Параллелограмм: определение, признаки, свойства

 

Признаки параллелограмма. Напомним определение и важнейшие свойства параллелограмма. Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Итак, ABCD – это четырехугольник, параллелограмм. Это означает, что АВ||CD и AD||BC. Вот определение. Какие свойства мы выявили из этого определения, то есть свойства параллелограмма? Это значит, что противоположные углы равны. Стороны противоположные тоже равны. Кроме того, диагонали точкой пересечения делятся пополам. Ну отметим еще очевидные свойства параллелограмма. Угол BAD плюс угол ABC в сумме дают 180°. Еще раз, угол BAD –это угол при вершине А, угол АВС – угол при вершине В. Почему они в сумме дают 180°? Да потому что это сумма односторонних углов при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой. Итак, третье свойство параллелограмма, это – сумма углов, прилегающих к одной стороне, есть 180°.

 

Итак, много свойств. Ну как воспользоваться всеми этими свойствами, всем богатством свойств. Надо быть уверенным в задаче, что передо мной именно параллелограмм. Вот для этой цели служат признаки параллелограмма. И вот один из них, из этих признаков. Вот я не знаю, есть четырехугольник. Он параллелограмм или нет? Но кое-что про него известно. Я должен сделать заключение, является он параллелограммом либо нет.

 

Итак, вот четырехугольник ABCD. В этом четырехугольнике АВ параллельна CD, длина АВ равна длине CD, AB||CD, AB=CD. Вот что нам известно про четырехугольник: что одна пара сторон и параллельна, и равна. Доказать, что такой четырехугольник – параллелограмм. Надо доказать параллельность противоположных сторон. Ну параллельность одной пары сторон уже дана, значит, нужно доказать параллельность AD и ВС. Доказательство. Давайте сформулируем тот признак, который мы сейчас доказываем. Если в четырехугольнике пара сторон противоположных параллельна и равна по длине, то такой четырехугольник – параллелограмм. То есть следует доказать, что вторая пара противоположных сторон тоже параллельна. Ну, доказательство. Для этого проведем диагональ BD и используем параллельность сторон. Раз стороны параллельны, то накрест лежащие углы равны. Сторона BD общая у двух треугольников и стороны АВ и CD равны. Значит, треугольник ABD и треугольник BCD равны друг другу. Итак, доказательство будет базироваться на равенстве треугольников. Треугольник ABD равен треугольнику CDB. Ну еще раз – почему? По стороне, по общей стороне, по равным сторонам и по углу между ними. Значит, треугольники равны по углу и прилежащим сторонам. Ну, теперь воспользуемся равенством треугольников. Что из равенства треугольников следует? Следует равенство соответствующих углов и соответствующих сторон. Нам нужно доказать параллельность вот этих прямых – AD и ВС. Эти прямые будут параллельны, если будет доказано равенство вот этих углов, накрест лежащих. А эти углы равны, потому что они лежат против равных сторон. Значит, нам достаточно сослаться из этого равенства треугольников, что угол ADB равен углу CBD. Угол ADB и угол CBD – накрест лежащие при параллельных прямых, теперь они параллельны, BC и AD, BC||AD. Ну что и требовалось доказать.

 

Итак, еще раз: на чем основано доказательство? Если две стороны равны и параллельны, то из параллельности следует равенство накрест лежащих углов. Раз накрест лежащие углы равны, то треугольники равны. Почему? По углу и прилежащим сторонам. А из равенства треугольников следует равенство нужных нам углов. Они накрест лежащие при прямых ВС и AD. Раз накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Итак, признак доказан. Еще раз сформулируем его. Четырехугольник является параллелограммом, если у него две стороны и равны, и параллельны.

 

Второй признак параллелограмма. Дан четырехугольник, про которого неизвестно, что он параллелограмм, но известно, что АВ=CD и AD=BC. Итак, дан четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Доказать, что этот четырехугольник – параллелограмм. Значит, что нужно доказать? Если это нам дано: АВ=CD, AD=BC. А доказать нужно параллельность этих же сторон. Что АВ параллельна СD и AD параллельна ВС, AB||CD, AD||BC. Итак, еще раз уясним, что дано и что требуется доказать. В четырехугольнике противоположные стороны равны, следует доказать, что они параллельны. То есть что этот четырехугольник – параллелограмм. Доказательство. Ну общий прием понятен уже: надо нужные отрезки, нужные стороны упрятать в треугольники. Доказать равенство треугольников. И потом пожинать урожай. Ну в какие треугольники желательно упрятать нужные нам стороны, чтобы сработало равенство? Ну давайте проведем диагональ BD. Тогда треугольники имеют одинаковые стороны. Мы видим, что треугольник ABD равен треугольнику CDB. Почему? По трем сторонам. Это очень важно. Мы гарантируем из равенства трех сторон, признак нам гарантирует равенство треугольников. Значит, по трем сторонам. Ну и теперь воспользуемся этим равенством и всем, что отсюда следует. Что нам нужно доказать? Нам нужно доказать параллельность сторон. А признак параллельности – это равенство накрест лежащих углов. Значит, в этих треугольниках угол CBD,если я обозначу его за α, то угол ADB тоже будет равен α. Почему? Потому что они лежат против равных сторон. Значит, отсюда следует, что угол CBD равен углу ADB, ну и мы их обозначили по α. Ну раз накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны – BC||AD. Вот половину доказали: первая пара противоположных сторон параллельна. Что нужно для параллельности вот этих сторон? Да нужно равенство накрест лежащих углов. Ну если вот этот вот угол мы обозначим за β, то ему равный будет вот этот угол. Почему? Оба они лежат против равных сторон. Ну и значит из равенства этих углов, они накрест лежащие при прямых АВ и CD, значит, и AB||CD. Что и требовалось доказать.

 

Итак, переформулируем доказанный признак. Из попарного равенства противоположных сторон следует их параллельность. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то они параллельны, и такой четырехугольник является параллелограммом. А значит, мы в состоянии и вправе воспользоваться всем богатством свойств параллелограмма, решая соответствующие задачи.

 

Задача: в выпуклом четырехугольнике ABCD, давайте нарисуем выпуклый четырехугольник и будем рассказывать, что дано по условию. Так, в нем известно, что ВС равняется AD. И ВС параллельна AD. BC=AD, BC||AD. Кроме того, угол А равен 60°. И АВ равно 7 сантиметрам, АВ=7 см. Вот эта сторона равна 7 сантиметрам. Итак, вот это все нам дано по условию про четырехугольник. А что же нужно найти? Во-первых, углы, все углы четырехугольника. И, во-вторых, длину стороны CD. Итак, вот, что дано, вот, что требуется найти.

 

Про четырехугольник известно, что пара противоположных сторон равна и параллельна. Значит, этот четырехугольник – параллелограмм. Итак, решение начнем с констатации того факта, что ABCD – параллелограмм, по первому из доказанных признаков. Если две противоположные стороны равны и параллельны, то такой четырехугольник – параллелограмм. А значит, мы можем воспользоваться всем богатством свойств параллелограмма. Пользуемся. Ах, нам углы надо найти? Пожалуйста. Угол С равен углу А и равен 60°. Раз. Угол В равен углу D по свойству параллелограмма. А сумма углов, прилежащих к одной стороне, – 180°. Значит, угол В равен 180° минус 60°, то есть 120°, 180°-60°=120°. Итак, все углы найдены, осталось найти CD. Ну опять пользуемся свойствами параллелограмма. В параллелограмме не только противоположные углы равны, но и противоположные стороны равны. Значит, сторона CD равна стороне АВ и равна 7 сантиметрам, CD=АВ=7 см. Итак, у нас найдены все углы и все стороны параллелограмма. Выпишем ответ: угол С равен 60°, потому что угол А нам дан, мы его выписывать в ответе не будем. Угол В равен углу D, равен 120°. И, наконец, искомая сторона CD равна 7 см.

 

Итак, мы рассмотрели два признака параллелограмма. Они дают нам возможность утверждать, что перед нами именно параллелограмм. И воспользоваться всем богатством свойств параллелограмма, что и подтверждается решением задачи. На следующем уроке мы рассмотрим еще один признак параллелограмма.