Линейное и квадратное неравенство, повторение, урок №1, основные понятия решения линейных неравенств.

 

                В общем виде неравенства с одной переменной записывается f(x)>0, вместо (>0) может быть (≥0), (<0), (≤0). Ну для определенности будем записывать решения в виде f(x)>0.

x – единственная переменная, это неравенство с одной переменной;

f – некоторое выражение, функция, алгебраическое выражение.

 

В зависимости от того, какое выражение я поставлю вместо f, я получу разные типы неравенств. Если вместо f я поставлю линейную функцию, я получу линейное неравенство, которое является нашей целью. Если я вместо f поставлю квадратный трехчлен, квадратичную функцию, я получу квадратное неравенство.

Итак, линейное неравенство выглядит следующим образом:

1) ax+b>0, это линейная функция, x в первой степени. Предполагается, что a≠0, что x здесь сохраняется.

2) если вместо f я поставлю квадратичную функцию ax2+b+c>0, то получу квадратное неравенство.

 

                Итак, мы вспомнили, что такое неравенства, их основные типы, а теперь перейдем к обсуждению того, что является решением неравенства.

                Значение x0, при котором неравенство обращается в верное числовое неравенство, является частным решением неравенства. Наша задача – найти все решения неравенства. Множество всех решений неравенства называется общим решением неравенства или просто решением неравенства.

                Ну вот конкретный пример:

                1) 2x-5>9

 

Линейное неравенство, x в первой степени, давайте найдем его решение и обсудим основные понятия.

2x-5>9 <=> 2x>14 (5 перенесли в левую часть с противоположным знаком), далее разделили все на 2 и получили <=> x>7. Изобразим множество решений на оси x.

Это есть луч, положительно направленный. Записывается множество решений либо в виде неравенства x>7, либо в виде интервала x Є (7; ∞). Итак, мы упомянули, что такое неравенства, вот что является частным решением этого, первого неравенства? Ну, например, x=10, это есть частное решение этого неравенства, x=12, это тоже частное решение этого неравенства.

Частных решений много, но наша цель – найти все решения. А решений, как правило, бесчисленное множество.

 

Итак, пример 2:

2) 4a-11>a+13 и его решим, и обсудим основные понятия. а перенесем в одну сторону получим 3a, 11 перенесем в другую сторону, получим 24. 3a<24, и в результате, после деления обеих частей на 3, получим a<8.

4a-11>a+13<=>3a<24 <=> a<8.

Тоже изобразим множество, но уже на оси а, неизвестная переменная обозначена а. 8 не является решением, а все а, которые меньше 8, включаются во множество решений.

Ответ либо записывается в виде неравенства a<8, либо а Є (-∞;8), 8 включается.

 

Итак, на простейших примерах мы видим особенность неравенства и его отличия от уравнений, которые мы сейчас обсудим. Какая же это особенность? Ну то, что частных решений много, а общее множество всех решений бесчисленное. В отличие от уравнений, в том, что бесчисленное множество решений. Что мы делаем в уравнениях? Мы получаем один, два, три, несколько решений, как правило, и если даже постороннее решение, то мы можем их отсечь проверкой, подстановкой в исходное уравнение. Увы, здесь такой возможности нет, здесь бесчисленное множество решений подставить в исходное уравнение не представляется возможным. Поэтому есть важное понятие, вот эти стрелочки <=> - это знак эквивалентных, или равносильных, преобразований. Что это означает? Преобразование называются равносильными, или эквивалентными, если они не искажают множества решений. Вот в неявном виде, в исходном неравенстве существовало какое-то море решений. Мы получали, преобразовывали и получили окончательное решение, где гарантия, что мы не потеряли ни одну каплю из этого моря или не приобрели другую каплю, ведь потом уже отсечь их нельзя. Гарантия – это эквивалентное, равносильное преобразование. О важности эквивалентных, равносильных преобразований, ее важность давайте уясним на основе следующего примера.

 

3) 1/x≤1. Решить неравенство. Ну вот, я сознательно, заранее объявляю, что в решении неравенства будет допущена или не будет допущена ошибка. Каждый слушатель может проверить: допущу ли ошибку, в чем она, или просто не допущу. Итак, мое решение: решение буду искать среди x≠0. Почему? Потому что x стоит в знаменателе, он не может быть равным 0. Ладно, область определения есть. Если x≠0, то обе части неравенства я умножу на x: 1/x*x≤1*x, основное свойство дроби позволяет сократить в правой части x, и результате я получу x≥1. И напишу ответ, каждый должен для себя решить, правильно ли я решил или нет, т.е. ответ верный или неверный. Давайте изобразим этот ответ:

Вот множество, бесчисленное решение я получил. Я утверждаю, что я неверно решил неравенство. Почему? Ну давайте возьмем x=-1, которое не входит в этот промежуток. Если x=-1, подставив его в исходное неравенство, получу -1≤1, т.е. я получил еще одно частное решение исходного неравенства -1. Если подставлю:

x=-2

1/-2≤1, тоже верное числовое равенство. Значит, я второе решение потерял, -2, ну и т.д. и между ними, оказывается, я потерял бесчисленное множество решений. Ну где же я ухитрился так неправильно решить неравенство, какой-то математический закон явно я нарушил.

 

Итак, что же получилось? Простейшее неравенство 1/x≤1 решили, и оказываются грубейшие ошибки. Как их не допустить? Значит, надо следить за эквивалентностью преобразований, в том числе математическими законами. Вспомним, обе части неравенства можно умножить на положительное число. Ну например: 3>1 (2); 6>2 и не изменится знак неравенства. Обе части неравенства можно умножить на отрицательное число 3>1 умножим на (-1), но свойства числовых неравенств говорят, что можно это сделать, но знак неравенства надо изменить -3<-1. Но что же мы сделали? Мы обе части неравенства 1/x≤1 умножили на x, не зная знака этого выражения, ведь x может принимать как положительные значения, и тогда мы часть решения найдем. Но x может принимать и отрицательные значения, и тогда мы получим то, что мы получили – грубейшую ошибку.

            

    Итак, еще раз вспомним важнейшее правило: можно ли обе части неравенства умножить на отрицательное число? Можно. Но при этом знак, смысл неравенства меняется. Значит, вывод: обе части любого неравенства нельзя умножать на x, если знак этого x не известен. Т.о. мы подтвердили важность эквивалентных, равносильных преобразований. Давайте вспомним, что это за равносильные, эквивалентные преобразования, и продемонстрируем их на конкретном примере.

                2-2x>4, правила простые и ясные:

 

1. Любой член неравенства можно перенести в другую сторону с противоположным знаком, равносильность, эквивалентность не нарушится.

2-2x>4 <=> -2x>4-2 <=> -2x>2

Знак поменяли, эквивалентность не нарушилась, о чем мы говорим вот таким знаком <=>. Но нам нужен x.

2. Второе правило нам говорит, что обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, при этом знак неравенства изменится.

3. И еще одно правило: обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число, и знак неравенства не изменится.

 

                Вот, оказывается, простейшие правила, которыми мы постоянно пользуемся, они имеют глубокий смысл и позволяют эквивалентными преобразованиями решать неравенства. Ну теперь исходное неравенство имеет вид: -2x>2, давайте обе части неравенства умножим на (-1):

-2x>2 <=> 2x<-2. Знак неравенства изменится, т.к. мы умножаем на (-1) и воспользовались соответствующим правилом. А теперь обе части неравенства можно разделить на положительное число 2. Знак неравенства не изменится. -2x>2 <=> 2x<-2 <=> x<-1. 2-2x>4 – вот было исходное неравенство, x<-1 – вот его ответ, но подчеркнем, здесь бесчисленное множество решений. Все эти решения образуют целый луч.

Бесчисленное множество решений, и в процессе решений мы не потеряли ни одну каплю из этого множества и не приобрели ни одну каплю. Т.к. мы пользовались равносильными, эквивалентными преобразованиями, то мы получили правильный ответ.

Еще один пример, чуть посложнее    a(a-2)-a2>5-3a. Решить неравенство. Делаем стандартные преобразования: раскрываем скобки, получаем равносильное неравенство, которое потом упрощаем, т.е. приводим подобные члены, a2 сокращается, -3a переносим, меняя знак.

a(a-2)-a2>5-3a <=> a2-2a-a2 >5-3a <=> 3a-2a>5 <=> a>5.

Итак, a(a-2)-a2>5-3a – исходное неравенство, a>5 – его решение. Мы пользовались только эквивалентными, равносильными преобразованиями и получили ответ, который и не надо проверять. Вот в неявном исходном неравенстве содержалось множество его решений, содержалось. Вот мы его нашли.

                Следующий пример, решить неравенство    5y2-5y(y+4) ≥ 100.

 

                Итак, мы уже договорились, что любые неравенства, в том числе и простейшие которые мы сейчас рассматриваем, решаются только эквивалентными преобразованиями. Выполняем, раскрываем скобки, приводим подобные члены, далее сделаем подробно, чтобы еще раз прочувствовать, какие же преобразования можно считать эквивалентными. Во-первых, обе части неравенства разделим на (-1), при этом знак неравенства меняется на противоположный. Следующее правило говорит, что обе части неравенства можно разделить на положительное число, нам здесь удобно на 20, чтобы освободить искомый y.

5y2-5y(y+4) ≥ 100 <=> 5y2-5y220y ≥ 100 <=> -20y ≥ 100 <=> 20y ≤ -100 <=> y ≤-5

Вот у нас было исходное неравенство 5y2-5y(y+4) ≥ 100, вот его ответ y ≤-5.

Таким образом, мы рассмотрели основные понятия, связные с неравенством, вспомнили, что значит «решить неравенство», что такое «общее решение неравенства», вспомнили, что неравенства можно решать только эквивалентными преобразованиями, и выяснили, что же это за эквивалентные преобразования.

Следующий пример чуть посложнее. Решить неравенство:

X+7/4 > 5+4x/3 <=> ???

 

Снова решаем только эквивалентными преобразованиями, перенесем все в одну сторону и приведем все к общему знаменателю, т.е. из дроби надо вычесть дробь. Ищем общий знаменатель, дополнительные множители, в знаменателе у нас стоит положительное число, обе части можно умножить на знаменатель и получить только числитель. Далее нам приходится разделить на отрицательное число. Это сделать можно, если знак неравенства изменить на противоположный:

х+7/4 > 5+4x/3 <=> х+7/4 - 5+4x/3 > 0 <=> 3x+21-20-16x >0 <=> -13x+1>0 <=> -13x>-1 <=> x<1/13

 

                Итак, мы продемонстрировали решение некоторого количества примеров эквивалентными преобразованиями, только ими, и только ими можно решать неравенства.

                Далее, мы говорили, что линейные неравенства, это неравенства вида ax+b>0, но это неравенство линейное тесно связано с линейной функцией. В левой части стоит y=ax+b. Мы знаем график линейной функции, мы знаем, где она положительна, где отрицательная, и поэтому с помощью графика линейной функции мы можем решить неравенство. Ну, например. Решить неравенство:

                2x+1>0, рассмотрим линейную функцию y=2x+1, построим ее график, вспомним смысл каждого коэффициента в этой линейной функции. При x=0, y=1, вспоминаем, что свободный член 1, это ордината точки пересечения графика с осью OY. Вторая точка. Составим таблицу:

Вот мы построили график функции и видим, что эта функция сохраняет знак: на одном интервале отрицательный, а на втором интервале – положительный. Но смотрите, как это хорошо для решения неравенства. Ведь нам надо найти те x, при которых функция положительна. Положительная функция, при всех значениях больше -1/2. Ответ: x>-1/2.

                Таким образом, выясняется, что линейная функция разбивает всю область определения на два больших луча. В одном луче она отрицательна, в другом луче она положительна, и, следовательно, решение неравенства у нас как на ладони.

                Ввиду этого сделаем еще один пример.

                Решить неравенство: -3x+6>0. Давайте снова решим с помощью линейной функции. Во-первых, рассмотрим функцию y=-3x+6 и построим ее график с помощью таблицы:

Значит, корнем этой функции является 2. Эта функция сохраняет свой знак (-∞; 2), и она положительна. И она также сохраняет свой знак (2; ∞), и при всех этих она отрицательна. Ну, вот так хорошо ведет себя функция. И теперь возвращаемся к неравенству и читаем, что нам нужны те x, при которых функция положительна. И получим ответ, запишем его в виде промежутка (-∞; 2).

 

                Итак, мы рассмотрели основные положения, которые нужны для решения неравенств, вспомнили, что такое неравенство, что такое частное решение, что такое общее решение, что такое эквивалентные преобразования, т.е. это те преобразования, которые не искажают множества решений. На конкретном примере увидели, какую грубую ошибку можно сделать, если не следить за эквивалентностью. И, наконец, рассмотрели решение линейных неравенств с помощью эквивалентных преобразований или с помощью графика линейной функции.