Данный текст представляет собой неотредактированную версию стенограммы, которая в дальнейшем будет отредактирована.
InternetUrok.ru
Геометрия. 10 класс
Глава 1. Аксиомы стереометрии и их следствия
Урок 1. Предмет стереометрии. Аксиомы стереометрии
Тарасов В.А., учитель школы "Логос ЛВ", ст. преп. фак-та
довузовской подготовки МИТХТ
19.07.2010 г.
Предмет стереометрии - основные аксиомы стереометрии
Урок №1 «Предмет стереометрии. Аксиомы стереометрии».
Напомним: геометрия – это наука, которая изучает свойства геометрических фигур. Геометрическая фигура – это совокупность, любая совокупность точек. Геометрия подразделяется на планиметрию, которую мы изучали, и на предмет стереометрии, который мы начинаем учить.
С чего начинается предмет стереометрии?
Так же, как и планиметрия, она начиналась с основных понятий, основных фигур, аксиом, и далее строилось грандиозное здание – планиметрия.
Точно так же мы поступим и в стереометрии.
Какие основные понятия, какие основные фигуры в стереометрии?
Во-первых, точка и прямая, как в планиметрии, и еще добавляется плоскость.
Итак, основными фигурами стереометрии являются точка, прямая, плоскость. Примеры стереометрических фигур нам известны – это шар, сфера, конус, цилиндр, параллелепипед и т.д.
Как обозначаются точка, прямая и плоскость в стереометрии?
Итак, каким образом обозначаются основные фигуры стереометрии, т.е. точки, прямые и плоскости?
А, В, С, D– прописные латинские буквы, они обозначают точки.
Строчные латинские буквы а, b, c обозначают прямые.
АВ=а, СД=b – прямые.
И греческие буквы a, b, g и т.д. обозначают плоскости.
b, a – плоскости.
Рисунок
Вот есть прямая а, на ней точка А, на ней точка В. Прямая а может быть обозначена как АВ. Прямая b, на ней точки С и D. Прямая b может быть обозначена и буквой b, и буквами СД.
Плоскость a, плоскость b, вот их обозначения. Конечно, специфика всей стереометрии заключается в том, что пространственные фигуры мы будем изображать на плоскости.
Так же, как и в планиметрии, важен знак принадлежности, АÎа. Вот точка А, вот прямая а.
Точка МÎa, вот точка М, вот плоскость a, и точка М принадлежит плоскости a.
Прямая аÏa. Вот прямая, вот плоскость, и эта прямая не принадлежит плоскости a, и мы увидим, что такие прямые существуют.
Аксиома 1 (А1)
Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
Пояснение к аксиоме А1.
Рисунок
Есть три точки: А, В, С.
СÏАВ, тогда через три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость a, и притом только одна.
a=АВС – обозначение плоскости a либо через значок a, либо через три точки АВС.
Отдельно точка А, точка В и точка СÎa, и через знак Ï записывается, что точка С не принадлежит прямой АВ. Конечно, существуют другие точки, например, точка DÏa.
Аксиома 2 (А2)
Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.
По-иному говорят, что прямая лежит в плоскости или что плоскость проходит через прямую.
Рисунок
Разъяснение: Вот плоскость a, точка А прямой а принадлежит плоскости a. Точка В принадлежит плоскости a. Знак системы, точка А и В одновременно принадлежат плоскости a. Аксиома утверждает – все точки прямой а, прямой АВ, принадлежат плоскости a, т.е. вся прямая лежит в плоскости a или плоскость a проходит через прямую а. Смысл заключается в следующем: из того, что только две точки принадлежат плоскости, вытекает, что бесчисленное множество точек прямой лежат в этой плоскости.
Отсюда сразу вытекает следствие: может ли быть только три общие точки у прямой и плоскости? Нет, не может быть. Может быть две точки, и тогда вся прямая лежит в плоскости. Может быть одна точка. Точка М, которая является общей и для прямой, и для плоскости. Только одна точка может быть, тогда говорят, что прямая а и плоскость a пересекаются в точке М.
Этот факт записывается следующим образом: аÇa=М. Вот в этом смысл второй аксиомы.
Третья аксиома А3
Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
Говорят, что плоскости пересекаются по прямой. Разъясним данную аксиому.
Рисунок
Имеем разные плоскости: плоскость a, плоскость b. Известно, что они имеют общую точку М, точка М принадлежит плоскости a. Точка М принадлежит одновременно плоскости b. Значит, знак системы. Отсюда вытекает, что существует прямая а, которая проходит через точку М, которая одновременно принадлежит и плоскости a, и плоскости b. Вот в этом случае и говорят, что плоскости a и b пересекаются по прямой а.
Смысл и следствие из аксиом разъясняются в многочисленных вопросахи задачах. Вот некоторые из них.
Рисунок
а) РЕÎАВД
МКÎДВС
АВ=АВСÇАВД
ЕС=ЕСДÇАВС
Дан тетраэдр АВСД. Тетраэдр или просто треугольная пирамида. Некоторые точки даны.
Точка Е – внутренняя точка ребра АВ.
Точка Р – внутренняя точка отрезка ДЕ.
Точки М и К, соответственно, на ребрах ВД и ДС.
Итак, исходные данные – тетраэдр и некоторые точки на нем.
Задача
Назовите плоскости, в которых лежат прямые РЕ, МК, ВД и т.д.
РЕÎАВД
МКÎДВС
Сразу даем решение. Вот прямая РЕ, в какой плоскости она лежит? Ответ: прямая РЕ лежит в плоскости АВД. Почему? Потому что в этой плоскости лежат две точки этой прямой. Точка Е лежит в плоскости АВД и точка Р лежит в этой же плоскости. Значит, по второй аксиоме все точки прямой РЕ лежат в плоскости АВД.
Вторая задача.
МК, в какой плоскости лежит прямая МК?
Точки М и К – это две точки прямой МК, которые лежат в плоскости ВДС. Значит, все точки этой прямой лежат в плоскости ДВС, что и отмечено здесь.
Далее более сложная задача. Вот прямая ВД. В каких плоскостях лежит? В какой плоскости она лежит?
Прямая ВД, во-первых, лежит в плоскости ВДА и в плоскости ВДС. Значит, прямая ВД одновременно лежит в двух плоскостях. Прямая ВД есть линия пересечения двух плоскостей. Говорят, что грани АВД, ВДС пересекаются по прямой ВД.
Еще раз, какие аксиомы здесь действуют?
Точки В и Д – две точки прямой, лежащей в плоскости одной грани. Значит, вся эта прямая лежит в плоскости этой грани, но точно так же эта прямая лежит в плоскости другой грани АВД.
Следующая задача.
Прямая АВ в каких гранях лежит?
АВ=АВСÇАВД
ЕС=ЕСДÇАВС
Прямая АВ лежит в грани АВД и в грани АВС. Значит, прямая АВ есть линия пересечения двух этих граней. И, наконец, прямая ЕС. Точки Е и С лежат одновременно в плоскости АВС и в плоскости ДСЕ. Значит, прямая ЕС есть линия пересечения этих плоскостей.
Следующая задача.
Найдите точку пересечения прямой ДК с плоскостью АВС.
Рисунок
Решение написано здесь.
ДКÇАВС=С
Действительно, прямая ДК содержит точку С.
Плоскость АВС содержит точку С. Прямая ДК и плоскость АВС пересекаются в точке С.
Следующая задача.
Найдите точку пересечения прямой СЕ с плоскостью АДВ.
СЕÇАДВ=Е
Опять решение написано. Прямая СЕ пересекается с плоскостью АДВ в точке Е.
Пояснение:
Вот прямая СЕ, вот плоскость АДВ. Точка Е принадлежит и прямой, и плоскости. Эта прямая пересекается с плоскостью, пересекается именно в точке Е. Таким образом, это решение мы пояснили.
Следующая задача.
Найдите точки, лежащие в плоскостях АДВ и ДВС.
Вот решение АДВÇДВС=ДВ. Вот все точки прямой ДВ являются ответом.
Пояснение:
Плоскость АДВ – плоскость грани. Плоскость ДВС. Точка В и точка Д одновременно лежат и в той, и в другой плоскости. Значит, ответ обоснован.
Найдите прямые, по которым пересекаются плоскость АДВ и ДСВ.
Вот первая задача в этой группе. Вот ответ на нее:
АДВÇДВС=ДВ
Обоснование:
Во-первых, это видно из записи. Точки Д и В присутствуют и в первой плоскости, и во второй плоскости. Давайте посмотрим это на чертеже.
Плоскость АДВ – это плоскость боковой грани. Плоскость ДВС – плоскость другой боковой грани. Точки В и Д одновременно присутствуют и в одной плоскости, и в другой плоскости. Ответ обоснован.
Дальше требуется назвать прямые, по которым пересекаются плоскости АВД и СДА. Вот ответ: АВДÇСДА=АД. Это точки, лежащие на прямой АД.
И опять обоснование:
Точки А, Д лежат в одной плоскости, точки А, Д лежат в другой плоскости, т.е. по наименованию плоскостей видно, что АД – это линия их пересечения.
Проиллюстрируем это на чертеже. АВД – одна плоскость. СДА – другая плоскость. АД – линия их пересечения.
И, наконец, третья задача.
Назовите прямые, по которым пересекаются плоскости РДС и АВС.
Вот ответ: РДСÇ АВС=СЕ.
Все-таки поясним. Что за плоскость РДС? Это плоскость ДЕС. Итак, плоскость РДС совпадает с плоскостью ЕДС. Вот это первая плоскость. Вторая плоскость АВС. Точка Е и точка С одновременно лежат в двух плоскостях. Значит, СЕ – это линия пересечения двух плоскостей. Задача решена.
Итак, мы рассмотрели предмет стереометрии, три основные аксиомы, их применение. На этих аксиомах строится все грандиозное здание стереометрии. Строительство его на следующем уроке мы начнем с некоторых следствий.
