Рациональные неравенства - решение квадратных и линейных неравенств (9 класс)

 

 

Итак, линейное неравенство (ах+в>0) решается двумя способами либо эквивалентными преобразованиями, либо с помощью графика функций.

Напомним, как решаются с помощью графика функций на следующем примере: (2х+1>0), вот надо решить такое неравенство, не хочу решать с эквивалентным преобразованием, я хочу воспользоваться свойствами линейной функции, а при решении квадратных неравенств использует свойство квадратной функции квадратичной функции.

 

Итак, построим график функций (у=2х+1), это прямая пересекает ось У в точке 1, пересекает ось Х в точке (-1/2), вот график функции. Корень функции разбивает всю ось на два различных промежутка. В чем разница? В том, что при всех Х, на первом промежутке функция отрицательна, на втором луче функция положительна, но это достаточная информация, чтобы решить любое линейное неравенство, где присутствует функция (2х+1).Вот нам нужно найти те Х, при которых функция больше 0, так просто выписываем это решение, и все (Х>1,2).

 

Таким образом, и линейные неравенства эффективно решаются с помощью интервалов, на котором функция сохраняет знак. А, подчеркнем, линейная функция сохраняет знак до корня и сохраняет знак после корня. Значит, решением линейного неравенства, как правило, является луч, положительно направленный / отрицательно направленный, вершина луча включается / не включается – это уже второй вопрос, но во всяком случае, как мы видим, специфика линейного неравенства в том, что решение его есть луч.

Квадратное неравенство (ax2+вх+с≥0) решается с помощью свойств квадратичной функции (у ax2+вх+с), пометим, что коэффициент а не равен 0. Иначе функция не была бы квадратной. Если мне сказано слово «квадратичная функция», то, значит, смело могу писать, что а≠0. Но вообще-то, свойства квадратной функции нам известны, но мы еще раз их перечислим с помощью рассмотрения некоторых случаев.

А пока что решим конкретный пример, чтобы перейти к конкретным случаям.

 

Итак, решить неравенство (х2-х-12≤0). Итак, вот квадратичная функция (у=х2-х-12) схематичнее строим график, для чего сначала находим корни. Произведение корней для этой функции (-12), сумма корней для этой функции (-1) значит, х1=4, х2=-3. Проверяем: произведение корней (-12 ), сумма корней – 1 с обратным знаком.

 

Корни найдены, (преподаватель рисует). График функции (-3), (4), ветви параболы вверх, всегда можно озаботится тем, что бы старший коэффициент был больше 1. Ветви параболы вверх. Еще раз читаем график функции, функция сохраняет знак вне интервала корней и сохраняет знак внутри интервала корней. Много раз мы повторяли, это важнейшее свойство, вот оно здесь полностью дает решение неравенства. Нам нужны те х, при которых функция меньше 0, это все х, которые расположены внутри интервала корней, единственное следует решить: а границы надо включать или не надо? Надо! Почему? Потому что равенство допускает поэтому решение неравенства (-3≤х≤4), вот неравенство, вот его решение.

Итак, мы вспомнили конкретное неравенство и конкретное его решение.

Теперь давайте рассмотрим квадратичную функцию и ее свойства в общем виде. И для этого нам придется рассмотреть несколько случаев.

 

Вот первый случай. Дискриминант >0 и старший коэффициент >0, (Д>0; a>0) функция имеет вид (у=ах2+вх+с), мы хотим подготовиться к различным задачам, то есть свойства функций нам вот в разных ситуациях свойства квадратной функции нам должны быть знакомы. Если дискриминант больше 0, то это означает, что х1≠х2, что есть корни х1≠х2. Если a>0 старший коэффициент, то ветви направлены вверх (преподаватель рисует.) Вот график функций, в этом первом случае интервалы знака постоянства – вот они. Функция вне интервала корней имеет один знак, внутри интервала корней другой знак. Что можно сказать про саму функцию, если дискриминант больше 0, это, во-первых, означает, что она разлагается на линейные множители (а(х-х1)(х-х2)), во вторых, раз есть корни, то справедлива прямая обратная теоремы Виета, выпишем ее: (х1х2=а/с) (х1+х2=-b/а), все это характеристика функции вот для этого случая. Дискриминант больше 0, старший коэффициент больше 0. Вершина x вершины вычисляется по формуле (хв=(х1+х2)/2), корни здесь есть, можно вычислить по этой формуле, а можно и по общей формуле (хв=(х1+х2)/2=-b/2a). А как же найти у вершины? А у можно, конечно, и формулу соответствующую вспомнить, можно подставить вот сюда и написать, что это у от х вершины, и сделать соответствующие вычисления, то есть вот вершина имеет две координатки – х вершина, у вершина.

 

Стандартные задачи на этот случай какие? Ну, во-первых, неравенства мы же решаем неравенства в общем виде (ах2+вх+с≥0), первый вариант, надо выписать его решения. И противоположное неравенство (ах2+вх+с<0), вот два неравенства на этот случай.

 

Функция > или равно 0 где? Вне интервала корней. Как записать решение? Например, так: (х≤х1Uх≥х2), вот при всех значениях этого аргумента функция положительна. Это решение неравенства в общем виде. Решение второго неравенства. Функция отрицательна где? Внутри интервала корней. Как записать (х1<х<х2)? Ну и чтобы еще полнее охарактеризовать свойства функции, давайте найдем множество ее значений.

Множество значений функции есть луч от у вершины и положительно направлен, вот множество значений функции. Значит, у≥ув. А сам ув положительная или отрицательная? ув<0. Ну и последняя точка, что это за точка пересечения с осью у. Ее легко найти: надо х, равное 0 подставить, и увидим, что это точка с координатами (0;С). Вот таким образом выглядят свойства нужной нам квадратичной функции в первом важном случае. Дискриминант больше 0, и старший коэффициент больше 0.

Рассмотрим второй важный нам случай. Дискриминант равен 0, а а по прежнему больше 0. Как себя вести будет квадратичная функция и какие будут решения неравенств в общем виде для этого случая? Если дискриминант равен 0, что это обозначает? Это обозначает, что (х1) равен (х2), равен х вершины и равен b на 2а – это х вершины.

Д=0 => х1=х2=хв=-b/2a

а>0

 

Наша квадратичная функция в этом случае (ах2+вх+с), как и в предыдущем случае, раскладывается на множители, но теперь сворачивается в полный квадрат, ведь корень одинаковый, то есть получается (а(х+в/2а)2), и если у нас а>0, то функция ≥0 всегда.

Как на графике это выглядит? Парабола касается оси х и ведет себя следующим образом. Вот график этой функции. Ну охарактеризуем ее: во-первых, она положительна почти везде и только в одной точке она равна 0, поэтому решение неравенства выглядит следующем образом: (ах2+вх+с>0). Первое стандартное неравенство в общем виде.  (ах2+вх+с≤0) тоже в общем виде. Если у нас есть график, мы умеем его считать, знаем свойства функции, то в общем виде выпишем решение неравенства. Функцией мы обладаем почти везде положительной, кроме одной точки, в этой точке она равна 0. а требуется больше нуля, значит, все х, исключая х вершины: ах2+вх+с>0=>х≠-b/2a

 

А где функция меньше 0? Нет таких х, при которых функция меньше 0. И только в одной точке она равна 0, вот эта точка и является решением: ах2+вх+с≤0=>х=-b/2a

Итак, стандартное неравенство квадратное, а это наша цель, мы выписали. Но продолжим исследование. Теперь какие же значения y будет принимать? Нарисуем ось У. Множество значений функции – это все неотрицательные числа, вот здесь написано у≥0. Ну основные свойства функции здесь сказаны. Осталось только для полноты найти вот эту точку пересечения с осью У. Когда х=0, по-прежнему это точка с координатами (0;С).

 

Ну и, наконец, третий случай, для того же а>0. Мы рассмотрели Д, дискриминант больше 0, дискриминант равен 0, теперь дискриминант меньше 0, мы, конечно, с такими примерами встречались, но мы хотим охарактеризовать этот случай в общем виде.

Д<0 – нет корней, нельзя разложить на множители и не действует теорема Виета.

а>0

 

Ну если дискриминант меньше 0, то нет корней.

Что же можно сделать с функцией тогда (ах2+вх+с), можно ли его разложить на множители, справедлива ли для него теорема Виета? Нет. Значит, все же напишем, то есть нельзя разложить на множители и не справедлива, не действует теорема Виета. А что же можно? А можно основную операцию сделать – выделение полного квадрата. Вся теория квадратного трехчлена начинается с выделения полного квадрата. Выделение полного квадрата здесь есть. Ну схематичнее нарисуем график. x вершины вычисляется по формуле (хв=-b/2a), а yвершина здесь величина положительная, то есть парабола имеет координаты (хв; ув), а сама парабола направлена ветвями вверх, вот график вот этой функции вот в этом случае.

Стандартная задача (ах2+вх+с>0) и трехчлен (ах2+вх+с≤0). Укажем типовую ошибку в этом случае: решая квадратное уравнение, мы обнаруживаем, что нет корней у квадратного трехчлена, у функции, и пишем, что неравенство не имеет решения. Это грубая ошибка. Нет корней у уравнения, а что же является решением неравенства? Да любое число: хЄR, при любом x функция положительна. Поэтому корней нет у уравнения, это понятно, почему дискриминант равен 0. Но решением неравенства является действительное число. При любом действительном xфункция положительна. Решение выписали: ах2+вх+с>0<=>хЄR

А где же решение второго неравенства? Ну если функция всегда положительна, то она не может быть равна 0 и не может быть отрицательна, значит, здесь пишем «Нет решений» или, если знаем, значок пустого множества – хЄφ. Ну и последнее, что можно сказать про этот случай, это множество значений функций. Вот у нас У вершина. Функция принимает все значения больше y вершины, значит в этом случае y≥yв.

Итак, мы рассмотрели три случая, когда а>0. Но для самостоятельного освоения, более глубокого освоения свойств квадратичной функции очень рекомендуется рассмотреть случаи, когда а меньше 0. А какие?

а меньше 0, дискриминант больше 0), построить график и решить стандартными номерами. Далее: (а меньше 0, Д равно 0). И, наконец, третий случай: (а меньше 0, но Д меньше 0). Построить соответствующие графики и расписать как минимум решения стандартных неравенств.

а<0          а<0          a<0

д>0         д=0          д<0

 

Мы рассмотрели подробно свойства квадратичных функций, они лежат в основе решения неравенств квадратичных, а также стандартных и нестандартных задач повышенной сложности. Рассмотрим некоторые из них.

 

Первую нестандартной назвать нельзя, но все же надо получить неравенство. До сих пор неравенство нам было дано.

Итак, дана функция:

F(x)=1/√-х2-х+2, задача – найти область определения данной функции.

Решение: область определения данной функции задается неравенством (-х2-х+2>0). Почему? Потому что трехчлен стоит под корнем и, во-вторых, в знаменателе, поэтому он должен быть положительным. Нам не нравится, что старший коэффициент отрицательный. Но можно умножить все на -1. Это будет эквивалентное преобразование, если изменим знак неравенства.

Получим (х2+х-2<0), ну и рассмотрим такую функцию. Осталось найти корни. По теореме Виета мы сразу находим, что первый корень -2, а второй - 1. Либо по теореме Виета, кто ее уже освоил. А ее очень рекомендуется освоить. Либо через дискриминант. Произведение корней -2. Сумма корней с противоположным знаком.

 

Далее график этой функции. Ось х. -2 выкалывается, неравенство строгое. 1 выкалывается, потому что неравенство строгое. Это график какой функции? Это график вот этой функции. Читаем график этой функции: вне интервала корней один знак, внутри интервала корней другой знак. Именно тот, который нам нужен.

Ответ. Областью определения исходной функции, то есть множеством решения вот этого неравенства, есть промежуток от -2 до 1. Таким образом, мы видим, что многие решения сводятся к решению квадратного неравенства.

 

И в заключении решим так называемую задачу с параметром.

Дано уравнение с параметром (3х2-2рх-р+6=0). Спрашивается: при каких значениях параметра р данное уравнение имеет два различных корня, имеет один корень и не имеет вообще корня.

Если р принимает конкретное значение, мы имеем конкретный квадратный трехчлен. Конкретное обозначение дискриминанта – это значение может быть больше 0, равно 0 и меньше 0 со всеми вытекающими отсюда последствиями. Поэтому давайте составим дискриминант. Составим дискриминант или четверть дискриминанта, потому что старший дискриминант легко делится на 2. И он нам все расскажет о корнях: когда будут корни, когда не будут корни и сколько их.

1/4Д=р2-3*(-р+6), значит, просто по стандартной формуле мы либо дискриминант, либо четверть дискриминанта вычисляем. Половина коэффициента в квадрате –а на с. Упрощаем:

1/4Д=р2-3*(-р+6)=р2+3р-18

Итак, рассмотрим четверть дискриминанта:

F(x)=р2+3р-18, это квадратный трехчлен. Он имеет корни, но в произведении а на с величина отрицательная. Найдем их:

р1р2=-18

р1 + р2=-3

Откуда р1 и р2 подбираются, один из них равен -6, а второй равен 3. Произведение корней 18, сумма корней -3, как положено.

Рассматриваем ось р и график функции на этой оси -6 и 3. Вот это f(p), которая есть четверть дискриминанта. Мы изучаем эту функцию как любую функцию квадратную. Она вне интервала корней сохраняет положительный знак, внутри интервала корней сохраняет отрицательный знак, и при двух интервалах она равна 0. Ответ по существу налицо. Нас спрашивают, при каких значениях р уравнение имеет два различных корня, имеет один корень и не имеет корней.

Так вот два различных корня она имеет тогда и только тогда, когда дискриминант – положительное число. Напишем, что уравнение имеет два различных корня при р<-6 и р>3. То есть при любом значении р из двух этих лучей дискриминант положителен, следовательно, уравнение имеет два различных корня.

1)      Два корня при р<-6Uр>3.

Далее нас спрашивали, когда имеет единственный корень. Пожалуйста, единственный корень уравнение имеет при р=-6 и при р=3, вот если р=3, то мы имеем только один корень, равен -6, только один корень.

2) Единственный корень при р=-6, р=3.

И, наконец, нас спрашивали, при каких р это уравнение вообще не имеет корней. Корней нет, когда дискриминант меньше 0. Вот при этих р дискриминант меньше 0. Значит, напишем: нет корней при р?(-6;3).

3) Нет корней при р?(-6;3).

 

Итак, мы подробно рассмотрели решение линейных квадратных неравенств, продолжили рассмотрение, более углубленно рассмотрели свойства, нужные нам свойства квадратичной функции и видим, что с их помощью решаются не только стандартные задачи, но и некоторые задачи повышенной сложности, чтобы это освоить предлагаются аналогичные задачи для самостоятельного решения.