Данный текст представляет собой неотредактированную версию стенограммы, которая в дальнейшем будет отредактирована.
InternetUrok.ru
Геометрия. 10 класс
Глава 1. Аксиомы стереометрии и их следствия
Урок 2. Некоторые следствия из аксиом
Тарасов В.А., учитель школы «Логос ЛВ»,
ст. преп. фак-та довузовской подготовки МИХТ
19.07.2010 г.
Следствия из аксиом - доказательства теорем
Некоторые следствия из аксиом.
На прошлом уроке мы сформулировали и рассмотрели три аксиомы.
Первая аксиома утверждала, что через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость или проходит плоскость, и притом только одна.
"стереометрия 10 класс"Вторая аксиома утверждала, что если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит плоскости, т.е. плоскость проходит через эту прямую или прямая лежит в плоскости.
И третья аксиома утверждала, что если две разные плоскости a и b имеют общую точку, скажем точку М, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку М.
Такой смысл трех аксиом.
Решение задач
Дано:
Требуется:
Найти прямую пересечения плоскостей МАВ и МВС
Решение:
МАВÇМВС=МВ
Ответ: МВ
Дано: четырехугольник АВСД и точка М вне его плоскости. Найдите прямую пересечения плоскостей МАВ и МВС.
Итак, дана плоскость четырехугольника АВСД, т.е. АВСД – плоский четырехугольник. Все вершины лежат в одной плоскости. Точка М не лежит в плоскости этого четырехугольника. Надо найти прямую пересечения плоскостей МАВ и МВС. Решение в одну строчку.
И точка М, и точка В принадлежат и той, и другой плоскости.
Значит, МВ искомая линия пересечения. Посмотрим на чертеж. МВА – одна плоскость. МВС – вторая плоскость. МВ – линия их пересечения. Ответ: прямая МВ.
Теорема
Дано:
Прямая а
МÏа
Доказать:
1) Существует плоскость a
аÎa
МÎa
2) Плоскость a единственна
Доказательство первого пункта:
Р, Q Îа
Через Р, Q, M проходит a
Т.е. плоскость a существует
Доказательство первого положения, что такая плоскость существует. На прямой а существует много точек. Выберем любые две точки Р и Q. Тогда имеем 3 точки – Р, Q, M, которые не лежат на одной прямой.
По аксиоме А1, по первой аксиоме, через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна, т.е. плоскость a, которая содержит и прямую а, и точку М, существует.
Но следует доказать ее единственность.
Единственность плоскости a докажем следующим образом.
Предположим, что существует иная плоскость , которая проходит и через точку М, и через прямую а. Например, это будет плоскость, проходящая через точки , прямой а, и точка М, т.е. существует, какая-то иная плоскость . Но тогда эта иная плоскость проходит и через прямую, и через точку М, значит, через точки Р, Q, M.
А через три точки Р, Q, M, не лежащие на одной прямой, в силу 1 аксиомы, проходит только одна плоскость. Значит, эта плоскость совпадает с плоскостью a. Значит, единственность доказана. И вся 1 теорема доказана.
Доказательство теоремы.
Дано: аÇb=M
Доказать:
1) Существует плоскость a.
аÎa
bÎa
2) Такая плоскость a единственна.
Доказательство:
1) Пусть NÎb и N¹М.
Тогда через а и N проходит некоторая плоскость a.
2) Пусть существует иная плоскость , проходящая через а и b.
Но тогда проходит через а и N.
Значит, = a по предыдущей теореме.
Доказательство закончено.
Итак, даны две пересекающиеся прямые. Прямая а пересекается с прямой b в точке М.
Доказать, что существует такая плоскость, которая проходит и через прямую а, и через прямую b. Это первое.
И второе, доказать, что такая плоскость единственна.
Доказательство:
На прямой b возьмем точку N, которая не совпадает с точкой М.
Тогда имеем точку N, которая не принадлежит прямой а. По предыдущей теореме вспомним, через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость. Назовем ее плоскостью a. Значит, такая плоскость, которая проходит через прямую а и точку N, существует. Но эта плоскость проходит через всю прямую b. Почему?
Потому что две точки М и Nпрямой b лежат в этой плоскости. Записано это следующим образом, ведь прямая b по-иному называется прямой МN. Значит, и прямая первая, и прямая вторая принадлежат плоскости a. Итак, нам нужно было доказать, что такая плоскость, которая проходит через две пересекающиеся прямые существует. Мы доказали, что такая плоскость существует. Осталось доказать единственность этой плоскости.
Предположим противное. Пусть существует иная плоскость , такая, которая проходит и через прямую а, и через прямую b. Но тогда она неминуемо проходит и через прямую а, и точку N. Но по предыдущей теореме эта плоскость единственна, т.е. плоскость совпадает с плоскостью a.
Значит, мы доказали существование единственной плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые.
Решение задач
Дано: АВСДА1В1С1Д1 – куб
1) Какой плоскости принадлежат отрезок АВ и точка Д1?
Ответ: Плоскости АВД1
2) Найдите прямую пересечения плоскостей Д1В1В и В1А1Д1.
Ответ: Д1В1ВÇВ1А1Д1=В1Д1
3) Какие плоскости пересекаются в точке А?
Ответ: А=АВСÇАВВ1ÇАДД1
Задача.
Дан куб – АВСДА1В1С1Д1.
1) Какой плоскости принадлежат отрезок АВ и точка Д1?
Ответ: плоскости АВД1.
Почему?
Через прямую АВ и точку Д1 можно провести плоскость, и притом только одну. Это в силу 1 теоремы. Можно по-иному доказать. АД1 –прямая, точка В не лежит на этой прямой. Значит, через АД1 прямую и точку В можно провести плоскость, и притом только одну, вот эту плоскость АВД1.
И, наконец, можно рассмотреть две пересекающиеся прямые АВ и АД1.
В силу 2 теоремы через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. Это плоскость АВД1.
И, наконец, в силу 1 аксиомы, через 3 точки А, В, Д1, не лежащие на одной прямой проходит единственная плоскость, вот она, АВД1. Таким образом, первая задача решена.
Задача №2. Дан тот же куб. Найдите прямую пересечения плоскостей Д1В1В и В1А1Д1. Ответ написан. Это прямая В1Д1. Как ее найти? Как доказать, что именно эта прямая?
Во-первых, точка Д1 входит в первую плоскость и во вторую плоскость.
Точка В1 входит и в первую плоскость, и во вторую плоскость. Но посмотрим на грани. Д1, В1 и В мы увидим, в дальнейшем эта плоскость будет называться плоскостью диагонального сечения. Она проходит через три точки Д1, В1, В. А вторая плоскость проходит через точку В1, Д1, А1. То есть обе точки В1 и Д1 одновременно лежат в двух плоскостях и являются линией их пересечения.
И, наконец, для этого же куба 3 задача.
Какие плоскости пересекаются в точке А?
Мы знаем, что две плоскости, если пересекаются, то по прямой. Другие две плоскости тоже могут пересекаться по прямой.
А эти две прямые, если пересекаются, то дают точку А. Надо узнать, какие плоскости содержат точку А.
Во-первых, это плоскость АВС, т.е. плоскость нижней грани АВСД, если называть ее полностью. Для плоскости достаточно 3 точек, не лежащих на прямой. Итак, первая плоскость – нижнее основание АВС.
Вторая плоскость АВВ1, или АВВ1А1, эти плоскости пересекаются по прямой АВ. Третья плоскость АДД1. Все 3 плоскости содержат точку А.
Ответ: пересечением этих трех названных плоскостей является точка А.
