Данный текст представляет собой неотредактированную версию стенограммы, которая в дальнейшем будет отредактирована.
InternetUrok.ru
Геометрия. 7 класс
Глава 1. Начальные геометрические сведения
Урок 8. Решение задач
Тарасов В.А., учитель школы "Логос ЛВ", ст. преп. фак-та довузовско
подготовки МИТХТ
15.06.2010 г.
Геометрические фигуры - прямая, угол, развернутый угол, теорема о вертикальных углах, уравнение окружности
Решение задач по теме.
Вначале сделаем обзор основных сведений по теме. Геометрия изучает свойства геометрических фигур. Любая геометрическая фигура – это совокупность определенных точек.
Через две точки А и B можно провести только одну прямую. Прямая обозначается a. Часть прямой, заключенная между двумя точками называется отрезком, отрезок АВ. Отрезок АВ имеет измерение, например, 5 метров. Любые геометрические фигуры Ф1 и Ф2 считаются равными, если их можно совместить наложением. Если отрезки имеют равные длины, то они равны.
Скажем, один отрезок АВ имеет 5 метров длиною, АВ=5м, а отрезок СD на этой же прямой или на другой прямой тоже имеет длину 5 метров, СД=5 м. Это значит, что отрезки равны, AB= СD.
Следующая геометрическая фигура – это угол. Угол – это геометрическая фигура, образованная двумя лучами ОА и ОВ, исходящими из одной точки. Угол тоже имеет свое измерение. А именно: напомним сведения о развернутом угле.
Угол АОВ, его стороны лежат на одной прямой. Считается, что такой угол равен 180?. Поэтому любой другой угол измеряется, например, в градусах. Есть еще измерения в минутах, в секундах. 1°=60¢, а 1¢=60². Но это для измерения очень малых углов. Если мы сказали, что фигуры равны, если их можно совместить наложением, то угол в 30°, угол ОАВ и другой угол МQD, если тоже имеет 30?, будут равны.
К основным сведениям относятся также сведения о вертикальных и смежных углах. Во-первых, что такое смежные углы? Вот имеем развернутый угол АОВ и луч ОС. Угол АОВ развернутый, он равен 180?. Вот эти два угла с общим лучом ОС имеют специальное название «смежные углы». Так, где здесь смежные углы? Угол СОА и угол СОВ – это смежные углы. Если один угол мы обозначим α, вот этот ÐСОА=a, а второй угол за β, ÐСОВ=b, то через них мы можем выразить теорему о смежных углах: сумма смежных углов равна 180?. Итак, мы рассмотрели, что такое смежные углы и основную теорему о смежных углах.
Повторим, что такое вертикальные углы и основную теорему о вертикальных углах. Рассмотрим две прямые, пререкающиеся в точке О, скажем: прямая АВ и прямая СD.
Пусть ÐАОС=α, так его для краткости назовем.
Смежный с ним угол назовем β, то есть угол BOC=β. Мы знаем, что сумма α +β =180?. Угол АОС и угол ВОD называются вертикальными углами. Основная теорема о них говорит: вертикальные углы равны.
Это почему они равны? Угол АОС= α = 180? - β.
Это один из вертикальных углов АОС. Угол DOB и угол BOCтоже смежные, сумма их 180?. Значит, угол DOB– это второй из вертикальных углов. Он равен 180? - β.
А значит, он равен углу АОС, который мы обозначили за α.
Итак, основное свойство вертикальных углов, или теорема о вертикальных углах: вертикальные углы равны.
О смежных углах. Сумма смежных углов равна 180?. Рассмотрим частный случай смежных углов.
Вот АОВ, а смежные углы пусть равны друг другу, т.е. они равны по 90°. В этом случае прямая ОС называется перпендикулярной прямой ОВ. И этот факт записывается следующим образом: АВ ОС или ОС АВ.
Рисунок
Давайте рассмотрим два угла подобных. Вот есть прямая АВ, вот будет один перпендикуляр и второй перпендикуляр, СО и DQ. Значит, два перпендикуляра к одной прямой не пересекаются.
Вот, пожалуй, обзор основных сведений, с помощью которых мы будем решать задачи.
Первая задача – это задача о биссектрисах для смежных углов.
Задача
Найти угол между биссектрисами смежных углов.
Дано: угол АОВ, мы его обозначим за α, ÐАОВ=a, угол ВОС, мы его обозначим за β, ÐВОС=b.
И дано, что это углы смежные, т.к. они имеют общую сторону, а две другие лежат на одной прямой.
Итак, угол α и угол β. Проведена биссектриса ОL одного угла, ОL– биссектриса.
То есть ÐАОL=ÐBOL=, если весь угол α. Отметим этот факт на чертеже. Вот эти углы равны, и каждый из них . Биссектриса делит угол пополам по определению. Проведена еще одна биссектриса ОК, тоже биссектриса, но уже второго угла. ОК тоже биссектриса, и это означает, что ÐСОК= ÐBOK= .
Мы прокомментировали условия задачи. А после этого легко решить саму задачу. Ведь нам нужно найти угол между биссектрисами, то есть угол КOL. Вот углы по мы поставили, поставим углы по . Вот этот угол и этот угол . Отметим четырьмя дужками. Здесь 4 дужки и здесь 4 дужки, хотя это много, но все-таки наглядно. Значит, нам нужно вот этот угол найти между К и L. Вот так опознается прямой угол, и он таки сейчас будет прямым. Значит, этот угол состоит из (раз угол) и из , ÐКОЛ==
Отметим важный факт: ни α мы не знаем, ни β не знаем. Но сумму α + β, мы знаем, она 180?. Значит, угол между биссектрисами равен 90?. Факт, в общем-то, замечательный. Любые углы смежные, сумма их только известна – 180?. Провели биссектрисы, угол между биссектрисами равен 90?.
Подобный замечательный факт есть и для биссектрис вертикальных углов. Он отражен в следующей задаче.
Задача
ÐАОС=ВОД=a
ÐСОВ=b
a+b=180°
Найти угол между биссектрисами вертикальных углов. Две прямые, вертикальные углы, они равны меду собой. Обозначения АОВ СD. Вертикальные углы обозначим через a, значит, угол АОС, он равен вертикальному углу BOD. И эти углы, равные углы по теореме, мы обозначили за α. К ним смежный угол один и тот же - β. Угол СOВ обозначим за β.
Нам известна не только теорема о равенстве вертикальных углов, но и теорема о смежных углах: α + β =180?. Этого вполне достаточно, чтобы решить задачу. Вот биссектриса одного вертикального угла, значит, этот угол и этот угол
Вот биссектриса второго вертикального угла. Получили и еще . Так нужно найти угол между биссектрисами. Вот этот угол надо найти. Давайте поставим здесь букву LOK, значит, искомым является угол LOK. Давайте его просто сосчитаем, из каких конкретно углов он состоит.
Он состоит из + β + ; α + β = 180?.
Итак, ответ задачи: угол между биссектрисами вертикальных углов равен 180?.
И наконец, рассмотрим задачу на отрезок.
Задача
Отрезок длины М разделен на три равные части. Найти расстояния между серединами крайних частей. Имеем отрезок АВ. Длина отрезка АВ= m. Он разделен на три части, СD,
Значит, AC=СD=ДВ=
Точка M – это середина одного отрезка, крайнего. Точка N – середина другого крайнего отрезка. То есть эти отрезки равны и эти отрезки равны.
Имеем АМ = МС = DN= NB. Если весь этот отрезок равен , то каждая из них – половинка, . Сказано: найти расстояние между серединами крайних частей. То есть какое расстояние нам нужно найти? Расстояние MN. Его можно считать по-разному. Из всего отрезка отнять вот эти два кусочка. Или, наоборот, вот к этому отрезку, длина которого , прибавить вот эти два отрезка. В любом случае отрезок СD= АВ - 2АМ. Осталось сосчитать.
m-2
Ответ: искомый отрезок MN=
Итак, мы рассмотрели основные сведения, то есть обзор основных начальных геометрических сведений, и показали, каким образом они используются при решении задач.
Они будут использоваться и в дальнейшем при решении более сложных задач.
Спасибо!
( Спасибо )
раньше я думал что геометрия очень трудна но оказывается что нет хотя и не много скучноват но всёравно спасибо большое.
Спасибо.
СПАСИБО ВСЕМ