab/2mx2=3ab/x, вот результат данного примера, здесь было умножение
x/x2=x/x*x=1/x
7) С теми же дробями выполним деление, проводим деление согласно основному правилу, далее сокращать тут нечего, перемножаем:
6mx : ab/2mx2=6mx•2mx2/ ab=12x3m2/ab
8) ab/2mx2 : 6mx, таким образом охватим все частные случаи: дробь можно переписать так, как есть, но осталось решить вопрос: а куда поставить 6mx? Ну в числитель просто рука не поворачивается. Нам же разделить нужно, т.е. уменьшить эту дробь, значит, 6mx запишем в знаменатель.
ab/2mx2 : 6mx = ab/2mx26mx= ab /12x3m2
Ну сравним результаты седьмого и восьмого примеров: числители и знаменатели поменялись местами, как и должно быть.
Итак, мы рассмотрели почти все частные случаи.
В следующем примере сделаем то же самое:
9) 9ху : 3х2у/ab = 9ху ab/ 3х2у
Применили основное правило деления и после сокращения получили:
9ху : 3х2у/ab = 9ху ab/ 3х2у = 3хab/х – вот результат.
Первый частный случай: наоборот, дробь делится на это выражение, значит, умножается на обратное выражение, важно понять, куда подставить 9ху? В знаменатель? Почему? Ну нужно помнить, что дробь уменьшается, это часто помогает правильно поставить сомножитель. Дальше, сокращение: 3х2у/ab:9ху=3х2у/ab•9ху= х/3ab. Ну, можно сравнить и увидеть, что это взаимообратные выражения.
Итак, мы рассморели умножение и деление дробей, алгебраических дробей, где переменные были в какой-то степени. В качестве переменных могут выступать одночлены, многочлены и т.д. Значит, мы еще раз усложняем наши примеры и решаем следующие примеры.
10) a-b/c+d : 3(a-b)/2(c+d). Ну чем эта дробь отличается от предыдущих, чем этот пример сложней? Только тем, что вместо конкретной буквенной переменной ставится двучлен. Правила остаются все те же самые. Все, правила сработали, не важно, что там было – буквы, числа либо двучлен. Дальше сокращения.
a-b/c+d : 3(a-b)/2(c+d)= (A-b)•2(c+d)/(c+d)•3(a-b) = 2/3
11) Следующий пример, перемножить дроби:
c+d/c-d•c-d/c
По общему правилу перемножаем числители, перемножаются знаменатели, сокращается, что возможно.
c+d/c-d*c-d/c = (с+d)(c-d)/(c-d)c=c+d/c
Это мы перемножили дроби, давайте их разделим.
12) (c+d)/(c-d) : (c-d)/c
Правило кардинально изменится: надо перемножить числитель и знаменатель и поставить в числитель и т.д. И выясняется, что сокращать нечего, то, что получилось, следует написать.
(c+d)с/(c-d) (c-d)= с(c+d)/(c-d)2
Итак, мы две дроби и разделили, и умножили друг на друга. Ну, естественно, при сокращении и разложении на множители важно помнить способы, каким образом это делается и вот числе знаменитые формулы сокращенного умножения.
Решаем следующий пример:
13) m2-n2/3m+3n•3m2/5n-5m. Ну понятно, что нужно перемножить числители и надо перемножить знаменатели, но по пути раскладываем, где можно на множители:
m2-n2/3m+3n • 3m2/5n-5m = (m+n)(m-n) 3m2/3(m+n)(-5)(m-n)= - m2/5
Ну и последний пример на разложение множителей с помощью формул сокращенного умножения.
14) (х2-1)/(x3+1): x2-2x+1/x2-x+4, перемножаем этот числитель на знаменатель, по пути раскладываем на множители. Разложили на множители сумму кубов. Трехчлен х2-2х+1 – это полный квадрат. Итак, с помощью формул сокращенного умножения на множители разложили все, что можно разложить. Далее сокращаем:
(х2-1)(x3+1): x2-2x+1/x2-x+4 = (x+1)(x-1)(x2-x+1)/ (x+1)(x2-x+1) (X2-1) = 1/х-1
Итак, мы рассмотрели тему «Умножение и деление алгебраических дробей». Мы рассмотрели правила, которым подчиняются эти операции, и продемонстрировали использование этих правил на различных примерах. И умножение, и деление алгебраических дробей, конечно, нам тоже встретятся в последующих уроках. Ну, например, следующий урок – это возведение дроби в степень. А возведение в степень натуральную – это последовательное умножение дроби.
Спасибо, замечательный понятный урок!!!))))