Данный текст представляет собой неотредактированную версию стенограммы, которая в дальнейшем будет отредактирована.
InternetUrok.ru
Геометрия. 10 класс
Глава 1. Аксиомы стереометрии и их следствия
Урок 5. Решение задач на применение аксиом и их следствий
(разные задачи)
Тарасов В.А., учитель школы «Логос ЛВ»,
ст. преп. фак-та довузовской подготовки МИХТ
20.07.2010 г.
Решение задач на применение аксиом стереометрии - следствие из аксиом
Решение задач на применение аксиом стереометрии и их следствий.
Аксиомы стереометрии и следствия из них устанавливают взаимоотношения между основными фигурами стереометрии: точкой, прямой и плоскостью.
Что это за взаимоотношения?
Точка может лежать на прямой, может не лежать на прямой.
Прямая сама может принадлежать плоскости, может не принадлежать плоскости.
Плоскость может проходить через прямую, не проходить через нее, содержать точку, не содержать точку.
Подобные задачи мы решали для пирамиды, мы решали такие задачи для параллелепипеда. Теперь мы будем решать задачи в общем виде.
Но для этого полезно вспомнить и прокомментировать сами аксиомы.
a=АВС
Согласно аксиомам через любые три точки, не принадлежащие одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. Что значит «проходит плоскость», и как построить плоскость?
Значит, плоскость такая существует, при необходимости ее можно изобразить так, как изображено на рисунке.
Это относится и к другим аксиомам.
Из 2 аксиомы вытекает: для того чтобы все точки прямой принадлежали плоскости, достаточно, чтобы только две из них принадлежали плоскости a, т.е., если точка АÎa и точка ВÎa, то все точки прямой АВ принадлежат плоскости a.
И, наконец, из 3 аксиомы вытекает: если две разные плоскости имеют только одну общую точку, то они имеют общую прямую. И на этой прямой лежат все общие точки двух плоскостей.
Это нам важно для решения задач, чтобы устанавливать взаимное расположение точек, прямой и плоскости.
Из этих аксиом непосредственно вытекают две важные теоремы.
Повторим их.
Через прямую и точку, которая не лежит на этой прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.
Мы еще раз повторили и сами аксиомы, и следствия из них. И видим, что они действительно позволяют устанавливать взаимоотношения между основными фигурами стереометрии. Между точкой, прямой и плоскостью.
И теперь переходим к решению конкретных задач.
Дано:
Доказать: любые прямые, пересекающие а и b и не проходящие через точку М лежат в одной плоскости.
Доказательство:
1) Через точку а и b проходит плоскость g
2) Произвольная прямая с, удовлетворяющая условиям задачи, Îg, т.к.
Задача: две прямые пересекаются в точке М.
Докажите, что все прямые, не проходящие через точку М и пересекающие данные прямые, лежат в одной плоскости. Таково условие.
Решение: нам даны две прямые а и b, которые пересекаются в некоторой точке М. Возьмем произвольную прямую с, которая не проходит через точку М, но пересекает исходные прямые а и b в точках А, В, соответственно.
Нам нужно доказать, что все такие прямые принадлежат одной плоскости. Сразу укажем эту плоскость. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость g, и притом только одна, согласно 2 теореме.
Эту плоскость мы обозначили g. Прямая с принадлежит этой плоскости. Почему?
Потому что две ее разные точки А и В принадлежат плоскости g. А из того, что две точки прямой принадлежат плоскости, вытекает, что все точки прямой принадлежат плоскости, т.е. вся прямая лежит в плоскости.
Это согласно аксиоме 2.
Таким образом, мы доказали, что все прямые, пересекающие А и В, но не проходящие через М, лежат в одной плоскости, и указали, что это за плоскость. Это плоскость g, которая проходит через прямые а и b, через пересекающиеся прямые а и b.
Задача № 4.
Три данные точки соединены попарно отрезками.
Докажите, что все отрезки лежат в одной плоскости.
Дано: точки А, В, С
Доказать: отрезки АВ, ВС, СА лежат в одной плоскости
Доказательство:
1) пусть СÏАВ, тогда существует единая плоскость, где, а = АВС
2) прямая АВÎ,a т.к. А и ВÎa, значит, и отрезок АВÎa
Аналогично ВСÎa
САÎa,
что и требовалось доказать.
Итак, нам даны три точки: А, В, и С. Нужно доказать, что отрезки АВ, ВС, СА лежат в одной плоскости.
Доказательство: если точка С лежит на прямой АВ, то ответ ясен. Предположим, что точка С не принадлежит прямой АВ, но тогда через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна, в силу аксиомы 1.
Далее, прямая АВ целиком лежит в плоскости a. Почему?
Потому что две ее точки лежат в этой плоскости. Но, значит, и отрезок АВ лежит в плоскости a.
Аналогично и с другими отрезками. Прямая ВС лежит в плоскости a, потому что две ее точки В и С лежат в плоскости a, значит, и отрезок ВС лежит в плоскости a.
И аналогично, отрезок АС лежит в плоскости a. Что и требовалось доказать.
Задача № 5.
Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей параллелограмма лежат в плоскости a. Лежат ли 2 другие вершины параллелограмма в плоскости a?
Ответ обоснуйте.
Дано: АВСД – параллелограмм.
А, В, ОÎa
Доказать: СДÎa
Доказательство:
1) АОÎaÞ СÎa
2) ВОÎaÞДÎa
Итак, дан параллелограмм АВСД. Известно: точка А, точка В, точка О – точка пересечения диагоналей, лежат в плоскости a.
Доказать, что вершины С и Д лежат в этой плоскости и обосновать этот факт.
Вот что требуется.
Доказательство:
1) Через три точки А, В и О проходит плоскость, и притом только одна. Это плоскость a, единственная плоскость. Прямая АО целиком лежит в этой плоскости, потому что две ее точки лежат в плоскости. Значит, точка С лежит в плоскости a.
Аналогично, прямая ВО целиком лежит в плоскости a, значит, точка Д этой прямой тоже лежит в плоскости a.
Итак, мы доказали, что остальные вершины С и Д лежат в плоскости a, и обосновали этот факт.
Задача №6.
Дано: прямая и точка, не лежащая на этой прямой.
Докажите, что все прямые, проходящие через данную точку и пересекающие данную прямую, лежат в одной плоскости.
Дано: а, МÏа;
Доказать: все прямые, проходящие через М и пересекающие а, лежат в одной плоскости;
Доказательство:
1) пусть МА – одна из таких прямых;
2) через а и М проходит плоскость a;
3) МАÎa, т.к. точки А и М Îa;
Решение: нам дана прямая а и некоторая точка М, которая не лежит на этой прямой. Что нам нужно доказать? Что все прямые, которые проходят через точку М и пересекают прямую а лежат в некоторой единственной плоскости.
Доказательство: давайте сразу обозначим, что это за единственная плоскость. Мы знаем, что через прямую а и точку М проходит единственная плоскость, ее мы обозначим через a. Это в силу 1 теоремы.
Итак, плоскость a существует. Теперь возьмем произвольную прямую, о которых говорится в условиях задач, т.е. прямая, которая проходит через точку М и пересекает прямую а, например, в точке А. Прямая МА лежит в плоскости a. Почему? Потому что две ее точки, и М, и А, лежат в этой плоскости. Значит, и вся прямая лежит в плоскости a, в силу 2 аксиомы.
Итак, мы взяли произвольную прямую, которая удовлетворяет условиям задачи, и доказали, что она лежит в плоскости a. Значит, все означенные прямые лежат в плоскости a. Доказательство закончено.
Верно ли утверждение:
а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости;
б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости?
а) Если две точки В и С Îa, то точка А может Ïa;
Ответ: нет;
б) Если А, В, С Îa, то любая точка М окружности Îa, т.к. прямая АД Îa.
Ответ: да;
Решение: дана окружность, точки А, В, С.
а) В случае если только две точки В и С принадлежат некоторой плоскости, то совсем необязательно, что и точка третья, точка А, лежит в этой плоскости.
Поэтому, ответ в случае а) отрицательный, нет.
Если только две точки окружности принадлежат некоторой плоскости a, то все точки окружности остальные могут не принадлежать этой плоскости a. То есть ответ отрицательный.
б) В случае б) нам дано, что три точки А, В, и С окружности принадлежат плоскости a. Если эти точки различные, то через эти три различные точки, не проходящие через одну прямую, проходит плоскость, и притом только одна.
Эту плоскость назовем плоскостью a. Это в силу аксиомы №1.
Теперь докажем, что любая точка М окружности лежит в плоскости a.
Соединим М с А, получим точку Д. Вся прямая АД лежит в плоскости a, потому что две ее точки А и Д лежат в плоскости a. Значит, и точка М окружности лежит в плоскости a. Так можно доказать для любой точки окружности. Итак, в случае б) ответ утвердительный. То есть, если только три точки окружности лежат в некоторой плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости.
Задача №1.
Точки А, В, С и Д не лежат в одной плоскости.
а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?
б) Могут ли прямые АВ и СД пересекаться?
Ответ обоснуйте.
Дано: ДÏАВС
а) может ли х либо тройка точек из {A,B,C,D} лежать на одной прямой?
Ответ: нет, так как через эту прямую и 4 точку проходит плоскость, и все 4 точки будут лежать в этой плоскости, что недопустимо по условиям;
б) могут ли прямые АВ и ДС пересекаться?
Ответ: нет (по той же причине);
Итак, нам дано 4 точки. Через любые три из них А, В, и С можно провести плоскость, а тогда 4 точка Д не лежит в этой плоскости. Вот такое условие. Точки не лежат в одной плоскости. Теперь спрашивается: может ли какая-либо тройка точек из этих 4 точек лежать на одной прямой?
Ответ отрицательный, нет. Почему?
Если бы через три точки мы провели прямую, три точки лежат на одной прямой, то через эту прямую и 4 точку мы провели бы единственную плоскость. И тогда все 4 точки лежали бы в одной плоскости, что противоречит условиям.
Итак, в случае а) ответ отрицательный, и он обоснован.
б) Могут ли прямые АВ и СД пересекаться?
Ответ опять отрицательный, по той же причине. Поясним ее еще раз. Через прямые пересекающиеся проходит плоскость, значит, в этой плоскости содержались бы все 4 точки, что снова противоречит условию.
Итак, и в случае б) ответ отрицательный.
а) Вопрос: верно ли, что любые 3 точки лежат в одной плоскости?
Ответ: да.
Через 3 точки, если они не лежат на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну, в силу аксиомы А1.
б) Вопрос: верно ли, что любые 4 точки лежат в одной плоскости?
Ответ: нет.
Действительно, через 3 точки можно провести плоскость, а 4 точку можно взять и в этой плоскости, и вне нее. Значит, ответ отрицательный.
в) Вопрос: верно ли, что любые 4 точки не лежат в одной плоскости?
Ответ: нет.
Вот конкретный пример. Плоский четырехугольник, в плоскости этого четырехугольника лежат 4 точки. Так, в одной плоскости могут и 10, и 100 точек лежать, не только 4.
Итак, ответ на этот вопрос отрицательный, нет.
г) Вопрос: верно ли, что через любые 3 точки проходит плоскость, и притом только одна?
Ответ: нет
Чтобы его оправдать, достаточно привести пример.
Пример приведем. Вот 3 точки, лежащие на одной прямой. Ведь сказано через любые 3 точки, я взял 3 точки, но они лежат на одной прямой. Через них можно провести плоскость a, плоскость b и еще много плоскостей.
Подчеркнем, если бы было сказано «3 точки, не лежащие на одной прямой», то тогда ответ был бы другой.
Итак, мы видим, что здесь очень важно тщательно анализировать формулировку задачи.
Итак, мы еще раз подытожили наши знания о стереометрии, а именно: прокомментировали и три аксиомы, и два следствия из нее. И, кроме того, решили самые разнообразные задачи с использованием этих знаний.
Далее и аксиомы, и следствия будут использованы на следующих уроках при решении вопросов параллельности прямых и плоскостей.
