Данный текст представляет собой неотредактированную версию стенограммы, которая в дальнейшем будет отредактирована.
InternetUrok.ru
Алгебра. 8 класс
Глава 1. Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями
Урок 9. Задачи на сложение и вычитание дробей
Тарасов В.А., учитель школы "Логос ЛВ", ст.преп. фак-та довузовской подготовки МИТХТ
22.06.2010 г.
Алгебраические дроби - сложение и вычитание дробей
Задачи на сложение и вычитание дробей. Мы рассматриваем сложение и вычитание дробей и с одинаковыми знаменателями, и с разными знаменателями. В общем виде решаем такие примеры.
+
Дроби можно продолжать. Важно, что здесь есть и сложение, и вычитание. Мы рассматривали очень важную операцию – разложение многочленов на множители, которые позволяют найти наименьший общий знаменатель дроби и выполнить задачу. Однако на заключительном этапе важно посмотреть все действия по сложению и вычитанию дробей. Действия эти для алгебраических дробей имеют полную аналогию с действиями с обыкновенными дробями. Еще раз рассмотрим эту аналогию. Первый пример:
-
Это можно рассматривать как частный случай алгебраической дроби, арифметическую дробь или обыкновенную дробь. Но, и там и там нужно раскладывать знаменатели на множители с целью найти наименьший общий знаменатель. В арифметике на помогала основная теорема: любое составное число разлагалось на простые множители.
6=2*3
15=5*3
и 3
Далее мы искали наименьший общий знаменатель или наименьшее общее кратное всех знаменателей. То есть, самое маленькое натуральное число, которое делится на все эти знаменатели. Мы выяснили, что, сначала нужно писать 2*3. Не хватает 5. 2*3*5. Это произведение делится на все остальные множители. Наименьший общий знаменатель найден. Следующее действие. И в алгебраических дробях и в обыкновенных дробях звучит одинаково. Найди дополнительные множители то есть, разделить наименьший общий знаменатель на первый знаменатель и получить 5, ее не хватает, разделить на второй знаменатель и получить 2, ее не хватает и, наконец, на третий, здесь дополнительные множители 2*5 то есть 10.
Далее обыкновенное действие:
-=
Знаменатель оставляем без изменений, в надежде, что возможно сокращение, а в числителе вычисляем:
-=
Действительно, есть возможность сокращения. Сокращаем тройку и получаем окончательный результат:
-=
Итак, мы повторили весь алгоритм сложения и вычитания дробей на примере обыкновенных дробей. И если, в обыкновенных дробях у нас наименьший общий знаменатель находился с помощью основной теоремы арифметики, то, в алгебраических дробях разложить на множители каждый знаменатель, нам позволяют те методы, которые мы подробно рассматривали. Подробно их перечислим.
1. Вынесение общего множителя за скобку.
2. Группировка.
3. Выделение полного квадрата.
4. Использование формул сокращенного умножения.
Следующий пример. Сложение и вычитание трех алгебраических дробей.
Знаменатель дроби первой довольно сложное выражение. Его следует разложить на множители. На множители также следует разложить второй и третий знаменатель дроби, для того, чтобы найти наименьший общий знаменатель дроби. А теперь решение. Прежде всего надо разложить на множители каждый знаменатель. Видим, что в первой дроби можно вынести а² за скобку, также за скобку можно вынести 2. 2 присутствует везде и а² присутствует везде.
Получим следующее:
2а²(а²+2аb+b²)
Замечаем, что в скобках стоит (а+b)² , отсюда первая дробь переписывается следующим образом:
Самая трудоемкая часть в первой дроби сделана. Знаменатель на множители разложили. В числителе первой дроби ничего не изменяется.
Раскладываем знаменатель второй дроби на множители:
3а(b²-а²)
Так и перепишем:
и наконец, с третьим что происходит. Здесь можно вынести за скобку 6а³ и получаем:
Итак, мы выполнили довольно трудоемкую часть, а именно, каждый знаменатель мы разложили на множители. Продолжаем. Первую дробь мы перепишем без изменений . Вторую дробь мы изменим. Напишем следующее:
Третью дробь пока оставим без изменения:
Получаем:
Какие изменения и зачем здесь претерпела вторая дробь? С тем, чтобы множители были одинаковыми. Далее мы формируем наименьший общий знаменатель:
6а³ (а+b)² (а-b)
Это знаменатель должен делиться на все остальные знаменатель. Старшая степень 3 есть, 6 есть, она делиться и на 3 и на 2. Квадрат есть и (а-b) тоже есть. Наименьший общий знаменатель.
Следующее действие. Дополнительные множители для первой, второй и третьей дроби. Здесь есть 2, но нет 3, значит 3 должна быть. Есть а², но нет а, значит 3а. (а+b)² есть, но (а-b) нет. То есть, мы получили частные отделения общего знаменателя на первый знаменатель. Можно сразу выполнить умножение.
Точно также ищем дополнительный множитель для второй дроби. 3 есть, но 2 нет. Есть только а, а здесь а³, значит должен быть а². Есть (а-b) и (а+b) есть, а второй скобки нет. Значит (а+b). Итак, мы поделили общий знаменатель на второй знаменатель и получили дополнительный множитель.
Точно также поступим с третьей дробью. Найдем дополнительный множитель. 6 есть и а³ есть, и скобка одна есть, а второй нет, значит (а+b)². В результате надо будет умножить b на полный квадрат. Есть время и место раскрыть эту скобку. Мы раскроем скобку (а+b)² по формуле сокращенного умножения. Раскрываем:
=
Продолжаем. Знаменатель оставляем без изменения, а в числителе все скобки раскрываем:
Снова знаменатель оставляем без изменения, а в числителе приводим подобные члены и располагаем их по убывающим степеням:
В результате мы получили вот такой длинный, но ответ. Итак, мы имели задачу сложить, вычесть три дроби и на этом длинном примере мы продемонстрировали алгоритм сложения и вычитания дробей. Он предусматривает разложение каждой дроби на множители, нахождение наименьшего общего знаменателя, дополнительных множителей, дальнейшего упрощения знаменателя и, по возможности, сокращения числителя и знаменателя.
Как мы видим, большая аналогия со сложением и вычитаем обыкновенных дробей. Теперь следуем продолжить этот же алгоритм и еще раз обсудить на более простых примерах.
В следующем примере важно увидеть и осуществить предварительное сокращение дроби. Вот пример:
а+b+a²-b²/a-b+a²-2ab+b²-b/a-b
Первую дробь можно сократить. Для этого и числитель, и знаменатель нужно разложить на множители:
a²-b²=(a+b) (a-b)
a²-2ab+b² в знаменателе равно (a-b)²
Это следует выписать отдельно, что мы и сделаем:
Конечно, можно было в начале, просто упрощать первую дробь.
Итак, можно вынести за скобки скобку (a+b) в числителе и скобку (a-b) в знаменателе. У нас получается следующее:
(a+b) (1+а-b)/ (a-b) (1+а-b)- b/a-b=
Здесь мы видим, что первая дробь существенно упрощается. Получаем:
Естественно, дробь, на которую мы сокращаем, не может быть равна 0. Теперь мы получаем разность дробей с одинаковыми знаменателями. Это совсем просто. Знаменатель мы оставляем без изменения, а вычисления производим в числителе. Получаем:
=
Приводим подобные члены и получаем окончательный результат:
В данном примере мы существенно упростили первую дробь разложив ее на множители и сократив.
В следующем примере тоже важна возможность и увидеть и осуществить сокращение дроби:
Рассмотрим первую дробь. Разложим числитель на множители и знаменатель дроби на множители. Есть х³-2³. Это разность кубов.
(х-2)*(х²+2х+4)
Разложение числителя на множители. А, в знаменателе, 2 можно вынести за скобку.
2*(х-2)
В результате получаем:
Мы видим, что (х-2) сокращается. Всегда полезно написать, что х не равен 2. Дальше этого сомножителя не будет в знаменателе. После этого продолжим:
Общий знаменатель 2, хлопот с ним нет, потому что первая дробь была упрощена. Было проведено сокращение. Мы получаем:
Осталось привести подобные члены в числителе. Приводим:
Это результат.
Итак, мы рассмотрели решение задач разной сложности на сложение и вычитание дробей. Еще раз подчеркнули роль методов разложения многочленов на множители. Техника работы с дробями, знаменатель дроби, сложение и вычитание дробей, будет нам встречаться неоднократно в последующих уроках.
Спасибо, Валентин Алексеевич. Ваши уроки всегда предельно понятны.