Данный текст представляет собой неотредактированную версию стенограммы, которая в дальнейшем будет отредактирована.
InternetUrok.ru
Геометрия. 7 класс
Глава 1. Начальные геометрические сведения
Урок 5. Измерение углов
Тарасов В.А., учитель школы "Логос ЛВ", ст. преп. фак-та довузовской
подготовки МИТХТ
15.06.2010 г.
Измерение углов
Измерение углов.
На прошлом уроке мы занимались вопросом измерения отрезков. Выяснили, что измерить отрезок – это найти его длину. А что значит найти его длину? Это значит сравнить его длину с эталонным отрезком. Например, с метром. Важно, что равные отрезки имеют равные длины и наоборот. Если мы вдруг выяснили, что два отрезка имеют одну и ту же длину, то это значит, их можно совместить наложением, и эти отрезки равны. То же самое мы должны рассмотреть и для углов.
Напомним, что угол – это часть плоскости, которая ограничена двумя лучами ОА и ОВ, исходящими из одной точки. Что означает измерить величину этого угла, и какими единицами измеряется величина угла?
Для этого берут развернутый угол ОАВ и величину вот этого угла развернутого, угол ОАВ считают за 180°. Этот угол я могу поделить пополам и получу угол АОД. Угол АОД является биссектрисой развернутого угла. Этот угол и этот угол одинаковые, значит, он равен
Сразу дадим определение:
ÐАОД= 90° называется прямым.
Угол АОД прямой. Угол АОД тоже можно поделить пополам, еще одну биссектрису провести АОL. Угол АОL– это половина прямого угла. Значит, ÐАОL= 90° = 45°
Любой угол АОL, который меньше 90°, называется острым углом.
А до градусов-то мы доберемся или нет? Было 180 °, 90 °, 45°, значит, вот этот уголок тоже 45°. А вот этот уголок был 90°, значит, весь угол был 180°.
Так вот, если мы развернутый угол поделим на 180 частей, то получим угол АОК в 1 °.
ÐАОК=1°, если развернутый угол разделен на 180 одинаковых частей.
Итак, мы рассмотрели, что такое градус, сколько градусов в развернутом угле, сколько градусов в прямом угле, в остром угле, прямой – острый.
И давайте тупой угол рассмотрим. Вот развернутый угол АОВ. А мы рассмотрим угол АОК. Возьмем его, например, 135° 90°<ÐАОК<180°.
Такой угол называется тупым. Угол АОК – тупой угол.
Итак, единица измерения угла – 1°, это 1/180 часть развернутого угла. И через эту единицу можно измерять любые углы – острые, тупые, прямой угол содержит ровно 90 ° .
Существуют другие единицы измерения угла. Это, во-первых, одна минута, которая есть 1¢=1°, то есть 60¢=1°. Это, конечно, совсем маленький угол. 1° нарисовать трудно, это маленький угол, а его на 60 частей поделить, тогда получим угол в одну минуту. А вот угол в одну минуту еще разделить на 60 частей, получим угол в одну секунду, 60²=1¢.
Итак, довольно большие углы измеряются в градусах, маленькие углы измеряются в минутах, и совсем маленькие углы измеряются в секундах. Например, в астрономии, далеко до Солнца, углы совсем маленькие, вот единица измерения углов.
Итак, углы равные, если они имеют одно и то же измерение. Если теперь мы имеем угол АОВ и он, допустим, имеет 60°, второй угол MQN, он тоже имеет 60°.
Это означает, что Ð АОМ= ÐMQN. А что такое «фигуры равны»? Это значит, что их можно наложить друг друга совмещением, совместить наложением, т.е. я буду накладывать один угол на второй, так они совместятся и станут неразличимыми.
И, наконец, если мы имеем угол АОВ и проведен луч ОЛ, то мы получаем два угла. Один угол, второй угол и угол исходный АОВ= ÐАОЛ+ÐЛОВ.
Так, познакомившись с процессом измерения углов, с единицами, через которые измеряются углы, надо решить соответствующие задачи, чтобы закрепить пройденный материал.
Задача№1
Луч ОЕ делит ÐАОВ на два угла. Сразу нарисуем исходный угол АОВ и луч ОЕ.
Найти угол АОВ, если:
а) ÐАОЕ= 44°
ÐВОЕ= 77°
И второй случай. Здесь чистые градусы, складывать, вычитать будем градус.
А во втором случае не так:
б) Ð АОЕ= 12° 37¢,
ÐВОЕ= 108° 25¢
Итак, условие есть.
Решение:
Ясно, что угол АОВ – это сумма двух углов, ÐАОЕ и ÐВОЕ. Складываем в первом случае
44° + 77° =121°
Итак, ответ в первом случае есть.
а) Ответ: а) 121°
В случае б) надо сложить опять эти два угла, но здесь минуты есть. Значит, напишем так: 108° 25¢+ 12° 37 ¢. Вот такие числа надо сложить. Но давайте вспомним, что 1°=60¢, что, скажем, 68 минут – это 1° и 8¢. Вспомнили.
Тогда складываем: 25¢
+37¢
62¢ = 1° 2¢
Чтобы мы вспомнили сложение такого рода, видимо, и дана эта задача. Значит, здесь 2¢ 1° переносим сюда – столько-то, градусов, столько минут.
Ответ: б) 121 ° 2¢
Итак, в задачах на сложение углов мы либо складываем градусы, либо складываем и градусы, и минуты. Помним о связи между градусом и минутой.Итак, первая задача решена.
Задача №2
Луч ОС делит угол АОВ на два угла. Тоже сначала нарисуем луч. Угол АОВ, он разделяется лучом ОС на два угла. Найдите угол СОВ, вот этот угол надо найти, если известно, что ÐАОВ=78°, а угол АОС на18° меньше угла ВОС. Вот этот угол на 18° меньше вот этого угла. Весь угол 78°. Углы складываются, если я сложу два угла, то я получу 78°.
Но как их сложить? Сказано, что угол ОАС на 18° меньше угла ВОС.
Пусть Ð ВОС= х. Вот этот угол мы принимаем за х°. Его нам нужно найти х°, но тогда угол СОВ на 18° меньше, он равен х-18 °
Получаем уравнение х+х-18=78. Этот угол плюс вот этот угол равен этот угол.
Еще раз прочитаем: найти угол СОВ, если весь угол 78°, а искомый угол АОС на 18 меньше угла ВОС, причем ВОС – это искомый угол.
Если помним, в алгебре мы проходим тему, что такое математический язык, с помощью которого мы устную речь или письменную речь, русский язык переводим на язык математический. Составляем математическую модель, то есть уравнения, и эти уравнения решаем. То же самое происходит и в геометрии: мы описали ситуацию математическим языком, т.е. ввели переменную, через нее выразили второй угол и получили связь между углами. Получили уравнение – первый этап математического моделирования выполнен.
Дальше работа с математической моделью.
2х=78+18
2х=96
х= 96/2=48
х=48
Ответ: ÐВОС был искомым, мы его обозначили за х, значит, ÐВОС= 48°
Задача №3
Угол АОВ является частью угла АОС. Нарисуем чертеж. Угол АОС и угол АОВ его часть.
Дано: Ð АОС=108°, т.е. весь вот этот угол=108° Угол тупой.
Еще известно, что угол АОВ в три раза больше, чем угол ВОС ÐАОВ=3ÐВОС.
Найти: угол АОВ.
Итак, известен угол – 108 градусов. Он разбит на два неизвестных угла, но связь между этими неизвестными углами известна. Один угол в три раза больше другого. Поэтому решение с чего начнем? С введения переменной. Пусть ÐСОВ= х градусов, вот этот угол пусть будет х°, но если ÐСОВ= х °, то угол АОВ в три раза больше, тогда ÐАОВ= 3х. Значит, вот этот угол 3х.
А в сумме они дают известный угол, уравнение налицо: 3х+х=108°
Итак, получили математическую модель. Следующий этап – работа с математической моделью, т.е. найти х.
4х=108°
х==27
х=27
И последний этап – ответ на вопрос задачи. Так требует метод моделирования. Три этапа. Ответ на вопрос задачи. Вопрос задачи: найдите ÐАОВ. ÐАОБ=3х=3 .27=81°
Ответ: 81°
И последняя задача.
Задача №4
Дан рисунок. Развернутый угол АОД. Имеется угол АОВ и угол ДОС.
Дано: Ð АОВ= ÐДОС.
То есть одинаковыми дужками обозначим равные углы. Вот все, что дано и прокомментировано.
Вопрос: А есть ли еще на этом чертеже равные углы?
Ответ: Есть.
Если к этому углу я прибавлю вот этот, то получу угол АОС, а если к такому же углу я прибавлю такой же угол, то получу угол ДОВ.
Итак, все же докажем, что угол АОС равен, этот угол обозначим 1, этот угол тоже будет за 1, а вот этот угол обозначим за 2.
Значит,
Ответ на вопрос задачи: есть ли еще на чертеже равные углы?
Ответ: есть. И указать, какие углы. Угол АОС и угол ДОВ.
Итак, мы рассмотрели измерение углов и решили соответствующие задачи.
В дальнейшем, конечно, измерение и отрезков, и углов будет использоваться очень активно.
Спасибо!
спасибо,что к видео уроку прилагается конспект
7:46, вместо угла AOM, надо было написать угол AOB
Где пройти тесты??