Глава 2. Рациональные неравенства, урок №1 метод интервалов. Рациональное неравенство с одной переменной – это неравенство вида f(x)>0, f(x)<0 и т.д., где f(x) – это рациональное выражение. Т.е. выражение составлено из чисел, степеней, с помощью операций сложения, умножения, деления, возведения в степень. Эффективным приемом, методом решения рациональных неравенств является метод интервалов. Изложим его на таком примере:

 

                Решить неравенство: (x-4)(x-2)(x+2)>0. Небольшой комментарий: до сих пор мы рассматривали линейные неравенства, квадратные неравенства, а здесь на самом деле стоит произведение трех скобок. Могут все эти скобки стоять и в числителе, и в знаменателе, могут стоять выражения, не разложенные на множители. Итак, задача, решить неравенство.

 

Первое действие в методе интервалов: рассмотреть функцию, стоящую в левой части, если в правой части 0. у=(x-4)(x-2)(x+2), когда мы ввели функцию, то о неравенстве можно на время позабыть. Далее мы изучаем свойства этой функции, а потом, как результат этих свойств, вытекает решение неравенства. В конце изучения вспомним о неравенстве.

 

Итак, первое действие – ввели функцию. Второе действие – найдем ее область определения (ОО), ну здесь не корня, нет дроби хЄR, т.е. при любом значении х функцию можно вычислить, напомним, что ОО – это множество всех тех х, при которых функция существует или имеет смысл. Ну а что такое существует или имеет смысл? Это значит ее можно вычислить. Так вот эту функцию можно вычислить при любом х. Итак, второе действие – ОО функции, значит, все события будут развиваться на всей оси х. Третье действие – корни или нули функции, т.е. решение уравнения у=0, напомним, что корнем или нулем функции называется такое значение х, при котором функция обращается в ноль. Если (x-4)(x-2)(x+2) приравнять к нулю, то получим х=4, когда обнуляется первая скобка, когда х=2, когда обнуляется вторая скобка, и при х=-2, когда обнуляется третья скобка. Но что такое 2, -2, 4 – это корни каждого множителя. Вообще то, понятно, что корни каждого множителя (это линейная функция) сохраняют свой знак до корня и после корня. Вот этот множитель линейной функции сохраняет знак до корня и после корня, т.к. произведение множителей сохраняет знак внутри этих корней, так, видимо, надо выделить интервалы знакопостоянства всех множителей, т.е. самой функции, и тут уже недалеко до решения неравенства. Четвертое действие – интервалы знакопостоянства. Для этого на оси х наносим все точки, в которых хотя бы один множитель может изменить знак – это точки -2, 2, 4, выделить интервалы знакопостоянства, вот они:

(преподаватель строит интервалы  – график)

нужно ли их так обозначать, вот такими крышами, ну, конечно, нет, необязательно, но нам сейчас важно их увидеть. Вот я увидел первый интервал (-∞;-2) и т.д.

 

Пятое действие – определить знак функции на каждом интервале. Это можно сделать двумя способами: метод пробной точки, т.е. я найду значение функции в какой-либо удобной для меня точке вот первого интервала, например у(5)=(5-4)(5-2)(5+2). Нам не нужно высчитывать конкретное число, нам нужно знать + или -, это +, больше 0: у(5)=(5-4)(5-2)(5+2)>0, значит в этой точке функция положительна, а значит, и во всех других точках этого интервала функция положительна, вот какое мощное заключение мы делаем, по знаку функции только в одной точке. Заключаем, что и во всем бесчисленном множестве точек этого интервала функция положительна. Далее при некотором навыке знаки мы автоматически расставим, они не всегда будут чередоваться, но в данном случае будут чередоваться. Все же определим знак функции на интервале (2;4), с помощью пробной точки, например, у(3)=(3-4)(3-2)(3+2)<0, но этого и следовало ожидать, т.к. 4 – это корень вот этого сомножителя, при переходе через сомножитель только этот сомножитель поменяет знак, все остальные знак сохранят. Аналогично действуя, найдем знак функции на каждом интервале. Вот это первый способ – способ пробной точки. Значит, здесь нужно какую-нибудь пробную точку искать, если я не умею, зная автоматические расстановки. Если пробная точка нужна и ее затруднительно найти, числа близко друг к другу расположены, то есть второй способ – табличный. Давайте один раз нарисуем эту таблицу. Заполним ее вначале значениями аргумента, на этих интервалах имеются три множителя, ну и есть сама функция:

Множитель (х-4) обнуляется в точке 4, а после 4 он положителен, а до 4 отрицателен. Вот мне легко определить знак функции каждого множителя, вот первого, второго множителя так же легко: второй множитель обнуляется в точке 2, после 2 он везде положителен, до 2 – отрицателен. И наконец, третий множитель (х+2), его корень (-2), в точке (-2) этот множитель равен нулю, до этого корня он отрицателен, после корня положителен. Итак, видите, я обошелся без пробной точки. Я знаю на каждом интервале знак каждого сомножителя, знак произведения тоже узнаю. Вот мы расставили знаки функции на каждом интервале вторым способом.

 

Итак, мы выписываем все действия.

И, наконец, шестое действие – проверить граничные точки, выписать ответ. Вот только теперь мы возвращаемся к неравенству. Что нам неравенство говорит? Я вот знаю знаки функции на каждом интервале. А мне нужны те х, при котором функция положительна, т.е. заштриховать для наглядности множества решений и вписать ответ.

Ответ: хЄ(-2;2)U(4;∞).

 

Еще раз повторяю, он заключается в следующем: мы выделяем функцию, тогда когда в правой части у нас 0, левая часть у нас полностью вычислена, упрощена, вот эту функцию мы принимаем и ее свойства изучаем ОО, интервалы знакопостоянства и знаки функции на каждом интервале. Итак, вот данное неравенство мы решили и получили ответ. Пользуясь вот сейчас интервалами знакопостоянства в этой функции, давайте мгновенно решим второе неравенство:

(x-4)(x-2)(x+2)≤0 <=> х≤-2 U 2≤х≤4

проделав все то же самое, выделяя интервалы знакопостоянства и определяя знак функции на каждом интервале, мы видим, что функция отрицательна, при х≤-2 U 2≤х≤4. Включаем ли мы здесь все концы? Включаем, потому что неравенство допускает равенство, оно не строгое.

 

Итак, мы рассмотрели метод интервалов и использовали только нужную нам информацию для решения данного неравенства. Ну, могут быть сопутствующие различные задания, задачи, т.е. найти наибольшее значение функции, найти наименьшее значение функции. Но одна из сопутствующих задач – это построить эскиз графика функции. Ну давайте мы хотя бы приближенно эскиз графика функции построим, т.е. построим кривую у=(x-4)(x-2)(x+2), довольно сложную кривую. Во-первых, это кривая проходит через вот эти точки. Во-вторых, если здесь функция отрицательная, а здесь положительная, то в окрестностях, т.е. недалеко от этой точки, функция проходит вот таким вот образом. А в окрестностях этой точки функция проходит вот так. Почему? Да потому что здесь положительная она, кривая находится над осью, а здесь отрицательная, значит, на этом промежутке функция вот так себя поведет (преподаватель рисует), а здесь функция себя поведет вот таким вот образом, т.к. с – на + , значит, на этом промежутке она себя вот так поведет. Конечно, все это потом можно вычислить табличкой с любой степенью точности, более того дальше мы будем иметь такое мощное средство исследования функции, как производную, так вот она нам покажет, какое самое большое и самое маленькое значение функции. Ну вот как дальше-то функция пойдет? Ну вот здесь она вверх пойдет или прижмется к чему-то, и уже понятно, что она пересечь ось х уже не может. Ну давайте почувствуем, что будет при х→∞, ну давайте с погрешностью возьмем, чему же равен y, пренебрежем, если х равен миллиону, миллиарду, постоянными слагаемыми пренебрежем, тогда:

х→∞

у≈ x3→∞

Мы будем привыкать, как использовать эту информацию для построения графиков. х в бесконечности, у – в бесконечности, как кубическая парабола.

А если:

х→-∞

у≈ x3→-∞, а как это использовать, да вот так, когда х стремится к -∞, у стремится к -∞.

 

Итак, мы видим, что данный метод позволяет не только решать неравенства, но и позволяет решать многие сопутствующие задачи.

При решении неравенств нас, конечно, подстерегают многие опасности, многие ошибки, но давайте на одну из них мы укажем, решив следующее неравенство.

(х+4)(х-2)2≤0.

 

Первое действие: рассмотрим функцию, стоящую в правой части, если справа 0: у=(х+4)(х-2)2 и забыли на время о неравенстве. Изучаем функцию.

2) ОО при хЄR

3) Корни функции у=0, когда х=-4, х=2, второй множитель обнуляется.

4) Выделить интервалы знакопостоянства функции (преподаватель строит интервалы – график), вот оказывается у нас интервалы.

5) Определить знак функции на каждом интервале. Попробуем здесь автоматически сделать. Вот у нас х на первом месте стоит, и когда х очень большой, то функция положительная, а вот изменится ли функция при переходе аргумента через 2, вот смотрите, здесь стоит (-2)2, под квадратом что -, что + это одно и то же, не изменится, но не верится. Проверим: давайте найдем у(0)=(0+4)(0-2)2=4*4>0, да не изменилось. А при переходе через (-4) изменится знак вот этого множителя, а значит, и всей функции и функция здесь будет отрицательная.

6) Необязательно штриховать, но для начала полезно, чтобы увидеть эти множества, заштриховать эти множества решений. Функция должна быть меньше либо равна нулю.

 

Ответ: (х+4)(х-2)2≤0 <=> х≤-4, ответ не верен. Стандартная ошибка. Каждый должен ее найти. И через секунду я говорю, в чем же здесь ошибка, типовая, потеря изолированного решения. Здесь нужно указать не только, когда функция меньше нуля, но и когда равна нулю. Она еще равна 0 при х=2, т.е.: (х+4)(х-2)2≤0 <=> х≤-4 U х=2. Вот эта потеря изолированного решения – стандартная, типовая ошибка, но чтобы ее избежать рекомендуется в этих случаях рассматривать, ведь нам нужно не только значение функции f(x)≤0 <=> f(x)=0 U f(x)<0, вот этот прием часто помогает избежать этой ошибки. Наглядно, чтобы увидеть эту ошибку, построим эскиз графика функции. Здесь функция отрицательная, здесь положительная, а здесь пересечет ось Х, значит, функция здесь пойдет вот так, а в другой точке она как пойдет? Здесь она (+) и здесь она (+), будет только касание, значит, функция пойдет вот таким вот образом. Ну а при х→∞, она тоже уходит в ∞. Вот приближенный эскиз графика функции наглядно показывает роль вот этой 2, здесь происходит касание, 2 – корень. При такой постановке задач – это изолированный корень, изолированное решение неравенства.

 

Итак, мы рассмотрели, перешли к рассмотрению рациональных неравенств, изложили метод интервалов, который является мощным методом решения разного рода неравенств, и для этого, для того чтобы его освоить, предлагается перечень задач, ну а далее мы продолжим решения рациональных неравенств на следующих уроках.