Измерение отрезков. Напомним определение: отрезком называется часть прямой, которая заключена между двумя ее точками.

Мы знаем определение и умеем сравнивать отрезки. Если дан один отрезок и дан второй отрезок MN, то мы можем определить, равны отрезки, либо один больше другого.

Мы знаем, совмещением определяем, что отрезок AB>MN. Теперь мы хотим знать, на сколько один отрезок больше другого отрезка. Но для этого надо измерять отрезки, уметь измерять отрезки. Что значит «найти длину отрезка»?

 

Это измерить его и сказать, сколько единичных, эталонных отрезков содержится в данном отрезке, за эталонный отрезок принимается отрезок такой длины: 1/40000000. Если взять такую часть от земного меридиана, то мы получим отрезок длиною в 1 метр (м). Единица измерения может быть не только метр, но километр (км), миллиметр (мм), сантиметр (см) и т.д. Между этими единицами устанавливается определенная взаимосвязь: вот если есть метр, то если взять 1000м=1км.

 

Итак, отрезки измеряются в км, м, см, дм и т.д. А с помощью, каких измерительных приборов все это делается?

Во-первых, с помощью известной нам линейки или рулетки. Таким образом, для того чтобы узнать, сколько сантиметров, миллиметров содержится в данном отрезке, надо приложить линейку и считать полученный результат.

 

Еще раз напомним, что важнейшим правилом установления, равны отрезки либо не равны, является факт наложения этих отрезков при совмещении.

 

Итак, мы знаем те единицы, с помощью которых измеряются отрезки. Теперь мы знаем не только тот факт, что отрезок AB>MN, но и можем узнать, на сколько данный отрезок больше либо меньше другого отрезка. Для того чтобы разъяснить это, решим соответствующие задачи.

 

Задача №1

 

1) Начертите прямую, с помощью масштабной линейки отметьте на этой прямой точку С, такую, что АС=2 см. Сколько таких точек можно отметить на прямой АВ?

 

Итак, первая задача. Прямая АВ. Заметим, что прямая обозначается либо малой буквой а, либо двумя большими буквами АВ. Отметьте на этой прямой точку С, такую, что АС=2 см. Сколько таких точек можно отметить на прямой АВ?

Возьмем, в эту сторону линейкой отметим 2 см, получим точку С, вот эта длина отрезка пусть будет 2 см. И скажем, что одна точка, но это будет неверно. Это стандартная ошибка, и эта простенькая задача подтверждает еще раз факт, что в некоторых задачах, в частности, в геометрических, ответ может быть не единственный.

 

В чем здесь дело? Точку С можно отложить сюда, а можно отложить в эту сторону.

Правильный чертеж должен быть следующий: вот точка А, вот точка В, которые задают прямую, но сказано, что длина отрезка АС=2 см, 2 см могу отложить в эту сторону, и получу точку С, но 2 см могу отложить и в эту сторону, и получу точку С1. Итак, ответ на вопрос: Сколько таких точек можно отметить на прямой АВ? Ответ: две.

 

Комментарии: простая задача, но имеет два решения, и это всегда надо иметь в виду, вот в этом году на ЕГЭ планиметрическая задача имела два, а иногда и три решения. Будем привыкать к этому обстоятельству.

 

Задача № 2

 

2) Точка В делит отрезок АС на два отрезка, найдите длину отрезка АС, если АВ=7,8 см и ВС=25 мм.

 

Попытаемся расшифровать задачу, сделав соответствующий чертеж. Отрезок АС, и точка В делит его на два отрезка. Один из них имеет длину 7,8 см, а второй ВС имеет длину 25 мм. Нужно найти длину отрезка АС.

 

Задача несложная, в чем же здесь подвох?

В том, что разные единицы измерения. Мы сразу напишем, что отрезок АС=АВ+ВС.

И выясним, что 7,8 см переведем в миллиметры. АС=АВ+ВС=78 мм+25 мм=103 мм. Слово «миллиметр» можно не писать, но, во всяком случае, длину АС мы найдем. АС=103 мм. Собственно, ответ готов, а в миллиметрах либо в сантиметрах – это уже дело вкуса.

 

Давайте здесь прокомментируем это обстоятельство и очень важное соотношение. Напишем, что точка ВÎАС тогда и только тогда, когда АВ+ВС=АС. Факт очевидный, но очень важный. Если точку В мы слегка приподнимем, и она не будет лежать на отрезке АС, вот точка В будет здесь, то сумма вот этих двух отрезков будет больше (мы увидим), чем отрезок АС. Пока же мы констатируем важный факт: точка В лежит внутри отрезка АС тогда и только тогда, когда длина АС равна сумме длин отрезков АВ и ВС. Здесь было дано, что точка В лежит внутри отрезка АС, значит, длина отрезка равна сумме двух отрезков. Нужно только согласовать единицы измерения.

 

Задача №3

 

3) Точки В, Д, М лежат на одной прямой. Известно: ВД=7 см, МД=16 см. Каким может быть расстояние ВМ?

 

Здесь опять следует рассмотреть два случая взаимного расположения точек на прямой. Вот прямая а и та же самая прямая а. Точки В, Д, М могут располагаться так: вот точка В, вот точка Д и вот точка М. Сказано, ВД=7 см, МД=16 см. Чему равно ВМ?

 

Итак, первый случай. ВМ=7+16=23 см. И первый ответ ВМ=23 см., таково расположение точек, которое полностью подчиняется условиям задачи.

 

Может быть второе расположение? Может! Вот точка Д, такое же, как здесь, точка В и точка М, по-прежнему ВД, вот длина ВД=7 см, МД=16 см, каково теперь вот это расстояние?

 

Во втором случае ВМ=16-7=9 см, ВМ=9 см.

Видите, опять ответ не единственный, геометрическая конструкция из трех точек разная. Важно увидеть два ответа.

 

Следующая задача

 

4) Точка С – середина отрезка АВ. Нарисуем отрезок АВ, и точка С – его середина. Значит, вот эта длина равна вот этой длине по определению, что такое середина.

Длина отрезка АВ=64 см. Сразу на чертеже можно нарисовать, что это 32 см, и вот этот отрезок 32 см. На луче СА отмечена точка Д, так что СД=15 см. Здесь четко сказано, что на луче СА отмечено. Вот он, луч, не может с этой стороны точка быть, она должна быть на луче, и причем известно, где она. На луче СА отмечена точка Д, так что ДС=15 см.

 

Найти длины отрезков ВД, ДА.

Вот здесь, в отличие от предыдущего случая, нам указан луч, на котором отложена точка Д. И поэтому мы однозначно находим, что ВД состоит из двух отрезков: один длиною 32 см, а второй длиною 15 см. ВД=32+15=47 см – длина первого искомого отрезка.

ДА=32-15-17 см.

 

Итак, мы рассмотрели случай, когда искомая точка может занимать два различных положения. И надо углядеть бы эти два различных случая. А здесь новая точка занимает фиксированное положение. Авторы задали фиксированное положение точки Д единственное тем, что указали, на каком луче эта точка находится и на каком расстоянии от вершины этого луча.

 

Задача №5

 

5) Лежат ли точки А, В и С на одной прямой, если АС=5 см, АВ=3 см и ВС=4 см?

 

Итак, три отрезка, длины каждого даны. Спрашивается: концы их лежат на одной прямой или нет? Ключ к решению задачи мы уже имели. Вот если точка А, точка В и точка С лежат на одной прямой, так это происходит тогда и только тогда, когда самый длинный отрезок равен сумме двух других: АС=АВ+СД.

 

Вот ключ к решению, проверяем. Самый длинный отрезок – это 5 см. Вот А, вот В, а 3+4=7>5, значит, не лежат на одной прямой.

Это уже вполне достаточно, это ответ на вопрос, но все-таки построим эту точку.

Эта точка, видимо, расположена где-то здесь, на расстоянии 3 см.

Если АВ=5, то вот эта точка на расстоянии 3 см от одной точки, и на расстоянии 4 см от другой точки. И это точка С.

 

Итак, вот ключ к решению задачи: самый большой отрезок по длине должен быть равен сумме длин всех остальных отрезков. У нас это не происходит, поэтому ответ: нет, не лежат.

 

Итак, мы рассмотрели измерение отрезков и решили соответствующие задачи.

Далее будем рассматривать измерение углов.