Использование свойтв параллелограмма в решении задач

 

 

Параллелограмм. Диагонали параллелограмма. Мы рассматривали многоугольники, а сейчас переходим к рассмотрению частных случаев многоугольников – к четырехугольникам и конкретно – к параллелограмму. Первое определение. Вот если у нас даны две параллельные прямые, их пересекают еще две параллельные прямые, то они образуют фигуру, которая называется параллелограммом ABCD. Итак, определение: параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Запишем эту попарную параллельность, то есть АВ параллельна CD и AD параллельна ВС – AB||CD, AD||BC. Вот если сказано, что данный четырехугольник – параллелограмм, то говорится, что это значит: имеются вот эти две параллельности, противоположные стороны параллельны. Если в каких-то задачах нам нужно доказать, что данный четырехугольник является параллелограммом, надо доказать вот эти две параллельности.

 

Итак, у нас есть определение, первое определение. Второе – свойство параллелограмма: что, собственно, из того, что каждая пара сторон попарно параллельна? Что отсюда следует? Отсюда следует много интересных свойств. Вот первое из них. Теорема. В параллелограмме противоположные стороны равны друг другу и противоположные углы равны друг другу. Значит, дано: четырехугольник – параллелограмм, то есть есть вот такая параллель – AB||CD, AD||BC. Доказать: АВ равняется CD, BCи AD тоже равны, то есть AD=ВС, AB=CD. Значит, надо доказать равенство противоположных сторон. Но, кроме того, равенство противоположных углов, то есть угол А равен углу С и угол B равен углу D, , .

 

Итак, дано: четырехугольник – параллелограмм, то есть стороны попарно параллельны. Доказать: вот равенство противоположных сторон и противоположных углов. Доказательство. Ну, конечно, доказательство должно опираться на факт параллельности. Давайте проведем диагональ BD и рассмотрим полученные два треугольника. Они имеют общую сторону BD. Эта сторона BD, прямая BD рассекает параллельные прямые. Вот пара параллельных прямых AD и ВС рассечена третьей прямой, стало быть, угол α здесь и угол α здесь – накрест лежащие углы равны. Далее, вторая пара параллельных прямых АВ и CD рассекается той же секущей BD. Значит, если вот этот угол я обозначу за β, то ему накрест лежащий равен, и тоже равен β. Итак, мы имеем равенство углов, отметим этот факт:  – и мы эти углы обозначили за α.  и мы его обозначили за β. Так как равенство углов здесь чрезвычайно важно и дальше будет использоваться, еще раз повторим, где это, собственно, равные углы. Вот две параллельные прямые AD и ВС, вот они рассечены третьей прямой BD, вот они накрест лежащие углы, мы их обозначили по α накрест лежащие углы. Еще есть две параллельные прямые АВ и CD, и они рассечены третьей прямой BD, и еще есть накрест лежащие углы, мы их обозначили за β. Итак, две пары равных углов. Ну и мы почти что даром получили одно из свойств, а именно: смотрите, α и β, и там α и β. Значит, получаем: , потому что это сумма одних и тех же углов – α+β. То есть мы получили равенство углов при вершинах В и D, равенство вот этих углов.

 

Далее, нам нужно доказать равенство вот этих углов и равенство вот этих сторон. Они входят в треугольник BDC и ABD. Давайте сначала поймем, а потом правильно запишем равенство вот этих треугольников, из которых все остальное последует. Треугольники имеют общую сторону BD. К стороне BD примыкают углы α и β в одном треугольнике, углы α и β в другом треугольнике. Значит, на самом деле треугольники равны по стороне и прилегающим к ней углам. Запишем правильно этот факт. Первый треугольник, буквы, вершины расставляем произвольно, например,  равен треугольнику, а здесь уже мы не произвольно расставляем вершины. Ведь в треугольнике  вершина В – это при угле α, вершина D – это при угле β, а эта С при третьем угле. Значит, и в другом треугольнике должно быть соответствие, то есть должно писаться . Проверим, так ли это. Вершина D при угле α, вершина В во втором треугольнике при угле β, ну а эта А при третьем угле. Таким образом, мы правильно записали равенство треугольников,  = . Ну а что следует из равенства треугольников? Из равенства треугольников следует, что против равных сторон лежат равные углы, и, наоборот, против равных углов – равные стороны. Против углов α лежат стороны АВ в одном треугольнике и DC в другом треугольнике, AB=DC. Вот, требовалось доказать – доказали. Дальше, против углов β в одном треугольнике лежит сторона AD, а в другом треугольнике сторона ВС, AD=BC. Еще одно равенство доказали. Ну и теперь наоборот: против одной и той же стороны BD, в треугольниках лежат углы С и А, они тоже равны, . Итак, мы доказали все, что требовалось. Мы доказали, что если четырехугольник является параллелограммом, то в нем противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

 

Теорема. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Дано: параллелограмм ABCD. Диагонали параллелограмма АС и BD пересеклись в точке О. Доказать, что вот эти отрезки равны друг другу. Нам дано: четырехугольник – параллелограмм. Это означает, что AB||CD, одна пара параллельных сторон. И AD||BC, вторая пара параллельных сторон. Вот это означает, что четырехугольник – параллелограмм. Доказать: что АО=СО, ВО=DO. То есть что диагонали точкой пересечения делятся пополам. Доказательство. Данные отрезки, равенство которых нужно доказать, входят в треугольники, ну, например,  и . Рассмотрим, что в этих треугольниках общего. Ну, во-первых, угол α, если вот этот угол мы обозначили за угол α, вот этот угол будет тоже α. Почему? Потому что параллельные прямые ABи CD, если рассекаются третьей прямой АС, то накрест лежащие углы равны. Но эти же параллельные прямые рассекаются еще одной прямой BD. Значит, и другие накрест лежащие углы равны, мы их обозначим за β. Четырехугольник – параллелограмм. Значит, противоположные стороны равны, а это значит, АВ=DC.

 

Итак, всё доказательство вытекает из доказательства равенства вот такой пары треугольников.  равен треугольнику – и опять правильно напишем – АВО, соответствующие углы α, β и третий угол. Значит, здесь мы напишем СDО, . =. Почему они равны? По стороне и прилежащим углам, это следует записать. Почему они равны? Так как АВ=DC и прилежащие углы равны, мы это отметили. Из равенства треугольников, давайте напишем, что они равны по стороне и прилежащим углам. Ну из равенства этих треугольников вытекает равенство соответственных элементов. Ну каких? Во-первых, равенство тех сторон, которые лежат против равных углов. Против угла α лежит одна сторона ВО, против угла α – другая DO. Из равенства треугольников вытекает ВО=DO и АО=СО. ВО и DO лежат против углов α, АО и СО лежат против углов β. Итак, мы доказали, что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

 

Доказанные свойства параллелограмма позволяют решать многочисленный класс задач. Вот одна из них. Периметр параллелограмма равен 48 см. Найдите его стороны, если одна сторона на 3 сантиметра больше другой. Итак, есть параллелограмм ABCD. Известен периметр параллелограмма P=48 см. И одна сторона на 3 сантиметра больше другой. Значит, маленькую сторону обозначим за х. Ну вот, на чертеже эта сторона маленькая, напишем, пусть АВ=CD=х. Мы здесь уже использовали свойство параллелограмма – противоположные стороны равны. Если одну сторону мы обозначили за х, то, противоположная – тоже х. Сказано, что другая сторона на 3 см больше. Значит, сторона AD равна х+3 см. Но она равна стороне ВС, которая тоже равна х+3 см. Запишем это: AD=ВС=х+3. Вот это нам дано. Надо найти все стороны.

 

Решение. Чтобы получить периметр параллелограмма, надо сложить длины всех сторон. Складываем: х+х – две вот эти стороны, х+3 и еще х+3, это две вот эти стороны. И периметр параллелограмма по условию равен 48 см, х+х+х+3+х+3=48. Значит, получили уравнение для х. Осталось найти х и получить численное выражение длин всех сторон. Имеем, раз, два, три, четыре, 4х+6=48. Ну решаем полученное уравнение: 4х равняется 48-6=42. х равен , или сокращаем на 2, , то есть, 10,5. х+3=13,5. Получаем ответ. Нас просили найти длины сторон параллелограмма. Отвечаем: длины сторон равны 10,5 см – одна сторона, 10,5 см – противоположная сторона, 13,5 см – сторона и 13,5 см – следующая сторона.

 

Задача. Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке К. ВК – 15 см, КС – 9 см. Найдите периметр параллелограмма. Итак, имеем параллелограмм ABCD. В этом параллелограмме проведена биссектриса угла А – АК. Если это биссектриса, то она делит угол пополам. Что дальше дано? ВК = 15 см и КС = 9 см. Найти периметр параллелограмма, то есть найти все его стороны и сложить. Ну, естественно, мы пользуемся теми ключами, которые имеем, а именно: свойствами параллелограмма. Новое здесь слово – биссектриса. Биссектриса разделила угол пополам, но она пересекла параллельные прямые со всеми вытекающими отсюда приятными последствиями. А именно: накрест лежащие углы равны. Значит, получается треугольник имеет равные углы. Почему? Если этот уголочек  и этот  по условию, то угол ВКА тоже равен  по свойству параллельных прямых, как накрест лежащие углы. Значит, против равных углов в треугольнике лежат равные стороны. Если эта сторона ВК равна 15 см, значит, эта сторона АВ тоже 15 см. Ну, дальше, в параллелограмме противоположные стороны равны. Если эта 15 см сторона АВ, то эта сторона DC тоже 15 см. Сторона ВС равна 15+9=24 см. Ну так, стало быть, и сторона AD равна 24 см. Ну, вот таким образом мы, расшифровав слово биссектриса и использовав слово параллелограмм, нашли все стороны. Периметр равен: две стороны по 15 см плюс две стороны по 24 см, P=2*(15+24)=2*39=78 см. Ответ: периметр равен 78 сантиметрам, P=78 см.

 

Итак, мы рассмотрели свойства параллелограмма, например что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. и использовали эти свойства при решении задач. Далее эти свойства будут использоваться во многих случаях.