Данный текст представляет собой неотредактированную версию стенограммы, которая в дальнейшем будет отредактирована.
InternetUrok.ru
Геометрия. 7 класс
Глава 1. Начальные геометрические сведения
Урок 3. Сравнение отрезков и углов
Тарасов В.А., учитель школы "Логос ЛВ", ст. преп. фак-та довузовской подготовки МИТХТ
15.06.2010 г.
Сравнение углов и отрезков
Сравнение отрезков и углов.
Напомним определения.
(подробнее в видеоматериале)
Есть прямая a, на ней отрезок AВ – это часть прямой, которая расположена между двумя крайними точками. Это один отрезок.
Второй отрезок MN – ещё одна часть прямой, другой отрезок. Надо каким-то образом их сравнить.
Что такое угол? Угол – это геометрическая фигура, образованная двумя лучами ОА и ОВ, исходящими из одной точки. Вот этот угол, второй угол МQN – это тоже угол, геометрическая фигура, образованная двумя лучами, исходящими из одной точки. Таким образом, как сравнить эти два угла: ?
(подробнее в видеоматериале)
Давайте рассмотрим произвольные фигуры: .
Если их можно наложить друг на друга совмещением, то эти фигуры считаются равными. Например, один шарик и второй шарик можно совместить друг с другом. Вот один круг и второй круг одинакового радиуса. Их можно совместить наложением, тогда они считаются равными. Если большой круг и маленький круг, то мы видим, что совместить их нельзя.
Таким образом, правило, общее для геометрических фигур, есть: мы попробуем наложить одну фигуру на другую, и если наложение состоится, то фигуры равные, если не состоится, то фигуры неравные.
Давайте разберёмся теперь с отрезком одним и с отрезком другим.
Вот отрезок АВ расположен на одной прямой.
Вот отрезок MN расположен на другой прямой. Давайте их совмещать.
Совмещать будем так: точку М и А совместим. И тогда, если совместятся точки В и N, отрезок АВ равен отрезку MN.
То есть понятно, какое совмещение: совместили одни концы, совместили другие концы. Отрезки наложились друг на друга, просто и ясно, отрезки как геометрические фигуры равны друг другу.
Но может быть другой случай. Вот отрезок АВ и вот отрезок MN.
Мы хотим узнать, равны они или нет. Совместим точку А с точкой М и увидим, что отрезки не совместились. И отрезок АВ является частью отрезка MN. Значит, во-первых, они не равны. . Они не совместились наложением. Нет такого наложения, чтобы их совместить.
Во-вторых, а что больше, что меньше? Отрезок AB является частью отрезка MN, значит, . И наоборот.
Таким образом, мы рассмотрели равенство отрезков и установили, когда один отрезок больше второго отрезка.
Еще раз повторяем: для любых геометрических фигур факт их равенства устанавливается наложением. Если существует такой способ, чтобы одна фигура с точностью наложилась на вторую фигуру, эти фигуры считаются равными, какой бы сложности они ни были. Для отрезков процесс наложения довольно прозрачный, понятно, каким образом устанавливать равенство отрезков и сравнивать их: вот этот отрезок меньше вот этого отрезка и наоборот.
Как обстоит дело с углами? Вот мы нарисовали один угол, нарисовали второй угол. Равны они или нет? Или один меньше, а второй больше? Ведь заметим, что луч простирается в бесконечность, и то, что луч один вроде бы короче другого, это ни о чём не говорит.
Итак, сравнение отрезков было, теперь сравнение углов.
(подробнее в видеоматериале)
Вот угол АОВ, вот угол NQM. Сравнение проводим следующим образом: луч QN пустим по лучу OA. Лучи всегда можно совместить, если совместить их вершины. А вот дальше, если луч QM пойдёт по лучу ОВ, то тогда углы равны. Если точка О и точка Q совпадают, если их совместить, один луч совместить со вторым лучом. Третий луч, если при этом совместится с третьим лучом, то , исходя из сравнения произвольных геометрических фигур. Совмещение удалось, значит, углы равны.
(подробнее в видеоматериале)
Имеем ÐАОВ, обозначим его 1. Второй ÐMQN, обозначим его углом 2.
Мы хотим узнать, равны ли эти углы. Правило есть: любые две фигуры, если их можно совместить наложением, равны. Будем совмещать.
Во-первых, совместим вершины: точку O и точку Q совместим, точку N и точку А совместим, и луч QN пойдёт по лучу OA. Дальше выяснится, что луч QM будет внутри угла 1. Значит, неравны эти фигуры, углы неравны, и второй угол, вот этот второй угол является частью первого угла. Это означает, что .
Итак, мы имеем правило сравнения неразвёрнутых углов, речь идет о неразвернутых углах: если углы удалось совместить наложением, то эти углы равны. Если не удалось совместить наложением, то тот угол, который является частью второго угла, является меньшим из углов.
Итак, мы рассмотрели правило сравнения отрезков и углов. А как получить равные отрезки из одного отрезка? Есть отрезок АВ, и серединой этого отрезка называется такая точка М, которая делит его на два равных отрезка. Значит, если М середина, то мы получаем два равных отрезка АМ = ВМ, два равных отрезка, потому что они наложением совмещаются.
Имеем . Луч OL может разделить угол на два равных угла. Здесь будет угол один, и здесь будет угол один.
Луч, исходящий из вершины угла и делящий угол пополам, называется биссектрисой угла. Если OL биссектриса угла, то значит, ÐАОL=ÐLOB
Итак, мы рассмотрели, вспомнили главное правило, по которому устанавливается, равны ли геометрические фигуры F1=F2, если эти фигуры можно совместить друг с другом наложением. Существует такое наложение, что фигуры совместились, значит, эти фигуры равны друг другу. Это относится и к отрезкам, и к углам. В отрезке мы выделили точку М – середину, которая разделяет отрезок на два равных отрезка. В угле мы выделили биссектрису, то есть такой луч, который рассекает угол на два различных угла.
И теперь рассмотрим практические задачи и вопросы на данную тему.
Задача №1. На луче с началом O отмечены точки А, B и С так, что точка B лежит между точками О и А.
(подробнее в видеоматериале)
Эту фразу мы прочли и дальше читать не будем.
Нарисуем луч и отрезки. Луч с началом в точке О, отмечены точки В, А и С.
Сказано, что точка В лежит между О и А. Точка А лежит между точками О и С, вот дано.
Сравните отрезки ОВ и ОА, сравните отрезки ОС и ОА, сравните отрезки ОВ и ОС.
Итак, расположение точек дано, нам требуется сравнить лишь отрезки.
Вот первый отрезок ОВ и отрезок ОА.
Ясно, что . Почему? Потому что это часть всего отрезка.
Отрезок ОС и ОА,
И наконец, ОВ и ОС, точка В – внутренняя точка отрезка ОС, значит,
Первая задача была на сравнение отрезков.
Задача №2.
Точка О является серединой отрезка АВ.
(подробнее в видеоматериале)
Сразу нарисуем отрезок АВ, и точка О его середина, значит, этот отрезок равен вот этому, АО=ОВ. Итак, точка О является серединой отрезка АВ.
Можно ли совместить наложением отрезки
А) OBи ОА?
Б) ОА и АВ?
Точка О середина, значит, отрезок ОВ=ОА, равны друг другу.
Ответ на первый вопрос: Да, можно совместить, потому что отрезки равны.
Когда отрезки равны? Когда любые фигуры равны? Когда их можно совместить наложением.
А можно ли совместить отрезки ОА и АВ? Ответ: нет. Почему? Так как ОА<AB.
Значит, эта задача говорит о том, как мы понимаем процесс наложения отрезков друг на друга и что такое, собственно, середина отрезка.
Задача №3
На рисунке часть отрезков равна. Значит, дан такой рисунок А, В, С, Д, Е.
Причём сказано, что AB=BC=CD=DE.
Раз отрезок равен второму отрезку, 3, и 4.
(подробнее в видеоматериале)
Укажите:
а) середины отрезков АС, АE и CE.
Сначала первая задача. Отрезки даны. Рассматривается отрезок AC. Где его середина? Ответ: точка В, здесь же напишем ответ. Для этого отрезка точка В. Почему? Потому что делит отрезок АС пополам.
Другой отрезок: АЕ, значит, весь отрезок. Есть ли у него середина? Есть, вот два равных отрезка с одной стороны, два равных отрезка с другой стороны. Значит, серединой отрезка АЕ является точка С.
Отрезок СЕ. Его серединой является точка D.
С задачей а) справились.
б) Укажите отрезок, серединой которого является точка D. Значит, надо указать отрезок, серединой которого является точка Д.
Есть ли на этом рисунке такой отрезок, для которого Д середина? Конечно, есть.
Вот этот отрезок равен этому отрезку, значит, ответом здесь является отрезок CE, а Д середина этого отрезка.
И, наконец, последний вопрос по этому рисунку.
в) Укажите отрезки, серединой которых является точка С. Точка С – середина. Для каких отрезков? Из точки С можно сдвинуться в точку А, из точки С можно сдвинуться в точку Е. Отрезок АЕ таков, что точка С его середина. Ответ: отрезок АЕ.
Итак, мы ответили на все вопросы данной задачи. Следующая задача.
Задача №4
(подробнее в видеоматериале)
Луч ОС делит угол на два угла. Сравните эти углы.
(подробнее в видеоматериале)
Значит, 4 задача такая. Нарисован рисунок, ÐАОВ, луч ОС.
Следует сравнить . Заметим, луч произвольно проведён. Близко к лучу ОВ, далеко от него, следует сравнить 1 угол и 2 угол. По определению понятно, что потому что угол 2 является частью угла 1.
Задача №5
(подробнее в видеоматериале)
Луч L – биссектриса . Значит, имеем угол, h – луч, k – луч, и проведена биссектриса угла, которая обозначена за l.
Что значит биссектриса? Это такой луч, который делит угол пополам. Стало быть, вот этот угол равен вот этому углу. Вопрос: можно ли наложением совместить
а) б)
а) Ответ: конечно, можно. По определению биссектрисы , значит, их можно совместить наложением.
И второй вопрос, чтобы мы понимали, что такое биссектриса.
Можно ли совместить наложением б) Ðhl и Ðhk?
б) hlявляется частью исходного луча hk. Ответ: нельзя.
Итак, мы рассмотрели сравнение отрезков и углов. Далее мы будем рассматривать вопросы, как измерить отрезок, как измерить угол.
