Решение рациональных неравенств методом интервалов, рациональные неравенства Напоминаю, мы решаем рациональные неравенства f(x)≥0, в прошлый раз вместо f(x) мы рассматривали функцию (х-а)(x-b)(x-c)≥0, вот такого типа у нас была функция. На примере такой функции, такого неравенства, мы подробно рассмотрели метод интервалов. И даже построили график функции, стоящей в левой части. Построили эскиз графика этой функции. Но в реальной жизни вместо f(x) могут стоять иные функции, например, дроби, дробно-линейные функции, дробно-квадратичные функции и т.д. Вот решение такого рода неравенств является целью нашего сегодняшнего урока.

                Итак, решим неравенство (х-1)(х-2)/(х-3)(х-4)≤0 (1). Значит, вместо f(x) стоит вот такая дробно-квадратичная функция. Почему? Дробь, в числителе квадратичная функция, и в знаменателе квадратичная функция. Ну, естественно, здесь у нас уже все есть, разложение на множители. На самом деле это просто нам повезло, а в реальной жизни то же самое неравенство может быть задано следующим образом, когда скобки будут раскрыты: х2-3х+2/х2-7х+12≤0. Ну после того как мы разложим на множители квадратные трехчлены, мы получим неравенство (1).

                Итак, решить неравенство, метод интервалов:

Первое действие: рассматриваем функцию f(x), стоящую в левой части, когда справа 0: f(x)= (х-1)(х-2)/(х-3)(х-4). И как мы говорили, на время забываем о неравенстве, а все внимание на функцию. Значит, свойства функции нам позволит найти бесчисленное множество решений данного неравенства.

Второе: итак, после того как мы разобрались с функцией, находим ее область допустимых значений, для чего знаменатель приравниваем к 0 и выкалываем соответствующие точки: х≠3, х≠4, иначе знаменатель будет равен 0

х≠3

х≠4

Итак, первое действие, функция, забыли про неравенство и изучаем функцию. Нашли ее область определения (ОО) или область допустимых значений, т.е. множество всех тех х, при которых функцию можно вычислить, т.е. когда она существует.

 

Третье действие: находим корни или нули функции. Т.е. решаем уравнение f(x)=0, для этого приравниваем к нулю числитель и выясняем: х=1 или х=2, т.е. при 1 и при 2 функция равна 0.

Четвертое действие: выделяем интервалы знакопостоянства функции, т.е. те интервалы, на которых функция сохраняет свой знак. Для этого наносим точку 1, 2, 3 и 4 на ось (преподаватель строит интервалы – график). Вот наши интервалы, их не обязательно дужками помечать. Если я их вижу, то не зачем мне их рисовать и помечать вот такими холмиками, дужками, но если я на первых порах их еще не вижу, не ощущаю, то лучше показать, вот они, один интервал (-∞;1), вот на нем функция сохраняет свой знак. А почему, кстати, функция на нем сохраняет свой знак? Ну объяснение такое, что первое: она непрерывная, но слово «непрерывная», довольно сложное для нашего понимания, мы просто говорим, что в конце концов функция – это 4 множителя, вот 1 – это корень первого множителя и до 1 все множители сохраняют свой знак. А после 1 только первый множитель изменяет свой знак, значит, изменяет свой знак функция. Ну, так или иначе, следующее действие.

 

Пятое действие: мы выделили интервалы знакопостоянства.

Следующее, шестое действие, находим знак функции на каждом интервале. Ну начнем с последнего интервала. Ну можно сделать так, пробную точку взять 1000, когда х=1000, то каждая скобка (+), значит, функция при всех х вот из этого множества точек интервала положительна, если мы ухитримся построить график функции или эскиз, то соответствующая часть кривой будет лежать над осью х. Вот сколько информации мы получаем исходя только из одной точки. Исходя из того, что функция знакопостоянная на этом интервале. Дальше можно взять любую пробную точку в каждом интервале и найти знак функции. При некотором навыке, а у нас уже есть этот навык, давайте мы выясним, что здесь функция изменит знак, когда аргумент перейдет через точку 4. Почему? Да потому что первый сомножитель изменит знак, ну если кому-то это еще кажется неубедительным, то, пожалуйста, в наших руках пробная точка и с помощью пробной точки определим знак на каждом интервале. Проверим знак функции вот здесь, на этом интервале. Возьмем точку 0. Здесь есть такая точка? Есть, значит: f(0)=(-1)(-2)/(-3)(-4)>0, все сходится. Итак, мы определили знак функции на каждом интервале. Ну, теперь пора вернуться к неравенству. Вот только сейчас нам неравенство потребовалось. Неравенство говорит: найдите те х, при которых функция ≤0, т.е. все х, при которых функция ≤0. Ну, во-первых, это точки 1 и 2, т.е. корни функции, в этих точках функция равна 0, меньше 0 она здесь, и меньше 0 она здесь. Ну, опять штриховать нужно или не нужно? На первых порах полезно, что именно эти интервалы мне нужны. И вот сейчас я запишу ответ для вот этого исходного неравенства. Ответ, как мы в прошлый раз говорили, можно писать в двух формах: в форме неравенств и в форме интервалов. Надо знать и так, и так. Нам предпочтительнее писать в форме неравенств, потому что потом, когда будем решать сложные неравенства, эта форма нам потребуется. х находится между 1 и 2, причем, включая концы, а также между 3 и 4: 1≤х≤2U3<х<4. Вот такая форма записи говорит, что все х, которые расположены вот на этом интервале, включая концы и все х, которые расположены на втором интервале, они являются решениями данного неравенства, и других нет, других решений нет.

 

                Итак, сформулирована задача, дробно-квадратичное неравенство, дробно-квадратичная f(x), стандартный метод интервалов нам дал полный ответ. Ну и, конечно, возможны сопутствующие задачи. Вот некоторые из них:

1) Найдите наименьшее решение неравенства. Во-первых, существует ли оно? Да, существует х=1, наименьшее решение неравенства.

2) Найдите число натуральных решений. Во-первых, хорошо бы вспомнить, какие числа называют натуральными. Натуральные числа это числа 1,2,3… т.д. И если я это не забыл, то я уверенно скажу, первое число и второе число. Ответ: два. Два натуральных решения.

3) Найдите длину интервала, составляющую множество решений неравенства, т.е. речь идет о том, что вот эту длину надо найти, да, вот эту длину надо найти. Закрытого отрезка и открытого отрезка. Здесь длина 1 и там длина 1. Ответ: 2.

 

Итак, мы рассмотрели метод интервалов на примере неравенства №1.

Итак, мы рассматриваем неравенства f(x)≤0, и рассмотрели дробно-квадратическое неравенство. Напомню, что в прошлый раз мы не только решили неравенство, но и построили эскиз графика из левой части. Сегодня мы не будем этим заниматься, мы будем только решать рациональные неравенства, только изучать метод интервалов. Но в качестве домашнего задания, полезного упражнения, прошу подумать каждого, а как построить эскиз графика f(x), стоящего в левой части.

Ну а мы приступаем ко второму неравенству:

2) Решить неравенство: х+3/х-4<2.

Мы знаем, что неравенства решаются только эквивалентными преобразованиями, которые не искажают множества решений. В числе таких преобразований перенос 2 из одной части в другую, т.е. делаем стандартные пока что действия. В правой части пусть у нас будет 0, а в левой части пусть будет то, что будет. Используем только эквивалентные преобразования, делаем соответствующие упрощения. Не нравится, что х с минусом, я люблю, когда х стоит на первом месте с плюсом, мне тогда легче знаки расставлять автоматически, поэтому обе части неравенства я умножаю на (-1), в левой части все равно 0, а знак неравенства меняется на противоположный.

х+3/х-4<2 <=> (х+3)/(х-4) – 2<0 <=> х+3-2х+8/х-4 < 0 <=> -x+11/x-4 < 0 <=> x-11/x-4 > 0 <=> ???

Вот мы получили из этого неравенства х+3/х-4<2 эквивалентное неравенство x-11/x-4 > 0. Какой смысл эквивалентного, равносильного неравенства равносильных преобразований? Море решений, которое здесь есть, оно называется множеством решений, совпадает с множеством решений вот этого неравенства. Теперь множество решений вот этого неравенства, когда с правой стороны уже 0, мы находим методом интервалов.

Первое действие: f(x) выделяем – f(x)=х-11/х-4;

Второе действие: находим область допустимых значений, f(x) не имеет смысл, когда х≠4, допускаются все х, кроме 4;

 

Третье действие: находим корень f(x), для чего числитель приравниваем к 0, f(x)=0, когда х=11.

И, наконец, мы числитель приравняли к 0, знаменатель приравняли к 0, теперь выделяем интервалы знакопостоянства f(x).

Четвертое действие: выделяем интервалы знакопостоянства f(x) (преподаватель строит интервалы – график). Первый множитель меняет знак, который стоит внизу в 4, мы 4 выкалываем всегда, сейчас объясню, почему. f(x)=0 в 11. Если здесь у нас 4, то 11 будет здесь. Вот наши интервалы, раз, два, три. А почему же 4 мы всегда выкалываем? f(x) не существует в 4, поэтому 4 не может быть решением никакого неравенства. Нет числа, когда х=4, поэтому решения здесь нет, 4 выкалываем всегда. А 11 – это корень функции, он может служить решением неравенства, а может не служить. Вот я его выколю тоже здесь и каждого спрошу почему. И всем отвечу, потому что неравенство строгое, равенство не допускается, а при х=11, у нас дробь равна 0. Вот наши интервалы и расставляем знак f(x) на каждом интервале. Ну, уж теперь-то будем делать это автоматом. х стоит на первом месте, я специально умножил на (-1), чтобы иметь удовольствие иметь х на первом месте в каждом двучлене. Значит, если х=1000, ясно, что это будет положительное число, здесь будет отрицательное число, здесь плюс. Ну вот, кто еще не осознал этого факта, я желаю осознать, а если не верится, то не надо наугад ставить, надо пользоваться пробной точкой, обязательно. За каждый знак я должен нести ответственность и на экзамене, и где угодно. Итак, расставили знак на каждом интервале. И вот только теперь вспоминаем о неравенстве. Что ж неравенство нам говорит, найдите все х, при которых f(x)>0. Ну для наглядности заштрихую множество этих х, вот они. И выпишу ответ, опять я выпишу ответ только в одной форме, в форме неравенств. Ответ: решениями неравенств являются все х, меньше 4, и все х, больше 11.

х<4 U x>11 – вот решение данного неравенства методом интервалов. В конце концов неравенство свелось к дробно-линейному неравенству. Вот у нас дробь, в числителе линейная f(x) х-11, в знаменателе линейная f(x) х-4, дробно-линейная f(x). Ну хорошо бы построить эскиз графика f(x) по той методике, которую мы в прошлый раз излагали.

 

Итак, мы решаем неравенство вот такого типа f(x)≥0. Мы решили неравенство дробно квадратичной f(x), дробно-линейной f(x). И, наконец, решим то неравенство, на которое мы сделали в свое время вместе с многими грубую ошибку.

1/х≤1

 

Если помните, мы это неравенство решили умножением на х, показали, что нельзя, потеряли бесчисленное множество решений, показали, почему нельзя обе части неравенства умножить на х. Подчеркнули, что обе части неравенства можно умножить на положительное число, при этом знак неравенства сохранится, обе части неравенства можно умножить на отрицательное число, при этом знак неравенства изменится. Но ведь мы же не знаем, какой знак у х: он может быть и плюсом, и минусом, т.е. сказали, что знаменатель надо беречь. Обе части неравенства нельзя умножать на х, если мы не знаем его знак. И вот после этой рекомендации, которую мы еще раз повторили, решаем неравенство стандартным методом интервалов, т.е. переводим все в одну сторону, с правой стороны будет 0, с левой после упрощения рассмотрим f(x).

Делаем стандартное преобразование, эквивалентное, равносильное, которое не искажает множество решений:

1/х≤1 <=> 1/х – 1 ≤ 0 <=> (1-х)/х ≤ 0 <=> (х-1)/х ≥ 0

 

И опять мне не нравится, что (1-х), я хочу, чтобы х стояло на первом месте, мне легче со знаками тогда разбираться. Значит, обе части этого неравенства умножаю на (-1), вспоминаю, как это делать. Знак неравенства изменится. Мы опять получили дробно-линейную функцию. Дальше действия стандартные, вводим f(x)=(х-1)/х и на время забываем про неравенство. Конечно, не надо забывать про неравенство, но подчеркиваем роль f(x) и свойства этой f(x). Изучаем свойства f(x), важнейшие для нас. Какие? ОДЗ (область допустимых значений). При каких х эта дробь может быть вычислена или существует или имеет смысл? При всех, кроме х≠0, а когда эта дробь обращается в ноль, когда х=1, т.е. по существу вот этот сомножитель изменяет свой знак в нуле, при переходе аргумента через 0, и второй сомножитель (числитель) изменяет свой знак при переходе аргумента через 1.

 

Следующее действие: выделяем интервалы знакопостоянства f(x) (преподаватель строит интервалы – график), т.е. кратко мы так называем, те интервалы, в каждом из которых f(x) сохраняет свой знак. Для этого наносим точку 0, и ее выкалываем обязательно. Почему? В ней f(x) не существует, это точка разрыва ОО f(x), точка 0 не может быть решением никакого неравенства с этой f(x), в ней знаменатель обращается в 0. 1, а 1 подумаем, выколоть ее или нет. В 1 f(x)=0, откуда у нас 1, мы числитель приравняли к 0 и получили 1. В 1 f(x)=0, а 0 допускается, значит, корень f(x) является одним из частных решений неравенства. Вот наши интервалы.

Следующее действие: определить знак f(x) на каждом интервале. Вот почему я боролся, чтобы х был на первом месте. Теперь я подставлю х=1000000, и у меня ясно, что дробь будет равна положительному числу, здесь дробь будет равна отрицательному числу, здесь снова положительному числу. Ну и опять, если автоматически кто-то не готов знаки расставлять, нужно пользоваться пробной точкой, никому не доверять, ни мне, ни соседу, и за эти знаки я несу ответственность на экзамене, где угодно.

Ну, и последнее: я вспоминаю, что мне нужно решить неравенство (х-1)/х ≥ 0. Для решения неравенства мне нужны такие значения х, все значения х, при которых f(x)=(х-1)/х ≥ 0. Ну можно заштриховать для удобства, вот они, и теперь я выпишу решение этого неравенства.

Ответ: х<0 U х≥1 (0 не включается, а 1 включается), т.е. решением неравенства является совокупность двух противонаправленных лучей.

 

Итак, мы рассмотрели решение неравенств методом интервалов, в качестве f(x) у нас выступала дробь, в числителе либо линейная f(x), либо квадратичная f(x), в знаменателе либо линейная f(x), либо квадратичная f(x). Во всех случаях стандартный метод интервалов давал ответ, т.е. мы находили множество всех решений данного неравенства. Метод интервалов далее будет использоваться при решении сложных рациональных неравенств.