Многоугольники выпуклые и невыпуклые. Сумма внутренних и внешних углов многоугольника

 

Мы изучаем свойства геометрических фигур. Мы уже посмотрели свойства треугольников, окружностей, прямоугольных треугольников. Теперь очередь дошла до многоугольников. Во-первых, надо понять, что это такое. Частным случаем его является треугольник АВС. Тут всего три стороны и три угла. Само слово «многоугольник» говорит, что может быть много углов и много сторон. Ну давайте нарисуем многоугольник вот такого типа – ABCDE. Ну, в частном случае это пятиугольник. Значит, что взять в основу определения многоугольника? Во-первых, это фигура, которая состоит из отдельных отрезков. Смежные отрезки, те, которые имеют одну общую точку или, как будем называть, общую вершину, не лежат на одной прямой. Несмежные отрезки не имеют общих точек. Отрезок ВС и отрезок АЕ не имеют общих точек. Вот такая фигура называется многоугольником. Или n-угольником, если n – число сторон. Значит, отрезки АВ, ВС и т.д. – это стороны многоугольника. Угол А, угол В, угол С и т.д. – это углы многоугольника. Каждый многоугольник рассекает всю плоскость на две части – та, которая лежит внутри него и которая вне. Внутреннюю область тоже относят к многоугольнику. Итак, когда говорят пятиугольник ABCDE, то имеют в виду не только границу, замкнутую ломаную, но и всю внутреннюю область. То есть, точка М – это внутренняя точка этого пятиугольника. Периметром называется сумма длин всех отрезков.

 

Теперь, многоугольники бывают выпуклые и невыпуклые. Вот данный многоугольник ABCDE – выпуклый. Давайте нарисуем невыпуклый многоугольник, например, четырехугольник. И дадим строгое определение, какой многоугольник называется выпуклый и какой – невыпуклый. Вот четырехугольник ABCD. Вот перед нами выпуклый многоугольник ABCDE, вот пример невыпуклого многоугольника ABCD. Что означает слово «выпуклая фигура», «выпуклый многоугольник»? Это означает, что если я проведу любую прямую АВ вдоль любого отрезка, то вся фигура находится по одну сторону от прямой. Ведь любая прямая рассекает всю плоскость на две полуплоскости. Так вот, только в одной полуплоскости находится вся фигура, весь многоугольник. А вот здесь, если я проведу прямую ВС, то часть фигуры находится по одну сторону от этой прямой, а часть – по другую. Значит, это выпуклая фигура – ABCDE, это невыпуклая фигура – ABCD. Ну, иногда дают другое определение выпуклой и невыпуклой фигуры. Вот, если я возьму любые две точки М и N в этом пятиугольнике, то весь отрезок МN будет целиком содержаться в этой фигуре, какие бы я точки ни взял. А вот здесь, если я возьму точку М, вот здесь, а точку N вот здесь, то не все точки отрезка МN содержатся внутри фигуры ABCD. Значит, эта фигура невыпуклая. А эта фигура выпуклая.

 

Для выпуклого произвольного n-угольника давайте мы сосчитаем количество, то есть величину всех углов. Докажем теорему. Рассмотрим выпуклый n-угольник. Эта вершина А1, А2, А3, А4, вот эта последняя Аn, а это предыдущая вершина – Аn-1. Ну вот здесь может быть много вершин. Мы хотим узнать сумму внутренних углов выпуклого многоугольника. Угол А1, прибавить угол А2, прибавить и т.д., угол Аn, равно. И вот мы хотим доказать, что сумма равна 180° градусов умножить на (n-2). А1+А2+…+Аn=180°(n-2), где n – число сторон. Итак, вот важная теорема.

 

Ее доказательство. Из вершины А1 проведем все диагонали, какие возможно. Сколько треугольников мы получим? Раз – треугольник, два – треугольник и т.д., последний треугольник. Сколько треугольников? Столько, сколько сторон, исключая вот эти две стороны. Эти две стороны, которые прилегают к вершине А1, не образуют треугольник. Значит, мы имеем (n-2) штуки треугольников. В каждом треугольнике сумма углов первого, второго, третьего – 180°. Этого, этого, этого – 180°. Таким образом, сумма всех углов равняется 180°(n-2), что и требовалось доказать. Таким образом, сумма внутренних углов любого выпуклого n-угольника вычисляется вот по этой формуле 180°(n-2). Ну, интересно еще одно доказательство той же самой теоремы.

Ну, предположим, у нас пятиугольник, выпуклый. Берем произвольную точку О внутри него. Соединяем с вершинами А1, А2, А3, А4, А5. Соединили. Получили именно пять, а в общем случае n треугольников. Если там нам пришлось все таки как-то соображать, что вот сколько будет треугольников, то здесь понятно: сколько сторон, столько и треугольников. Получаем, 180° на n минус 360°. Почему? Еще раз: n треугольников, в каждом треугольнике сумма углов – 180°. Всего получаем 180° на n. Далее. Но чтобы получить нам ту нужную величину, то есть сумму всех внутренних углов, нужно вычесть сумму всех углов, которые имеют общую точку О. То есть угол 1, угол 2, угол 3, угол 4, угол 5 в данном случае. Но они вместе составляют 360°. 180°n – 360° = 180°(n – 2).

 

Итак, мы двумя способами доказали важную теорему для выпуклого n-угольника. Сумма его внутренних углов равна 180°(n – 2). Как видим, эта сумма зависит от n, от числа сторон. Ну, например, если у нас треугольник, n равно 3. 180° на (3-2), на 1, равно 180°. Значит, также можно сосчитать сумму внутренних углов для четырехугольника, окажется 360°. Ну и так далее, формула готова.

 

Рассмотрим сумму внешних углов выпуклого n-угольника, взятых по одному при каждой вершине. Рассмотрим соответствующую задачу на примере хотя бы пятиугольника. Итак, А1А2А3А4А5. Угол 1, угол 2, угол 3, угол 4, угол 5. Мы знаем, как найти сумму всех внутренних углов. Теперь речь идет о внешних углах. Вот первый угол – 1', вот второй угол – это угол 5', вот еще один угол – 4', дальше угол 3', угол – 2'.Значит, мы хотим найти сумму углов 1', 2', 3', 4' и 5'. Итак, надо найти сумму углов 1', 2', 3', 4', 5', а в общем случае n' – сумму внешних углов, взятых по одному при каждой вершине. Равняется. Ну угол 1 и 1' – это углы смежные. Значит, угол 1' – это 180° минус угол 1. Дальше, угол 2' – это 180° минус угол 2. Ну аналогично: угол 3' – 180° минус угол 3. Далее, осталось два угла: угол 4', вот этот уголочек – это 180° минус смежный угол 4. И, наконец, последний угол 5' – это угол 180° минус смежный с ним угол 5. Итого, получаем сколько скобок? Раз, два, три, четыре, пять. n-угольник – n скобок было бы. Значит, 180° умножить на 5 минус все углы – 1, 2, 3, 4, 5. В скобках – сумма внутренних углов. Формула известна – 180°(n – 2), 5-2, то есть на 3. Итак, 5*180° - 3*180° = 2*180° = 360°. Ответ: сумма внешних углов, взятых по одному при каждой вершине, оказывается равна 360° и не зависит от числа сторон.

 

Таким образом, мы доказали две важные теоремы о выпуклых многоугольниках – сумма внешних углов многоугольника, и сумма внутренних углов многоугольника. Теперь мы можем сосчитать сумму внутренних углов и для четырехугольника, и для пятиугольника, и для любого n-угольника и решить соответствующие задачи.