Квадратным называется неравенство вида: ax2+bx+c>0, где a≠0. Если бы a=0, квадрат бы пропал и мы получили бы линейное неравенство. Наша цель сейчас – квадратное неравенство. Вспомним терминологию, что здесь есть что:

х – независимая переменная, нужно найти все х, при которых неравенство выполняется, множество всех х, не пропустить ни одного.

a, b, c – это конкретные числа или параметры;

ax2+bx+c – это квадратный трехчлен;

y=ax2+bx+c – квадратичная функция.

Решение квадратного неравенства целиком основано на свойствах квадратичной функции. Вспомним, изучим, прокомментируем эти свойства при решении конкретных примеров.

                a) x2-x+1≥0

                x2-x+1<0, неравенство первое и второе. Квадратичная функция одна и та же. Решение. Рассмотрим функцию y=x2-x+1, построим и прочтем ее график. Графиком функции является парабола, шаблоном этой параболы является парабола y=x2, ну и она куда-то сдвинута.

Итак, первый способ построения этой параболы:

1) найдем х вершину: xв=-b/2a= x1- x2/2; где a=1, b=-1, с=1.

Находим вершину параболы: xв=-1/2*1=1/2.

2) для y есть формула. Подставим x вершины и вычислим: yв=y(1/2)=1/4-1/2+1=(1-2+4)/4=3/4.

Итак, координаты вершины найдены:

xв=1/2

yв=3/4

можно схематически нарисовать график этой функции (преподаватель рисует).

 

Ось х, xв=1/2 найдена, yв=3/4 – число положительное. Стало быть, точка имеет координаты (1/2;3/4). Вершина зафиксирована. Парабола направлена ветвями вверх, т.к. старший коэффициент положительный. Вот таким образом идет парабола. Это график изображен схематически вот этой функции y=x2-x+1. Ну давайте прочтем его, функция, во-первых, определена, как любая квадратичная функция при всех х (-∞;∞), но эта функция при всех х положительная. Т.е. основное свойство заключается в том, что x2-x+1>0 при всех хЄR. Любое значение пусть принимает х, y всегда будет положительным. Более того, он будет ≥3/4. Этого нам вполне достаточно, чтоб решить первое и второе неравенство. Значит, x2-x+1≥0 <=> хЄR, x2-x+1<0 – график нам наглядно иллюстрирует свойство функции, говорит о том, что эта функция всегда ≥3/4, уж тем более >0, и никогда она <0 быть не может. Значит 2-ое неравенство, x2-x+1<0, нет решения или x2-x+1<0, хЄ , принадлежит пустому множеству, в нем нет ни одного элемента. Таким образом, мы рассмотрели два. Наша цель – вспомнить, как решаются квадратные неравенства. Мы сказали, что это легко сделать с помощью графика, и вот первый случай, когда график не пересекает ось х.

                б) вторая группа неравенств:

                x2-2x+1>0

                x2-2x+1≤0.

Решить два таких неравенства. Ну, естественно, как и в первом случае, мы рассмотрим функцию y= x2-2x+1 и попытаемся построить ее график. Попытаемся найти дискриминант Д или четверть дискриминанта: Д/4=0, убеждаемся, что дискриминант равен 0. Это означает, что x?=x?= xв (корни совпадают). Ну это понятно, если мы сразу заметим, что y=x2-2x+1 – полный квадрат, т.е. (x-1)2. График функции – это xв=1, ветви параболы направлены вверх (преподаватель рисует параболу). Читаем этот график: на промежутке (-∞;1) функция положительная, на промежутке (1;∞) функция тоже положительная. И только при х=1 функция равна 0.

x=1

y=0

 

И этого достаточно, чтобы решить предложенное неравенство. Решаем:

x2-2x+1>0 <=> х≠1

x2-2x+1<0, меньше 0 функция не может быть, это полный квадрат, квадрат всегда ≥0, поэтому только в одной точке неравенство удовлетворяется, когда х=1. Решением неравенства является единственная точка х=1.

Итак, в первом случае у нас кривая не пересекала ось х, во втором случае кривая касается оси х, т.е. если в первом случае Д<0, то здесь Д=0. И наконец рассмотрим примеры для третьего случая, когда Д>0.

в) x2-x-6>0

x2-x-6≤0. Итак, мы уже на предыдущих примерах поняли суть методики решения квадратных неравенств. Надо построить график квадратичной функции y=x2-x-6, ну, конечно, график нужно построить схематически. Давайте найдем корни этой функции y=0, и или с помощью теоремы Виета, или через дискриминант найдем корни. 

x1x2=-6                                                                                                                 

x1+x2=1 <=> попытаемся подобрать эти корни и увидим, что x1=3, x2=-2, повторяю либо через теорему Виета, либо через дискриминант мы находим корни, далее строим схематически график этой функции (преподаватель рисует параболу), ось х, один корень х=-2, второй корень 3, ветви параболы направлены вверх, старший коэффициент положительный, вот так идет график вот этой функции y=x2-x-6.

Итак, построили график и в соответствии с методикой читаем его. Видим, что на промежутке (-∞;-2) до первого корня функция положительная, на промежутке от второго корня (3;∞), функция тоже положительная. Вот при всех х, которые расположены на этих лучах функция положительная, график функции находится над осью х. А внутри интервала корней (-2;3) функция отрицательна. А в точках (-2) и 3 функция равна 0. Ну вот этих свойств вполне достаточно для того, чтобы решить вот эти неравенства. Итак, первое неравенство, где же наша функция >0, x2-x-6>0 <=> при х<-2Uх>3. Второе неравенство x2-x-6≤0, знаки функции у нас налицо, функция отрицательна при х, расположенных внутри интервалов корней x2-x-6≤0 <=> -2≤х≤3.

Итак, мы решили и продемонстрировали методику решения квадратных неравенств для трех важнейших случаев:

 

1) когда нет корней;

2) когда единственный корень;

3) когда два корня.

Ну вот, когда два корня мы еще раз сформулируем важнейшее свойство квадратичной функции. Свойство квадратичной функции таково, что функция сохраняет свой знак вне интервала корней, этот знак один и тот же что на этом луче, что на этом. Функция сохраняет свой знак внутри интервала корней. Функция меняет свой знак при переходе аргумента через корень. Вот эти простейшие и известные свойства функции мы повторили, и, как видим, они лежат в основе решения квадратных неравенств.

Итак, продолжим тренировку, чтобы освоить методику вычисления квадратных неравенств. Решить неравенство:

а) 3x2-x-2≤0

б) 3x2-x-2>0, мы знаем, что первым действие надо построить эскиз графика функции y=3x2-x-2. Приравняем к 0 и найдем корни. Но корни часто можно угадать. Ну вот здесь напрашивается корень х1=1, 3-1-2=0, т.е. один корень угадан. Это облегчающее обстоятельство, если один корень угадан, как-то мы его нашли, то 2-ой корень найдем с помощью теоремы Виета. x1x2=-2/3, если мы знаем один корень, то второй х2=-2/3. В данном случае и не такие страшные коэффициенты, можно было и без угадывания, но бывают страшноватые коэффициенты и такой прием резко облегчает вычислительную работу. Итак корни найдены, строим график функции. Функция пересекает ось х в точке -2/3 и в точке 1, ветви параболы направлены вверх, (преподаватель рисует параболу), вот график функции. Читаем этот график, мы уже знаем, что функция сохраняет свой знак вне интервала корней (вне интервала корней функция положительна, ветви расположены над осью х). Внутри интервала корней функция отрицательная. Ну, тогда мы выписываем решение и 1-го и 2-го неравенства. Итак, решение 1-го неравенства: 3x2-x-2≤0 <=> х ? (-2/3;1), концы включаются, почему, потому что неравенство не строгое, равенство тоже допускается. Итак решили неравенство а, давайте решим неравенство б. Нужно найти все х, при которых функция строго >0. Это все х, расположенные вне интервала корней,

б) 3x2-x-2>0 <=> х ? (-∞; -2/3) U (1; ∞)

 

                Итак, мы продемонстрировали на еще одном примере методику решения квадратных неравенств. Ну, это одна из методик. Здесь мы увидели, что корень можно легко угадать и это нам облегчило жизнь, но не намного в иных случаях это существенно. Ну, вот давайте рассмотрим такое неравенство:

                1999x2-2x-1997<0, решение, можно ли здесь угадать какой-нибудь корень? Конечно можно, это очевидно если х=1, то 1999-2-1997=0 (все коэффициенты уравновешиваются и в сумме дают 0). Итак, один корень угадан. Как найти второй корень? x2=-1997/1999 (с умноженное на а). Корни найдены, а следовательно можно построить эскиз графика функции у=1999x2-2x-1997 (преподаватель рисует параболу). 1-ый корень -1999/1999, 2-ой корень 1. График функции – это парабола, ветвями вверх. Читаем этот график и видим: что функция вне интервала корней положительна, внутри интервала корней она отрицательная. Нам нужно те х, при которых функция отрицательна. Выписываем ответ х ? (-1997/1999; 1). Ну, конечно здесь много сопутствующих задач, ну например одна из них, найдите целое решение данного неравенства, но если мы умеем найти все решения данного неравенства, то посмотреть, какие из них целые вообще то труда не составляет , ни один из корней не являются решением неравенства. Вот стоит число 0, оно целое, оно является решением неравенства. Следующим хотелось ты рассмотреть число (-1), но оно за пределами интервала, т.е. единственным числом целым, которые удовлетворяет неравенству, является 0, х=0.

 

                Ну, и наконец, квадратное неравенство, бывают неполные. Вот, одно из них:

Х2≥4, по разному можно решать это неравенство. Наша цель освоить соответствующую методику. Эквивалентными преобразованиями мы напишем:

Х2≥4 <=> Х2-4≥0, рассмотрим функцию у=Х2-4=(х-2)(х+2), корни функции у=0, при х=±2. Строим график функции (преподаватель рисует параболу), корни -2 и 2, ветви вот этой параболы направлены вверх, снова читаем график – видим, вне интервала функция сохраняет свой положительный знак, внутри интервала корней, функция сохраняет свой отрицательный знак. Нам нужно те х, при которых функция будет больше либо равна 0. Вот они. Соответсвтвующий ответ запишем в виде неравенств: -2≤х≤2.

              

  Итак, мы рассмотрели квадратные неравенства, методику их решения и проиллюстрировали ее на различных примерах, конечно, закрепить все это надо, решив соответствующие задачи, которые прилагаются.