Основные понятия решения систем линейных неравенств.

Раньше мы решали отдельные неравенства: линейные, рациональные, дробно-линейные. Для нахождения области определения первой y=√2x-4 нам требовалось решить неравенство 2x-4≥0, потому что под корнем должно стоять неотрицательное число.

Рассмотрим вторую функцию y₂=√8-x, требуется решить ту же задачу – найти ее область определения. Решение: область определения задается неравенством 8-x≥0. Никакой системы нам здесь не потребовалось. Каждое из линейных неравенств мы решать умеем: либо с помощью графика линейных функций, либо эквивалентными преобразованиями.

А теперь рассмотрим функцию y=√2x-4+√8-x. Поставим ту же задачу – найти область определения этой функции. Тогда для ее решения нам нужно, чтобы первый корень существовал, чтобы 2x-4≥0 и чтобы второй корень существовал 8-x≥0, но нам нужно, чтобы вся функция существовала одновременно, чтобы существовал и первый корень, и второй, т.е. чтобы решалась система неравенств:

2x-4≥0

8-x≥0

Мы получили систему, почувствовали необходимость в системе и дадим определения системе.

Решения систем линейных неравенств. Решить систему неравенств означает найти множество всех х, которые одновременно удовлетворяют и первому неравенству, и второму неравенству. Решим эту систему:

2x≥4

x≤8

x≥2

x≤8

Теперь на оси х изобразим множество решений этой системы. Решение первого уравнения – луч с вершиной 2, положительно направленный. Мы его отмечаем и штрихуем в одну сторону. Под осью х изображаем множество решений второго неравенства с вершиной 8 (вершина входит), отрицательно направленной. Отмечаем его, заштриховываем в другую сторону. Там где штриховки пересекаются – решение данной системы: 2≤х≤8. При х, принадлежащем от 2 до 8 у нас существует первый корень, потому что подкоренное выражение неотрицательное. Существует второй корень, потому что подкоренное выражение неотрицательное. Т.е. при данных х и только при них существует у. Итак, мы рассмотрели ситуацию, когда возникла необходимость в решении системы.

Для того чтобы решить систему, нужно решить каждое неравенство и найти пересечение множества решений первого и множество пересечений второго.

Для того чтобы уяснить смысл пересечения двух множеств, полезна следующая картинка. Допустим, у нас имеется множество произвольной природы А и множество произвольной природы В. Их общая часть – множество С. Если х принадлежит А и х принадлежит В, х одновременно принадлежит и А, и В, т.е. требуемое решение системы принадлежит и А, и В. Картинка наглядно показывает общую часть, которая входит и в А, и в В. Эти множества были произвольной природы, а у нас числовые множества. Поэтому нам важно искать пересечения числовых множеств. Для этого мы вспоминаем, что решением каждого неравенства является луч, поэтому опорную задачу на пересечение лучей мы должны рассмотреть.

Вот первое из них:

x>7

x>10

решить систему. Изображаем ось х, над осью х изображаем решение первого неравенства – луч, положительно направленный, вершина 7 не входит.

Под осью х изображаем решение второго неравенства – луч, положительно направленный, вершина 10 не входит. Заштрихуем первый луч в одну сторону, второй луч – в другую. Наглядно нам будет видно пересечение двух этих лучей. Это x>10. Вот решение первой опорной системы.

Рассмотрим вторую опорную систему.

x>7

x≤10

Т.е. вершины лучей одни и те же, только теперь лучи противонаправленные. Действуем таким же образом. Иногда метод, когда мы находим решение пересечением областей, называют методом крыш. Вот первое решение – вершина 7 и штриховка в одну сторону, под этой «крышей» живут все решения первого неравенства. Изображаем «крышу» решений для первого и второго неравенства. х=10 входит, 10 затушевываем, и это противонаправленный луч, штриховку делаем в другую сторону и получаем наглядное решение 7<x≤10. Все х, которые здесь расположены, живут одновременно под двумя «крышами», поэтому они удовлетворяют всей системе.

Третья система. Лучи с теми же вершинами. Требуется решить данную систему.

x≤7

x≤10

Вершины те же. Изображаем «крышу» для первого множества x≤7, луч, отрицательно направленный. Под осью х рисуем «крышу» для второго луча x≤10, штриховка в другую сторону наглядно показывает множество решений, это все значения х, которые расположены одновременно и в первом, и во втором луче. Т.е. решением всей системы является луч x≤7.

Итак, мы рассмотрели три типовых опорных системы пересечения двух лучей: сонаправленных, противонаправленных и снова сонаправленных.

Четвертая система.

x≥1

-∞<x<+∞

Понятно, откуда бывает x≥1, мы решали достаточное количество линейных систем и решением были подобные множества. Откуда взялось второе неравенство? х – любое число. Например,

Х²+1≥0

Х²всегда ≥0, да прибавить еще 1, то это неравенство всегда ≥0 при любом х. Это совсем бывает наглядно, если мы его запишем следующим образом:

Х²≥-1

Ясно, что неотрицательное число ≥ отрицательного, значит, данное неравенство выполняется при всех х. Итак, мы пояснили, откуда взялось второе неравенство. Так что же является решением данной системы? Снова рисуем ось, изображаем над осью первое множество x≥1, положительно направленный луч. А где второе множество? А второе множество – это вся ось -∞ до +∞. При желании ее заштрихуем в другую сторону. Но наглядно видно, что решением системы является первое множество x≥1, т.е. второе множество, которое выполняется всегда, никак нам не мешает.

Есть даже соответствующая теорема решения линейных неравенств и систем. Если мы имеем систему, в котором одно из множеств – вся числовая ось, то ее решением является множество решений первого неравенства.

Следующая опорная система.

x≥1

x<1

Снова рисуем ось, изображаем над осью первое множество x≥1, положительно направленный луч с вершиной 1, 1 здесь входит. Под осью х изображаем решение второго неравенства – луч, с вершиной 1, но 1 здесь не входит и луч отрицательно направленный. Штрихую в другую сторону и вижу, что пересечений нет. Единственная подозрительная точка – 1. Но 1 входит в первое множество и не входит во второе. А мы ищем то, что входит одновременно и в первое, и во второе множество. Здесь такого нет. Пишем словами: «х принадлежит пустому множеству», или х∈. - это изображение пустого множества, т.е. множества, в котором нет ни одного элемента.

Итак, мы рассматриваем стандартные методы решения систем. И эти стандартные методы решения заключаются в том, что многие эти системы сводятся к числовым неравенствам, а каждое это неравенство – луч. И в результате получаем отрезок либо луч, либо ничего не получаем. А иногда получаем отдельную точку. Давайте рассмотрим такой случай.

x≥1

x≤1

Ищем решение, опять рисуем ось х. Изображаем над осью первое множество x≥1, положительно направленный луч с вершиной 1, 1 входит. Второе множество – 1 входит и отрицательно направленный луч. Общая точка, общий элемент х=1. Решением этой системы является единственная точка.

Таким и подобным опорным системам сводятся любые системы линейных неравенств.

Давайте запишем одну систему и решим ее.

5x-7>3х-15

25-4x>29+2x

Решить систему линейных неравенств, т.е. найти множество всех х, которое удовлетворяет и первому неравенству, и второму. Решаем методом эквивалентных равносильных преобразований, т.е. таких, которые не искажают множество решений.

2x>-8

-6x>4

Далее решим первое неравенство x>-4.

Решим второе неравенство -6x>4.

Сначала умножим его на -1. Получим

6x<-4, найдем отсюда х

х<-4/6 или x<-2/3.

Итак, мы пришли к одной из опорных систем. Решаем ее методом крыш.

x>-4

x<-2/3

Рисуем ось х, -4 – «крыша» для первого неравенства, штрихуем ее в одну сторону для наглядности. -2/3 – вершина второго луча, отрицательно направленного, осуществляем штриховку в другую сторону. Там, где штриховка в обе стороны, т.е. от -4 до -2/3, и это и есть множество решений системы. Итак, -4<x<-2/3. Мы нашли решение системы, как мы видим, наша система свелась к одной из опорных систем.

Иногда линейную систему задают двойным неравенством. Например,

-3<(5х+2)/2<1

Можно перейти к системе, но давайте попытаемся не связываться с ней. А эквивалентными преобразованиями добраться до решения этого двойного неравенства. Обе части неравенства можно умножить на число 2, таким образом, мы освободимся от знаменателя. Получим:

-6<5х+2<2

Далее, 2 приносим и к -6 и вправо к 2, получим:

-8<5х<0

Делим все части неравенства на 5, освобождая х. Получим:

-8/5<х<0

Ответ х∈(-8/5;0).

Мы рассмотрели линейные системы. Мы показали, откуда появляется необходимость в линейных системах. Например, рассмотрели множество значений функции, в которой присутствуют два радикала, два корня. Линейная система – это необходимость, мы часто с ними будем встречаться. Каким же образом решаются линейные системы? Мы показали, что надо решить первое неравенство, решить второе неравенство и найти множество, которое является пересечением полученных решений. Для того чтобы научиться решать эти неравенства, мы рассмотрели стандартные опорные системы, состоящие из лучей противонаправленных, сонаправленных, из отрезков и т.д. И рассмотрели несколько примеров. Увидели, что все-таки эти системы сводятся к опорным системам, и они будут составной частью в решении более сложных систем.