Рациональные неравенства, решение рациональных неравенств повышенной сложности. Мы решали рациональные неравенства вот такого вида f(x)≥0 и для его решения использовали метод интервалов. f(x) была либо многочленом, либо дробно-линейной, либо дробно-квадратичной. Но f(x) могут быть разными, и они требуют предварительного изучения. Поэтому начнем решение неравенств повышенной сложности со следующего примера:

                1) (19-х2-4х)/(49-х2)<3/(7+х), задача – решить неравенство. Действия стандартные: все переносим в левую часть, справа должен быть 0, по пути раскладываем знаменатель на множители, числитель пока оставляем без изменения.

(19-х2-4х)/(49-х2)<3/(7+х) <=> (19-х2-4х)/(7+х)(7-х) - 3/(7+х) <0 – знак оставляем без изменения, добились пока что, что в правой части 0. Далее нам надо упростить все, что есть в правой части, и привести подобные члены:

(19-х2-4х)/(7+х)(7-х) – 3/(7+х) <0 ó (19-х2-4х – 21+3х)/(7+х)(7-х) <0 ó (-х2-х-2)/(7+х)(7-х) <0  ó

Не нравится, что очень много минусов в числителе, я обе части умножаю на (-1) обе части неравенства, при этом знак неравенства меняю на противоположный, т.к. умножаю на отрицательное число:

 

ó (-х2-х-2)/(7+х)(7-х) <0 <=> (х2+х+2)/(7+х)(7-х) > 0 Вот теперь я в состоянии все действия по методу интервалов выполнить. Вот у меня f(x), вот у меня 0, единственное, мне бы попытаться разложить на множители вот этот трехчлен, но, как мы сейчас выясним, он не раскладывается на множители. Рассматриваю f(x)= (х2+х+2)/(7+х)(7-х). Либо этот трехчлен разложится на множители, либо не разложится на множители, командует этим его дискриминант. Вот я рассмотрю f(x), у=х2+х+2, Д=1-4-1-2 <0, корней нет, график вот этой функции схематически выглядит так (преподаватель строит график), это парабола, ветви направлены вверх, корней нет, значит, пересечения с осью х нет. f(x) ведет себя вот таким вот образом. Прочтем ее, она положительна при всех х: и больших, и маленьких, и положительных, и отрицательных числах. При всех х она больше 0, значит, делаем простой и ясный вывод: у=х2+х+2 > 0, при всех хЄR. Это важное опорное свойство, это свойство квадратичной функции, которое мы в свое время проходили. Оно используется везде. Итак, какое бы число я ни подставлял сюда, какие бы пробные точки ни брал, числитель всегда положительное число. Т.е. никаких затруднений нет, даже облегчение: числитель-то всегда положительный, не раскладывается на множители, ну и не надо. Значит, можно поступить двояко, значит, если я знаю, что вот это выражение всегда величина положительная, я же могу поделить обе части неравенства на это число, на этот трехчлен. Могу! А могу не делить, просто методом интервалов решать и высчитывать, как положено. Ну все-таки поделю, и неравенство у меня резко упростится:

 

(х2+х+2)/(7+х)(7-х) > 0 <=> 1/(7+х)(7-х) > 0, знак неравенства сохранился, т.к. я разделил на положительное число. Кто мне сказал, что это число положительное? Вот свойство вот этой функции сказали мне, что вот это число, вот этот трехчлен положителен при любом значении х. Вот важное, опорное свойство квадратичной функции.

                Итак, теперь я могу взять вот эту функцию (1/(7+х)(7-х)) за метод интервалов, но мне и этого не хочется. Ведь я знаю знак числителя, числитель, величина положительная. Знаменатель какой должен быть, чтоб дробь была больше 0? Отрицательным или положительным: если знаменатель отрицательный, то дробь будет <0. Выясняется, что знаменатель должен быть положительным, для того чтобы дробь была тоже положительной.

 

(7+х)(7-х)>0, вот эту функцию я люблю, это квадратичная функция. Я ее назову φ(х), остальные буквы заняты, и построю схематически ее график (преподаватель строит график). Корнями функции являются числа (-7) и 7, очень часто зачем-то раскрывают скобки, но не надо здесь скобки раскрывать, мне же нужно, что от этой функции, схематический график, а корни вот они налицо. Ветви параболы куда направлены – вверх или вниз? (–х2) – значит, ветви направлены вниз, вот график f(х). Вот ее интервалы знакопостоянства, пробных точек никаких не надо. Сам график подсказывает. Мне нужны те х, при которых функция >0, так вот они, между интервалами корней.

Ответ: f(х)=(7+х)(7-х)>0 <=> -7<x<7.

                Итак, довольно сложное неравенство: все перенесли в левую сторону, упростили, получили вот такое неравенство: (х2+х+2)/(7+х)(7-х) > 0, здесь, оказывается, тоже можно упростить; трехчлен, оказывается, положителен всегда, значит, его можно сократить, получили вот такую дробь: 1/(7+х)(7-х) > 0. В этой дроби числитель имеет положительный знак, значит, знаменатель должен быть положительное число. Получили квадратное неравенство, решение которого элементарно, и получили ответ.

                2) Решить неравенство:

                ((х+2)2(х-1)(2х+3))/х(2х+1). Ну вот по существу это функция, мы можем неравенство построить так, чтобы функция была ≤0 либо ≥0. Ну давайте найдем все х, при которых данная функция была ≤0: ((х+2)2(х-1)(2х+3))/х(2х+1) ≤0. Ну вообще-то, функция здесь довольно сложная, и квадрат есть, не будем его выписывать отдельно, вот это функция: f(x)=((х+2)2(х-1)(2х+3))/х(2х+1). Используем метод интервалов: первое действие – функцию ввели, второе действие – ОО, или ОДЗ, находим, для чего знаменатель приравниваем к 0 и выкалываем его корни, т.е.

х≠0

х≠(-1/2)

 

Вот, все остальные х допускаются, во всех остальных х функция может принимать либо положительные значения, либо отрицательные значения, либо 0. Следующее действие – корни функции. Числитель приравниваем к 0 и находим соответствующие точки. х=(-2), вот в этой точке множитель обнуляется, скобка равна 0, дальше х=1, и когда третью скобку приравняем к 0, получим х=(-3/2). Вот все, что тут есть, – это корни функции. Дальше, выделяем интервалы знакопостоянства функции (преподаватель строит интервалы, график), для этого наносим на ось х и корни числителя, и корни знаменателя. Ну самая крайняя точка (-2), дальше (-3/2), потом (-1/2). Обязательно выкалываем, без всяких разговоров, далее получаем 0, тоже выкалываем, это корни знаменателя, в них функция не существует. И последняя точка 1. Ну сразу решим, а вот корни функции затушевать либо их выколоть тоже, посмотрим, собственно, на неравенство, равенство допускается, неравенство нестрогое. Значит, корни функции являются частными решениями неравенства. У неравенства еще бесчисленное множество решений будет, видимо, но это вот корни функции являются решением неравенства. А теперь попытаемся автоматически расставить знаки функции. Мы в свое время и таблички делали, и пробные точки, но вот теперь у нас х стоит на первом месте везде. Значит, если х=1000000 или х=1000000000, то, конечно, каждая скобка положительная и функция положительная. Вопрос каждому: а вот в переходе через точку 1, функция изменит знак или не изменит? Для этого вспомним, что такое (-1), (-1) – это корень средней скобки, только средняя скобка изменит знак, она обязательно изменит знак, один множитель изменил знак, а значит, и вся функция изменит знак. Ну мы подбираемся к правилу, согласно которому, если скобка в нечетной степени - в 1, в 3, в 23 степени, то при переходе через ее корень, функция меняет знак. А при переходе через 0, функция изменит знак или нет? Или придется связываться с пробными точками? 0. Справа от 0 х положителен, слева от 0, х отрицателен, т.е. х стоит в нечетной степени, в первой – знак изменится. (-1/2) в первой степени – знак изменится на противоположный, (-3/2), нечетная степень – знак изменится. А вот при переходе через точку (-2), эта скобка, в какой степени стоит? Четной степени – знак не изменится. Вот таким образом, мы автоматически расставили знаки функции. Так что и эту технику следует осваивать и чувствовать каким-то образом. Далее. Далее нам нужно заштриховать или выяснить, понять множество решений. Где же эти решения? Решение – это те х, при которых функция меньше или равна 0. Помните, что мы иногда делаем неосознанные ошибки, иногда сознательные ошибки, чтобы показать, а типовые ошибки мы… половина народу делает или нет. Ну вот такой же случай и здесь я сделаю ошибку. Задача такая: найти ее, во-первых, есть она или нет, может, провокация с моей стороны. И, во-вторых, если есть, то указать, какая она.

                Итак, мне нужны те х, при которых функция меньше или равна 0. Так вот, где она меньше или равна 0? Вот здесь, заштрихуем ее, чтоб понятнее мне было, чтоб ошибку не сделать. Ну вот у меня ответ налицо, осталось выписать. Где же я ошибку тут сделал? Пишу ответ: хЄ[-3/2; 1/2) U (0;1). Ну, 20 секунд каждому на размышление: есть ошибка либо нет ошибки? Ну, пока за эти 20 минут я охарактеризую каждый интервал и неравенство наше. Неравенство наше нестрогое, равенство допускается, интервалы знакопостоянства налицо, нули функции тоже налицо, и ошибка моя здесь тоже налицо. Где же эта ошибка-то? А вот я не включил точку (-2). f(-2)=0, а 0 допускается, значит, вот это изолированное решение мы потеряли.

хЄ[-3/2; 1/2) U (0;1] U {-2}

И это стандартная ошибка. Ну не всегда вот так записывается в фигурных скобках, важно показать, что и х=(-2), форма, да бог с ней, важно показать, что и при х=(-2), тоже является решением. Ну теперь рекомендации, как избежать такой ошибки. Ну, во-первых, мы диктовали в методе интервалов, следить за граничными точками, проверить граничные точки. Ну как их проверить, вот они ускользают. Иногда это неравенство f(x)≤0, может быть, полезно, записать так: f(x)≤0 <=> f(x)=0 U f(x)<0. В такой записи я, конечно, не забуду, что все корни, которые здесь есть, они должны быть в ответе, а потом еще все остальные.

                Итак, мы рассмотрели метод интервалов для довольно сложных неравенств, показали, что возможны типовые ошибки и рассмотрели возможность, как их устранить.

 

                Рассмотрим следующий пример с возможными типовыми ошибками.

                3) Решить неравенство (2х-15+х2)(3+4х+х2)/(15+2х-х2)(1-х+х2) ≥ 0. Ну мы знаем метод интервалов и знаем, что надо сначала разложить на множители все трехчлены, какие можно разложить.

Раскладываю: корни есть, почему корни есть, да потому что произведение ac отрицательно, ну по теореме Виета можно подобрать сразу корни: х1=-5, х2=3. Не доверяем, проверяем, произведение равно (-15), сама равна (-2) с противоположным знаком. 2х-15+х2=(х+5)(х-3), разложили первый трехчлен.

Второй трехчлен х2+3+4х. Если корни есть, то (х-…)(х-…), а корни есть или нет? Теорема Виета показывает, что корни есть или угадать можно один корень (-1), если совсем не угадывается, через дискриминант, но во всяком случае для этого трехчлена х1=-1, х2=-3 и проверяем произведение равно (3), сама равна (-4). Вроде все правильно, значит, х2+3+4х=(х+1)(х+3) – разложили второй множитель. Сразу зафиксировали этот факт (х+5)(х-3)(х+1)(х+3)

Раскладываем третий трехчлен:

15+2х-х2=-(х2-2х-15)=- (х-…)(х-…), если у этого трехчлена есть корни, то он разложится на линейные множители – стандартное свойство квадратичного трехчлена. У этого трехчлена корни такие: х1=5, х2=-3. Ни в коем случае не идем дальше, пока не проверим по теореме Виета, правильно ли мы нашли корни, через дискриминант, через угадывание или как угодно. Иначе дальше два листа все будет неправильно. Произведение корней (-15), сумма корней (-2), все правильно. Значит:

15+2х-х2=-(х2-2х-15)=-(х-5)(х+3), минус перед скобкой не позабуду, вот в этом примере минус специально дан, т.к. его часто забывают. Фиксирую:

(х+5)(х-3)(х+1)(х+3)/(-1) (х-5)(х+3)

                И, наконец, последний трехчлен 1-х+х2=х2-х+1. Этот трехчлен имеет дискриминант Д=1-4<0, отрицательный, значит: х2-х+1>0 хЄR. Это положительное число, можно на него сократить, можно его не учитывать, можно его 1 заменить, т.е. мы выяснили его свойство:

(х+5)(х-3)(х+1)(х+3)/(-1) (х-5)(х+3)1 ≥ 0, все замечательно, только минус вот этот не нравится, поэтому обе части неравенства я умножаем на (-1), значит, смысл неравенства, знак изменится на противоположный:

(х+5)(х-3)(х+1)(х+3)/(х-5)(х+3) ≤ 0, вот эта функция:

f(x)=(х+5)(х-3)(х+1)(х+3)/(х-5)(х+3). Ну и какая же здесь особенность? Я, конечно, сейчас буду писать интервалы знакопостоянства писать, точки все (преподаватель строит интервалы, график). Ну смотрите: и в числителе скобка (х+3), и в знаменателе. Грубая ошибка: взять сократить без последствий, можно сократить? Можно, но надо написать, что х≠(-3). Ну давайте сокращать ничего не будем, чтоб наглядно продемонстрировать роль этой вот этой (-3). Значит, корни этой функции нам известны, какие это. Сначала ОДЗ этой функции:

х≠5

х≠(-3)

вот эти числа не могут служить решением неравенства этой функции, в этих точках функции просто не существует. Знаменатель равен 0, особенность какая? И числитель равен 0, ну так получается все равно 0/0, получается неопределенность, функции в этой точке не существует. Итак, метод интервалов нам говорит, найди корни числителя и корни знаменателя, ну вот мы нашли корни числителя, выпишем их еще раз:

х=(-5), х=3, х=(-1), вот мы нашли корни, а х=(-3) является корнем? Нет, потому что, когда х=(-3), знаменатель тоже равен нулю. Ну все, после этого выделяем интервалы знакопостоянства функции, т.е. наносим корни числителя и корни знаменателя. Равенство допускается, поэтому все корни следует включить во множество решений. Во-первых, это (-5), во-вторых, это (-1), в-третьих, это 3, и если будут изолированные решения, то мы их обязательно зацепим. Дальше 5 должна быть выколота, и (-3) должна быть выколота – это корни знаменателя, точки разрыва ОО, ну вот наши интервалы. Ну какая здесь особенность в расстановке знаков? Если х=1000000000, каждая скобка положительная, (х-5) в первой степени – знак меняется на противоположный, 3 и (х-3) в нечетной степени – знак меняется. (х-1) – опять знак меняется, (-3) и здесь, и здесь, знак не меняется, функция не меняется, у этого сомножителя знак меняется и у этого, а у дроби поэтому не меняется. И, наконец, знак здесь плюс. Вот главная особенность: числитель и знаменатель имеют один и тот же корень, скобку можно сократить, но учесть, что х≠(-3) или скобку для наглядности держать, не сокращать, знак при переходе (-3) сохраняется. А функция должна быть меньше либо равна 0. Ну вот те х, при которых функция меньше либо равна 0. Вот очень часто (-3) включается, ее включать нельзя!

Ответ: хЄ[-5;-3) U (-3;-1] U [3;5)

 

                Итак, мы здесь сделали важное замечание о том, что при переходе (-3), знак функции не меняется.

                Итак, мы рассмотрели неравенства повышенной сложности, рациональные неравенства, но метод интервалов дает нам ключ к их решению, поэтому и далее он будет использоваться в более сложных рациональных неравенствах.