В прошлый раз мы рассматривали смежные углы и выясняли, что сумма смежных углов равна 180°.
Рассмотрим конкретный частный случай, когда один из углов смежных a=90°. Мы даже решали такую задачу. Вот один из смежных углов 90°, какой будет смежный второй угол? Тоже 90°.
(подробнее в видеоматериале)
Итак, тогда рассмотрим прямую АС, которая пересекается с прямой BD, и пусть хотя бы один из углов равен 90°. Тогда другой вертикальный ему угол тоже равен 90°. Вот таким квадратиком обозначаются часто 90°. Тогда третий угол, вот этот угол, как смежный угол тоже равен 90°, и этот угол равен 90°. А точка пересечения – это точка О.
Так вот, если при пересечении прямых мы имеем хотя бы один угол, а значит и все углы прямые, то такие прямые называются перпендикулярными.
Итак, если ÐAOB=90°, то и второй ÐBOC=90°. Почему? По свойству смежных углов, их сумма 180°. Кроме того, ÐCOD=90° либо по свойству смежных углов ВОС и СОД, либо по равенству вертикальных углов ВОА и СОД. И последнему углу некуда деваться, ÐDOA=90°. И объяснения можно дать одно и второе: 1) если этот угол 90°, то и смежный с ним 90°, 2) вот этот угол 90°, значит, и вертикальный с ним 90°.
Итак, если при пересечении прямых хотя бы один из углов равен 90°, то все остальные равны 90°. Такие прямые называются перпендикулярными. AC перпендикулярна BD. Этот факт записывается следующим образом, AC^BD.
Вот ^ знак перпендикулярности. Или, по-иному, наоборот, прямая BD^AC.
Итак, еще раз вспомним определение.
Две прямые называются перпендикулярными, если при их пересечении хотя бы один угол равен 90°. Или все углы равны 90°.
Мы видим, что из равенства 90° одного из углов вытекает равенство 90° всех остальных углов.
Итак, мы рассмотрели пересечение двух прямых под прямым углом.
Далее рассмотрим прямую, и пусть ее пересекают две прямые под прямым углом. Точка Р, точка Q, прямая АА1, прямая ВВ1.
Теорема такая: две прямые, перпендикулярные третьей, не пересекаются.
Если Ð
(подробнее в видеоматериале)
APQ=90°, но мы знаем, что тогда все углы по 90°, все углы будут по 90°Ð
(подробнее в видеоматериале)
BQP=90°, тогда все остальные углы по 90°.
Этот факт означает, что прямая АА1^РQ.
Вот этот факт ÐBQP=90° означает что прямая ВВ1^PQ.
А из всего этого, теорема говорит, что прямые, две прямые, перпендикулярные третьей, не пересекаются. Значит, прямая АА1 и ВВ1 не пересекаются.
Напомним, мы говорили на первых уроках о взаимоотношениях между прямыми: либо прямые пересекаются и имеют тогда только одну общую точку, разные прямые могут иметь только одну общую точку, либо не имеют ни одной общей точки, то есть не пересекаются. Либо пересекаются, либо не пересекаются. Если пересекаются в одной точке. Вот эти прямые, которые перпендикулярны одной и той же третьей прямой, не пересекаются.
Доказательство. Доказательство тем же методом от противного. Пусть прямая первая AA1и прямая вторая ВВ1 все же пересекутся, ухитрятся где-то пересечься в точке М. Перегнем тогда верхнюю полуплоскость от прямой AP. И совместим ее с нижней полуплоскостью. Так как углы равны, то луч PAMпойдет по лучу PA1, где-то здесь будет M1. Луч QBMпойдет по лучу QB1M. То есть точка М совместится с точкой M. Получили явное противоречие. Через точки М и M1проходят две различные прямые. Но мы знаем аксиому, что через любые точки, М, и M1 в том числе проходит только одна прямая. Итак, получили противоречие.
Мы предположили, что два перпендикуляра к одной прямой пересекаются, получили противоречие, значит, наше предположение неверно и верным является следующее утверждение: прямые AA1 и ВВ1 не пересекаются.
Итак, реализовался второй случай взаимоотношения прямых: прямые либо пересекаются в одной точке, если они различны, либо не имеют общих точек. Так вот еще раз мы доказали, что два перпендикуляра к одной прямой не имеют общих точек.
Задача. Дан ÐAOB=90°. Луч OC рассекает его на два угла. Найдите угол между их биссектрисами.
Рассматриваем условия, для чего рисуем ÐAOB=90°. Прямые перпендикулярны, угол 90°. Сказано, что луч ОС рассекает данный угол на два угла.
Обозначим ÐAOС=a
(подробнее в видеоматериале)
, вот этот угол a, а ÐBOC=β. Если этот угол a, а этот угол b, то по условию α+ β=90°. Это мы просто анализируем в понятных нам обозначениях условия задачи.
(подробнее в видеоматериале)
Дальше в условии говорится, что для первого угла, для угла BOC проведена биссектриса OL. ОL – биссектриса угла
ВОС. Проведена вторая биссектриса ОК. Значит, OK – биссектриса ÐAOC.
Что требуется найти?
Найти угол между биссектрисами, то есть найти ÐLOK.
Решение.
Расшифровываем условия задачи. Если этот угол b, то этот угол , и этот угол .
Если это угол α, биссектриса рассекает его на два угла, то получаем один угол и второй такой угол . А нам нужно найти ÐLOС, т.е. одна половина и вторая половина ÐLOС = + ==
Заметим, мы a не знаем, β не знаем, но их сумму мы знаем. Сумма – это весь исходный угол, он равен 90°. Значит, = Ответ: 45°.
Итак, был дан ÐAOB. Умолчим, что он равен 90°, он равен какой-то величине φ. Его рассек луч OCна два угла. И в этих углах проведены биссектрисы. Требуется найти угол между биссектрисами. Тот факт, что этот угол был 90°, на самом деле никакого существенного значения не имеет. Если бы он был равен 100°, 80°, мы бы получили угол, равный половине. Это очень важный факт. Биссектрисы, оказывается, позволяют находить многие углы. Это была первая задача.
Дальше.
(подробнее в видеоматериале)
Прямая а пересекает сторону угла А в двух точках, P и Q. Могут ли прямые AP и AQ быть перпендикулярными прямой а? Видимо хотят понять, понимаем ли суть пройденного материала. Вот угол А и вот прямая, которая в точках Р и Q рассекла этот угол. Это прямая а в точках Р и Q рассекла стороны угла. Спрашивается: могут ли быть прямые AQи АР перпендикулярны к прямой а? Возможно ли, что АQ^a? Конечно, можно. Я могу провести прямую так, что она будет перпендикулярна вот этой прямой, может. А можно ли отдельно, что прямая AP будет, она одна перпендикулярна а? Можно, конечно. Вот я могу провести прямую, перпендикулярную а. А могут ли одновременно и одна прямая, и вторая прямая быть перпендикулярными прямой а? Ответ: нет. Почему?
По теореме. Какую теорему мы доказывали? Что два перпендикуляра к одной прямой не имеют общих точек. Вот была бы у нас прямая а, вот была бы на ней точка Q и была бы на ней точка Р. Так вот одна перпендикулярная прямая и вторая перпендикулярная прямая к одной и той же прямой не имеют общих точек. А эти прямые имеют общую точку. Значит, если мы предположим противное, то получим противоречие. Ответ: нет, не имеют.
(подробнее в видеоматериале)
Третья задача. Через точку А, не лежащую на прямой а, проведены три прямые, пересекающие прямую а. Прямая а, точка А вне прямой, проведена одна прямая, вторая прямая и третья прямая, которые пересекают, скажем, в точках H, B, C.
Докажите, что по крайней мере две из них не перпендикулярны к прямой а.
Из точки A можно провести только один перпендикуляр к прямой a. Если бы вторая прямая была перпендикулярна к прямой a, то по только что доказанной теореме эти перпендикуляры не пересекались бы, а они пересекаются. Итак, из точки A только один перпендикуляр. Если он перпендикулярен, то как минимум две другие не перпендикулярны a. В других случаях может быть, что все три прямые проведены так, что ни одна из них не образует угол 90° к прямой a. Если только одна образует, значит, остальные уже не образуют. Доказательство есть.
(подробнее в видеоматериале)
Следующая задача. Докажите, что биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.
Итак, мы изучали вертикальные углы. Например, эти вертикальные углы– вертикальные. Вот биссектриса и вот биссектриса. Скажем, L, O, K.
Мы знаем, что ÐLOK=180° развернутый. Из следствия, которое мы доказали сразу после двух теорем. Значит, LOK – это одна и та же прямая.
(подробнее в видеоматериале)
Следующая задача. Докажите, что если биссектрисы углов ABC и CBD перпендикулярны, то точки A, B,Dлежат на одной прямой. Расшифровываем условия задачи. Вот есть один угол АВС. Вот его биссектриса. Стало быть, этот угол , то этот угол тоже
Это биссектриса, скажем АL. Дальше, имеется угол ДВС. Имеется его биссектриса. Скажем, это биссектриса BK. Значит, если вот этот угол, то этот угол тоже .
По существу эта задача требует для нас второго доказательства нашего следствия. Нам дано в этой задаче, что угол между биссектрисами ÐLBK=90°. Нам нужно доказать, что точки A, B, D принадлежат некой одной прямой а. По существу надо доказать, что ÐDBA – развернутый и равен 180°. Вот, что дано, вот требуется доказать, теперь доказательство.
Доказательство: Угол , этот угол между биссектрисами – прямой по условию. Значит, °.
Откуда °. Значит, вот угол a, вот угол b.
Итак, по существу мы доказали, что ÐDBA=180° и прямые AB и DBявляются дополнением друг друга, т.е. точки A, B, Dпринадлежат одной прямой а, что и требовалось доказать.
Итак, мы рассмотрели смежные углы, вертикальные углы. Доказали две важные теоремы. Сумма смежных углов равна °. Вертикальные углы равны. Мы доказали следствия из этих теорем и решили соответствующие задачи, в которых активно использовались свойства означенных углов.
Спасибо!
Спасибо