Данный текст представляет собой неотредактированную версию стенограммы, которая в дальнейшем будет отредактирована.
InternetUrok.ru
Геометрия. 10 класс
Глава 1. Аксиомы стереометрии и их следствия
Урок 4. Решение задач на применение аксиом и их следствий
(в параллелепипеде)
Тарасов В.А., учитель школы «Логос ЛВ»,
ст. преп. фак-та довузовской подготовки МИХТ
19.07.2010 г.
Применение аксиом стереометрии - задачи в параллелепипеде
Некоторые следствия из аксиом.
На прошлом уроке мы сформулировали и рассмотрели три аксиомы.
Первая аксиома утверждала, что через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость или проходит плоскость, и притом только одна.
Вторая аксиома утверждала, что если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит плоскости, т.е. плоскость проходит через эту прямую или прямая лежит в плоскости.
И третья аксиома утверждала, что если две разные плоскости a и b имеют общую точку, скажем точку М, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку М.
Вот такой смысл трех аксиом.
Решение задач на применение аксиом стереометрии и их следствий в параллелепипеде.
Как и в прошлый раз, мы сделаем краткий обзор наших знаний по стереометрии, т.е. еще раз повторим то, чем мы можем пользоваться при решении задач. А потом будем решать задачи на параллелепипед.
Все три аксиомы иллюстрируются тремя рисунками.
1) a=АВС
СÏАВ
Первый рисунок показывает, что, согласно первой аксиоме, через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
Важно, что точка С не принадлежит прямой АВ. Вот это главное – тогда существует единственная плоскость АВС, которая проходит через эти три точки.
2)
Вторая аксиома говорит, что если две точки А и В некоторой прямой принадлежат плоскости a, то все точки прямой принадлежат этой плоскости.
3)
И третья аксиома говорит, что если две различные плоскости a и b имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, т.е. на этой прямой и только на ней содержатся все точки, одновременно входящие и в плоскость a, и в плоскость b.
То есть из наличия только одной общей точки следует наличие общей прямой для первой и второй плоскости.
И теперь два важных следствия из этих аксиом. Они представлены на рисунках.
в)
Если точка М не принадлежит прямой А, то первая теорема утверждает: через точку М и такую прямую а проходит только одна плоскость. Важнейшее условие: здесь точка МÏа.
г) аÇb=М
И вторая теорема. Даны две прямые, которые пересекаются, т.е. имеют единственную общую точку М. Тогда существует единственная плоскость, которая проходит одновременно и через прямую а, и через прямую b.
Вот этими знаниями мы сейчас владеем и можем их использовать для задачи в параллелепипеде. А характер задач понятен.
Взаимное расположение точек, прямых и плоскостей.
Дано:
АВСДА1В1С1Д1 – параллелепипед
По какой прямой пересекаются плоскости:
1) АВС и ДД1С1
2) СС1В и АА1В
3) А1LM и ВСД?
Ответ: 1) ДС, 2) ВВ1, 3)АД.
Дан параллелепипед АВСДА1В1С1Д1.
Здесь очевидны точки еще. Прямая АА1 продлена и поставлена точка L.
Прямая АД продлена, поставлена точка К. Прямая LK лежит в плоскости АА1Д1Д, пересекает одно ребро в точке N, второе ребро в точке М. Это все пояснение к исходным данным.
Значит, от этого параллелепипеда, требуется узнать: по какой прямой пересекаются разные плоскости параллелепипеда?
1) плоскость АВС и ДД1С1. Ответом является: ДС. Почему?
Плоскость АВС – плоскость нижней грани. Плоскость ДД1С1 – плоскость боковой грани. У них общая прямая ДС, по ней эти плоскости пересекаются.
2) Вторая задача требует узнать, по какой прямой пересекаются плоскости СС1В и плоскость АА1В. Ответ: по прямой ВВ1. Пояснение: плоскость СС1В – это плоскость задней грани. Плоскость АА1В – это плоскость грани АВВ1А1. Они пересекаются по прямой ВВ1. ВВ1 – это общая прямая одной плоскости и второй плоскости.
И, наконец, третья задача требует найти, по какой прямой пересекаются плоскости А1LMи ВСД. Значит, ответом является прямая АД, пересекаются по прямой АД, и опять поясняем, почему.
Плоскость А1LM. Что это за плоскость? Это другое обозначение плоскости LAK или плоскости передней грани АДД1А1. Вот плоскость передней грани, таким образом, названа первая. А вторая плоскость? ВСД – это плоскость нижней грани. Они пересекаются по прямой АД. Прямая АД входит в первую грань, или можно так ее показать, и плоскость нижней грани АВСД.
Следующая задача для того же параллелепипеда.
Дано:
АВСДА1В1С1Д1 – параллелепипед
Назовите три разные плоскости, которые пересекаются:
4) в точке А
5) в точке С
Ответ: 4) АВС; АА1Д; АВВ1 5) СВД; СС1Д; СВВ1.
Пояснение: для пирамиды мы решали такие задачи. В вершине сходятся три плоскости. Почему? Первые две плоскости пересекаются по прямой линии. Вторые две плоскости пересекаются по второй прямой линии. Прямые пересекаются в точке. Значит, три плоскости могут пересекаться в одной точке. И спрашивается: в какой точке пересекаются три разные плоскости?
Ответ: в точке А пересекаются плоскости АВС – плоскость нижней грани. Плоскость АА1Д1 – плоскость передней грани. Плоскость АВВ1 – плоскость левой грани. Эти три плоскости пересекаются в точке А.
В точке С какие плоскости пересекаются? Ответ: первая плоскость СВД, т.е. это плоскость нижнего основания.
Вторая плоскость СС1Д1 и третья плоскость СВВ1.
Дано:
АВСДА1В1С1Д1 – параллелепипед
По какой прямой пересекаются плоскости АДД1 и В1NM?
Ответ: MN
И, наконец, еще одна задача на пересечение плоскостей для того же параллелепипеда.
Напомним, что точка К принадлежит прямой АД, точка L принадлежит прямой АА1. Прямой LK принадлежат точки М и N, которые пересекают, соответственно, ребро А1Д1 и ДД1. Это об исходных данных.
Спрашивается, по какой прямой пересекаются плоскости АДД1 и В1NM?
Происхождение точек MN мы повторили. Ответом является прямая MN.
Почему? Плоскость АДД1 – это плоскость передней грани.
Заметим, что в ней расположены и точка М, и точка N. Обе точки расположены в этой плоскости, значит, в этой плоскости по аксиоме расположена вся прямая МN. Это такова первая плоскость, которая содержит прямую MN, об этом надо догадаться. А вторая плоскость В1МN просто по определению содержит прямую МN. Значит, прямая МN является линией пересечения двух этих плоскостей.
Итак, мы рассмотрели применение аксиом стереометрии и следствие из них для решения задачи в параллелепипеде. А именно: задач на расположение точек, прямых и плоскостей.
Эти сведения будут использованы для решения других задач в следующих уроках.
