Данный текст представляет собой неотредактированную версию стенограммы, которая в дальнейшем будет отредактирована.
InternetUrok.ru
Геометрия. 10 класс
Глава 1. Аксиомы стереометрии и их следствия
Урок 3. Решение задач на применение аксиом и их следствий
(в пирамиде)
Тарасов В.А., учитель школы «Логос ЛВ»,
ст. преп. фак-та довузовской подготовки МИХТ
19.07.2010 г.
Применение аксиом стереометрии - треугольная пирамида
Cтереометрия, решение задач на применение аксиом стереометрии и их следствий в пирамиде. До сих пор мы рассматривали аксиомы стереометрии, следствие из них и поясняли их некоторыми простейшими задачами.
Сейчас мы для задач пирамиды, во-первых, обобщим все эти аксиомы и следствия и решим соответствующие задачи.
Первая аксиома утверждает: «Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна».
Рисунок
1) СÏАВ АВС=a
Рисунок поясняет смысл первой аксиомы. Если точка СÏАВ, то через три точки А, В, и С проходит плоскость, и притом только одна.
Напомним формулировку второй аксиомы: «Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в плоскости».
Рисунок иллюстрирует смысл второй аксиомы.
Есть плоскость a, есть прямая А. Известно, что точка А и точка В принадлежат плоскости a. Согласно второй аксиоме, все точки прямой А, т.е. вся прямая А, принадлежат плоскости a.
Напомним третью аксиому: «Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки плоскостей, т.е., плоскости пересекаются по прямой».
И третью аксиому еще раз поясним рисунком, который должен врезаться в память. Есть плоскость a, есть плоскость b. Известно, что, во-первых, они разные, не совпадающие, и что они имеют общую точку М.
Третья аксиома утверждает, что они имеют прямую, на которой лежат все их общие точки. Прямую мы обозначили за l, т.е. плоскости a и b пересекаются по прямой l, проходящей через точку М.
Мы видели, что из этих аксиом, непосредственно вытекают два следствия, две важные теоремы.
Первая из них: «Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна».
Поясняющий рисунок.
МÏaÞ
Есть прямая, точка М не лежит на данной прямой. Теорема утверждает, что существует такая единственная плоскость a, которая проходит и через прямую А, и через точку М (вот такова запись этого факта), и что эта плоскость a – единственная.
Вторая теорема: «Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна».
И для этой теоремы еще раз сделаем поясняющий чертеж.
Вот плоскость a. Как она получилась?
Имеется прямая а и прямая b, они пересекаются, т.е. имеют единственную общую точку М.
Теорема утверждает, что существует единственная плоскость a – такая, которая проходит и через прямую а, и через прямую b, что записано вот таким образом. И такая плоскость единственная.
Итак, мы сделали обзор накопленных нами знаний по стереометрии. А именно: всех аксиом и двух следствий из них. Теперь применим их для задач в пирамиде. Дана пирамида АВСД, пирамида треугольная.
Типовые задачи на нее.
Дано:
треугольная пирамида АВСД
Найти, по какой прямой пересекаются: а) плоскости АВД и АСК
б) плоскости АДС и МВС
Ответ: а) АВ, б) АС.
Первая группа задач: по какой прямой пересекаются плоскости АВД и АСК. Остальные задачи из этой серии о других гранях.
Итак, решаем первую задачу.
Речь идет о двух плоскостях АВД и АСК. Плоскость АВД понятна, плоскость грани. А что за плоскость АСК?
Здесь надо понять, что это плоскость АВС, только по-иному названная. Почему? Точка К лежит на прямой ВN. Ее пересекает прямая АС, а через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.
И вот названия этой одной и той же плоскости: АВС, АМС, АLC, АСК. Итак, в первой задаче на самом деле речь идет о пересечении плоскостей АВД и АВС. Эти плоскости пересекаются по прямой АВ. Почему? Потому что и точка А, и точка В принадлежат двум означенным плоскостям.
Таково решение первой задачи. Единственная здесь неожиданность – это узнать в плоскости АСК плоскость АВС.
Еще раз повторяю смысл всего доказательства. Через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость, эта плоскость имеет много названий. Для этого нужно только три точки иметь, которые не лежат на одной прямой. Одно название АСК, второе название АВС.
Значит, эта задача решена.
Вторая задача б)
Найти, по какой прямой пересекаются плоскости АДС и МВС.
Давайте сразу скажем ответ и его обоснуем.
Ответ: по прямой АС.
Теперь почему? Плоскость АДС – это понятная плоскость, это грань, боковая грань пирамиды АДС. Рассмотрим, что за плоскость МВС. Три точки: и М, и В, и С – лежат в плоскости нижнего основания АВС. Так что вторая плоскость – это плоскость АВС. Значит, линией пересечения является действительно прямая АС. Потому что и точка А, и точка С лежат одновременно в двух плоскостях АВС и АДС.
Следующая задача.
Дано:
треугольная пирамида АВСД
Найти, по какой прямой пересекаются:
в) плоскости ВДК и АДС
г) плоскости МДN и АВД
Ответ: в) ДN; г) ДМ.
Найти, по какой прямой пересекаются плоскости ВДК и АДС.
Как и ранее, сразу укажем ответ – по прямой ДN – и обоснуем его.
Плоскость ВДК, она совпадает с плоскостью ВДN. Вот это первая плоскость, вторая плоскость АДС. В плоскости ВДN и в плоскости АДС содержатся и точка Д, и точка N. Значит, линия пересечения двух плоскостей – прямая ДN.
Следующая задача г) аналогичная.
Найти, по какой прямой пересекаются плоскости МДN и АВД.
Опять укажем ответ – по прямой ДМ – и обоснуем его.
Плоскость МДN, покажем ее: МДN. Вот это первая плоскость, и вторая плоскость АВД. Обе эти плоскости содержат точку М и точку Д.
Значит, их линия пересечения – прямая ДМ.
Предыдущая серия задач на треугольную пирамиду касалась пересечения различных, но двух плоскостей.
Следующие задачи будут посвящены пересечению трех плоскостей.
Дано:
Треугольная пирамида АВСД
Назовите три разные плоскости, которым принадлежат:
а) точка А
б) точка В
в) точка N
Ответ: а) АВД, АСД, АВС.
б) ВАС, ВАД, ВСД.
г) NВД, АВС, NМД.
Назовите три разные плоскости, которым принадлежит точка А.
Точка А принадлежит следующим трем различным плоскостям:
АВД – первая плоскость, АСД – вторая плоскость и АВС – третья плоскость.
Пояснение: означенные три плоскости попарно пересекаются. Пересечение двух плоскостей есть прямая линия, пересечение вторых двух плоскостей – прямая линия. Так вот, пересечение всех трех плоскостей – это точка А.
В этом смысл этой задачи.
Следующая задача б).
Назовите три разные плоскости, которым принадлежит точка В. Аналогично точка В принадлежит следующим плоскостям: ВАС – нижние грани, ВАД – одной боковой грани и ВСД – второй боковой грани. Это вершины пирамиды. Здесь три плоскости очевидны.
Следующая задача г) третья, где плоскости не совсем очевидны.
Назовите три разные плоскости, которым принадлежит точка N.
Точка N– это внутренняя точка отрезка АС. Каким трем различным плоскостям принадлежит точка N?
Во-первых, плоскость NВД – первая плоскость, вторая плоскость – АВС, в ней содержится точка N, и третья плоскость – NMД. Вот три различные плоскости, которые пересекаются в точке N.
Дано:
Треугольная пирамида АВСД.
Через середины N, М, L сторон треугольника АВС проведена плоскость.
Совпадает ли она с плоскостью треугольника?
Ответ: совпадает, т.к. АВС = плоскость МNL.
Для той же пирамиды АВСД известно, что точки N, L, М середины сторон треугольника АВС. Спрашивается: совпадает ли плоскость МNL с плоскостью треугольника АВС.
Ответ: совпадает. Почему?
Обоснование. Рассмотрим плоскость АВС. Точка М принадлежит этой плоскости, потому что этой плоскости принадлежит вся прямая АВ, на которой лежит точка М.
Аналогично заключаем, что точка Nпринадлежит плоскости треугольника и точка L принадлежит плоскости треугольника. Через три точки М, L и N можно провести единственную плоскость. Через три точки А, В, С тоже можно провести единственную плоскость. И эта плоскость одна и та же.
Ответ: совпадает.
Дано: ДÏАВС
Каково взаимное расположение плоскостей, проходящих через прямые:
а) АВ и ВС, СД и ВС
б) АВ и ВС, АД и СД
Ответ: а) пересекаются по прямой ВС; б) пересекаются по прямой АС.
Точки А, В, С, Д не лежат в одной плоскости.
Каково взаимное расположение плоскостей, проходящих через прямые:
АВ и ВС, СД и ВС?
Первая плоскость заштрихована, вторая плоскость заштрихована.
Очевидно, что они пересекаются по прямой ВС.
Использована теорема о том, что через две пересекающиеся прямые, проходит плоскость, и притом только одна. Это плоскость АВС.
Через вторые две пересекающиеся прямые СД и ВС проходит плоскость, и притом только одна. Это плоскость ВСД. Они пересекаются по прямой ВС. На чертеже это наглядно видно.
Аналогичная задача, точка Д Ï?АВС.
Каково взаимное расположение плоскостей, проходящих через прямые: АВ и ВС – одна плоскость, АД и СД – вторая плоскость.
Здесь очевидно, что эти плоскости пересекаются по прямой АС.
Почему?
АВ и ВС, две прямые пересекаются. Через них проходит единственная плоскость, плоскость АВС.
АД и СД – эти две прямые имеют общую точку Д, пересекаются, значит, через них, через прямые АД и СД проходит единственная плоскость АДС.
Эти плоскости пересекаются по прямой АС. Это очевидно и из написания. Точка А принадлежит обеим плоскостям. Точка С принадлежит обеим плоскостям.
Ответ: означенные плоскости пересекаются по прямой АС.
Итак, стереометрия помогла нам в решении задач в треугольной пирамиде.
Далее мы применим те же знания для решения задач в параллелепипеде.
