Данный текст представляет собой неотредактированную версию стенограммы, которая в дальнейшем будет отредактирована.
InternetUrok.ru
Геометрия. 7 класс
Глава 1. Начальные геометрические сведения
Урок 6. Смежные и вертикальные углы
Тарасов В.А. учитель школы «Логос ЛВ», ст.преп. фак-та довузовской подготовки МИТХТ
15.06.2010 г.
Смежные и вертикальные углы
Рассмотрим развернутый угол АОС и разобьем его на два угла – угол АОВ и ВОС.
Если мы забудем, что угол АОС развернутый, то углы АОВ и ВОС обладают следующими свойствами. Во-первых, одна сторона у них общая, вершина общая, две другие стороны являются противонаправленными лучами с вершиной в точке О и лежат на одной прямой. Такие углы называются смежными.
Назовем АОВ= , (см. видеоурок)
надо будет выучить обозначения α – альфа, β – бета, иногда обозначают 1, 2.
ВОС=β (см. видеоурок)
Определение: α и β – смежные углы – это те углы, которые имеют смежную сторону, общую вершину и другие стороны являются продолжением одна другой.
Теперь основная теорема.
Сумма смежных углов равна 1800,т.е. α+β=1800.
Почему? Да потому что в сумме они составляют развернутый угол, а величина развернутого угла 1800.
Итак, мы определили, что такое смежные углы. И основная теорема смежных углов – сумма смежных углов равна 1800. Мы не знаем значение угла α, мы не знаем значение угла β, но сумму углов мы знаем, она всегда 1800.
Вот другой чертеж. Развернутый угол MON, разбит лучом Lна два угла NOL+ LOM=1800, потому что они в сумме дают развернутый угол MON. (см. видеоурок)
Теперь что такое вертикальные углы? Давайте рассмотрим пересечение двух прямых. Прямая а пересекается с прямой b. Мы знаем, что прямые могут иметь только одну общую точку, если они различны.
Мы имеем угол α, а он смежный с углом β. Расставим...
(см. видеоурок)
Значит, угол АОВ и угол СОD называются вертикальными углами – стороны одного являются продолжениями сторон другого. Докажем основную теорему.
Теорема. Вертикальные углы равны.
АОВ=1800 - ,
COD=1800 - , (см. видеоурок)
Отсюда мы заключаем, что AOB= COD=α (см. видеоурок)
Мы рассмотрели, что называется вертикальными углами, и рассмотрели основную теорему: вертикальные углы равны.
Рассмотрим важнейшие следствия из них. (см. видеоурок)
Углы АОВ и ВОС смежные. Найти угол между биссектрисами этих углов. Я возьму одну биссектрису OL и другую биссектрису OK. Найти угол LOK, где OL– биссектриса угла АОВ, а OK – биссектриса угла ВОС.
Решение. Если угол АОВ= , то угол AOL=LOB= , еслиOK – биссектриса, то угол COK=KOB= ,а угол между биссектрисами LOK= + = = =900, так как α+β=1800.
Ответ.Угол между биссектрисами, т.е. уголLOK=900.
(см. видеоурок)
Следствие 2.
По теореме о смежных углах α+β=1800, а по следствию из теоремы мы выяснили, что угол между биссектрисами смежных углов равен 900. Теперь рассмотрим угол между биссектрисами вертикальных углов.(см. видеоурок)
Следствие. Угол между биссектрисами вертикальных углов развернутый. (см. видеоурок)
Проведем биссектрису LO и OK. Нужно доказать, что угол LOK=1800- развернутый угол.
Доказательство: сосчитаем просто этот угол LOK= + + =α+ = 1800. То же самое мы получим, если рассмотрим биссектрисы двух других вертикальных углов.
Итак, мы рассмотрели теоремы и следствия из них. Сумма смежных углов равна 1800. Вертикальные углы равны. Следствия: угол между биссектрисами вертикальных углов развернутый, угол между биссектрисами смежных углов равен 900. Это основные теоремы и основные опорные следствия. Теперь приступаем к решению задач.
Задача.
a) (см. видеоурок)
найдите угол АВС, если известен смежный с ним угол.
(см. видеоурок)
Дано:
угол АВС=1110. Найти смежный с ним угол DBC.
Решение. Обозначим один угол за α, другой за β. Мы знаем по основной теореме, что α+β=1800.
1110+β=1800. Мы сразу получили уравнение относительно β. Получаем β=1800-1110=690.
Самостоятельно решите задачу
b) Все то же самое, только угол АВС=900. Найти угол DBC.
c) угол АВС=150. Найти угол DBC.
При решении используется теорема о смежных углах. Один угол дан, нужно найти другой. Перейдем к другим задачам.
Один из смежных углов прямой, каким – острым, прямым, тупым – является другой угол? Это задача устная. Если один из смежных углов прямой, сумма смежных углов 1800, то и второй угол прямой. Он не может быть острым или тупым. Это нас проверяют, знаем ли мы теорему о смежных углах.
Следующая задача. Верно ли утверждение, если смежные углы равны, то они прямые?
Решение. Если углы смежные, то α+β=1800, но они равны α=β. Получаем α+α=1800. 2α=1800. α=900. Ответ: да, верно, эти углы прямые.
Следующая задача. Даны два равных угла, равны ли смежные с ними углы?
Ответ: конечно, равны.
Итак, мы рассмотрели тему «Смежные и вертикальные углы». Основные теоремы:
Сумма смежных углов равна 1800.
Вертикальные углы равны.
Опорные следствия из них:
a) угол между биссектрисами вертикальных углов развернутый,
b) угол между биссектрисами смежных углов равен 900.
Эти опорные факты используются активно в решении простейших задач, но, как мы увидим далее, они будут использоваться везде.
Спасибо!
Спасибо :)